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1、工科类参考答案一计算题：（每小题1分，满分0分）1求极限。解： 且 2求不定分。解：所以由积分的连续性 3设。解：记 则 记所以 工科类参考答案4求极限。解：由中值定理 5求过直线L: 且与球面相切的平面的方程。解：设平面为 则点到的矩离为1即所以平面的方程为 或 工科类参考答案二、（满分20分）设 （1）证明有唯一正根，记之为； （2）计算解：（1） 单调减 无根单调增 且 所以有唯一正根（2）易知 记 而 且所以 所以五、（满分20分）如图 动点P在曲线上， ，A点坐标(1，1)，Q点坐标(0，1)。（1）假设曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。（2）如果曲边三角形与曲边梯形的
2、面积相同，求曲线的表达式。工科类参考答案解：（1）曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同即因为 （2）曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同即因为 （3） 即 即其中 所以 即有 其中 任意 所以不能确定。工科类参考答案三、（满分20分）求由平面和曲面围成的立体体积。解：解法一 时 两曲面交立体底面边缘为轴和 且用平行于平面的平面截此立体所得截面为三角形，三个顶点为，及所得截面为等边三角形，其面积为解法二 两曲面的交线 所以向平面的投影柱面为=四、（满分20）讨论级数的收敛性。解：解法一 , 由狄利克雷判别法得级数收敛。解法二 级数的前N项部分和收敛所以级数收敛2014竞赛试题 数学类一、计算
3、题（每小题14分，满分70分）1求极限。解： 且 2求不定分。解：所以由积分的连续性 3设。解：记 则 记所以 4求极限。解：由中值定理 5已知为同一平面上的三个单位向量，且，求的最小值。解：由题设 有 不妨设 同理 所以的可能取值范围为求的最小值即为求到的距离平方，即到的距离平方。 即 实际上 取 取到最小值二、（满分20）设 （1）证明有唯一正根，记之为； （2）计算。解：（1） 单调减 无根单调增 且 所以有唯一正根（2）易知 记 而 且所以 所以三、（满分20分）具有求导公式其中具有一阶连续偏导。请由此计算 。解： （）且 所以为常数即四、（满分20分）如图 动点P在曲线上， ，A点坐
4、标(1，1)，Q点坐标(0，1)。（1）假设曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。（2）如果曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。解：（1）曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同即因为 （2）曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同即因为 （3） 即 即其中 所以 即有 其中 任意 所以不能确定。五、（满分20分）在上连续有界，证明： 使得。证明： （不妨设） 记若 当时 不变号（不妨设） 记那么 而 即单调增且有界所以有极限 另一种情况 变号有零点（连续）即 所以经管类一、计算题（每小题14分，满分70分）1求极限。解： 且 2求不定分。解：所以由积分的连续性 3设。解：记
5、 则 记所以 经管类4已知为同一平面上的三个单位向量，且，求的最小值。解：由题设 有 不妨设 同理 所以的可能取值范围为的最小值即为到的距离平方，即到的距离平方。 即 实际上 取 取到最小值5求过直线L: 且与球面相切的平面的方程。解：设平面为 则点到的矩离为1即所以平面的方程为 或 经管类二、（满分20分）设 （1）证明有唯一正根，记之为； （2）计算。解：（1） 单调减 无根单调增 且 所以有唯一正根（2）易知 记 而 且所以 所以四、（满分20分）如图 动点P在曲线上， ，A点坐标(1，1)，Q点坐标(0，1)。假设曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。解：曲边梯形的面积 曲边
6、三角形的面积与相同即因为 经管类三、（满分20分）求级数的和。解：而所以 五、（满分20分）含参变量积分函数具有如下求导公式 其中具有一阶连续偏导。请由此计算 。解： （）且 所以为常数即2014竞赛试题 文专类一计算题：（每小题14分，满分70分）1求极限。解： 且 2求不定分。解： 所以由积分的连续性 3设。解：是奇函数（是偶函数）所以是奇函数，所以4求极限。解：由中值定理 5求定积分。解：二、（满分20分）已知为给定的常数，讨论方程 实根个数。解：记 易知 当时 且 只有一个实根当时 且 所以 所以当 即时 有二个实根当 即时 有一个实根当 即时 没有实根三、（满分20分）设，证明：收敛。证明： 所以与同号，即单调增 设 所以收敛且四、（满分20）如图动点P在曲线上滑动时()，曲边三角形ABP的面积为 ，其中A坐标(0，1)，B坐标(1，1)，求在上的表达式。解：曲边三角形ABP的面积为即即 由五、（满分20分）已知为同一平面上的三个单位向量，且，求的最小值。解：由题设 有 不妨设 且当时取得最小值。第 17 页 共 17 页