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1、专题三三角函数、解三角形与平面向量 第第 3 3 讲讲平面向量平面向量 考情考向分析考情考向分析 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择 题、填空题，难度为中低档 2考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与 三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现 热点分类突破热点分类突破 热点一平面向量的线性运算 1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲 目转化 2在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后 一个向量终点所得的向量；在用三角形
2、减法法则时，要保证 “同起点”，结果向量的方向 是指向被减向量 例 1(1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形 ABCD的对角线分别为 AC， BD，且AE2EC，点 F是 BD上靠近 D的四等分点，则() 15 15 A.FEABAD B.FE ABAD 12121212 51 C.FEABAD 1212 答案C 解析AE2EC，点 F是 BD上靠近 D的四等分点， 1 1 FO DB，OE AC， 46 11 FEFOOE DB AC， 46 ABADAC，ADABBD， 51 D.FE ABAD 1212 1 1 FE (ABAD) (ABAD) 46 51 ABAD.
3、故选 C. 1212 (2)(2017 届湖南师大附中月考)O 为ABC 内一点，且 2OAOBOC0 0，ADtAC，若 B， O，D三点共线，则 t的值为() 1112 A. B. C. D. 3423 答案A 解析由ADtAC，得ODOAt(OCOA)， 所以ODtOC(1t)OA， 因为 B，O，D三点共线，所以BOOD， 则 2OAOCtOC(1t)OA， 21t，1 故有t ，故选 A. 3 1t， 思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理 的灵活运用 (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系 1 跟踪演练 1(1)(2017河
4、北省衡水中学三调)在ABC 中，AN NC，P 是直线 BN 上的一 4 2 点，若APmAB AC，则实数 m的值为() 5 A4 B1 C1 D4 答案B 解析因为APABBPABkBN 1 k ACAB (1k)AB AC，ABk 5 5 1km， 2 且APmAB AC，所以k 2 5 55， 解得 k2，m1，故选 B. (2)(2017 届福建连城县二中期中)已知平面向量 a a(1,2)，b b(2，m)，且 a ab b，则 2a a 3b b 等于() A(5，10)B(4，8) C(3，6) D(2，4) 答案B 解析因为 a a(1,2)，b b(2，m)，且 a ab
5、b， 所以 m40，m4,2a a3b b2(1,2)3(2，4)(4，8)，故选 B. 热点二平面向量的数量积 1数量积的定义：a ab b|a a|b b|cos . 2三个结论 (1)若 a a(x，y)，则|a a| a aa a x2y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12. (3)若非零向量 a a(x1，y1)，非零向量 b b(x2，y2)，为 a a 与 b b 的夹角， x1x2y1y2a ab b 则 cos 2222.|a a|b b| x1y1x2y2 例 2(1)(2017 届湖北省部分重点中学联考)若等边ABC 的边长为
6、 3，平面内一点 M 满足 11 CM CB CA，则AMMB的值为() 32 15 A2B 2 15 C.D. 2 2 答案A 1 121 解析因为AMCMCA，MBCBCM，则AMMB3CB2CA3CB2CA， 99 2 2 1 1 2 即AMMB CB CACB CA 2 2，故选 A. 92444 (2)(2017 届河北省衡水中学六调)已知向量 a a，b b 满足|a a|1，|b b|2，a ab b( 3， 2)，则 |a a2b2b|等于() A2 2B. 17 C. 15 D2 5 答案B 解析向量 a a，b b 满足|a a|1，|b b|2，a ab b( 3， 2)
7、， 可得|a ab b|25，即|a a|2|b b|22a ab b5，解得 a ab b0. |a a2b b|2|a a|24|b b|24a ab b11617， 所以|a a2b b| 17.故选 B. 思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意 义 (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算 跟踪演练 2(1)(2017全国)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点， 则PA(PBPC)的最小值是() 34 A2 B C D1 23 答案B 解析方法一(解析法) 建立平面直角坐标系
8、如图 所示，则 A，B，C 三点的坐标分别为 A(0, 3)，B(1,0)， C(1,0) 图 设 P 点的坐标为(x，y)， 则PA(x， 3y)， PB(1x，y)， PC(1x，y)， PA(PBPC)(x， 3y)(2x，2y) 2(x2y2 3y)2x2y 33323 . 2 4 224 当且仅当 x0，y 方法二(几何法) 33 时，PA(PBPC)取得最小值，最小值为 .故选 B. 22 如图所示，PBPC2PD(D为 BC的中点)，则PA(PBPC)2PAPD. 要使PAPD最小，则PA与PD方向相反，即点 P 在线段 AD 上，则(2PAPD)min2|PA|PD|， 问题转
9、化为求|PA|PD|的最大值 3 又|PA|PD|AD|2 3， 2 |PA|PD| 2 323， |PA|PD| 2 24 当且仅当|PA|PD|时取等号， 33 PA(PBPC)min(2PAPD)min2 .故选 B. 42 2 (2)(2017 届湖北重点中学联考)已知向量 a a，b b 满足|a a|2，|b b|1，a a 与 b b 的夹角为，则|a a 3 2b b|_. 答案2 2 解析因为|a a|2，|b b|1， a a，b b， 3 故 a ab b2cosa a，b b1，则(a a2b b)2a a24a ab b4b b24444，即|a a2b b|2. 热
10、点三平面向量与三角函数 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的 “双重型”，高考常在平面向 量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件 例 3(2017江苏)已知向量 a a(cos x，sin x)，b b(3， 3)，x0， (1)若 a ab b，求 x的值； (2)记 f(x)a ab b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值 解(1)因为 a a(cos x，sin x)，b b(3， 3)，a ab b， 所以 3cos x3sin x. 若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾， 故 cos x0. 于是 tan x 3.
11、 3 5 又 x0，所以 x. 6 (2)f(x)a ab b(cos x，sin x)(3， 3) x . 3cos x 3sin x2 3cos 6 7 ，因为 x 0，所以 x 6 66 3 x ，从而1cos 6 2 于是，当 x ，即 x0时，f(x)取得最大值 3； 66 5 当 x ，即 x时，f(x)取得最小值2 3. 66 思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数 中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三 角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类 问题的过程中，只要
12、根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根 据向量或者三角函数的知识解决问题 跟踪演练 3已知平面向量 a a(sin x，cos x)，b b(sin x，cos x)，c c(cos x，sin x)， xR R，函数 f(x)a a(b bc c) (1)求函数 f(x)的单调递减区间； 2 (2)若 f 2 2 ，求 sin 的值 解(1)因为 a a(sin x，cos x)，b b(sin x，cos x)， c c(cos x，sin x)， 所以 b bc c(sin xcos x，sin xcos x)， f(x)a a(b bc c)sin x(sin x
13、cos x)cos x(sin xcos x) sin2x2sin xcos xcos2x 2x . sin 2xcos 2x 2sin 4 3 当 2k 2x 2k，kZ Z， 242 37 即 kxk，kZ Z时，函数 f(x)为减函数 88 37 k，k ，kZ Z. 所以函数 f(x)的单调递减区间是 88 2x ， (2)由(1)知，f(x) 2sin 4 2 又 f 2 2 ， 12 ，sin . 则 2sin 4 2 4 2 cos21， 因为 sin2 44 3 .所以 cos 4 2 sincos cossin ， 又 sin sin 4 4 4 4 44 3 时，所以当 c
14、os 4 2 2 61232 sin ； 22224 3 时，当 cos 4 2 2 61232 sin . 22224 综上，sin 2 6. 4 真题体验 1(2017北京改编)设 m m，n n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m mn n”是“mmn n0”的 _条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要 解析方法一由题意知|m m|0，|n n|0. 设 m m 与 n n的夹角为 . 若存在负数 ，使得 m mn n， 则 m m 与 n n反向共线，180， m mn n|m m|n n|cos |m m|n n|0. 当 90180时，
15、m mn n0，此时不存在负数 ，使得 m mn n. 故“存在负数 ，使得 m mn n”是“m mn n0”的充分不必要条件 方法二m mn n，m mn nn nn n|n n|2. 当 0，n n0 0 时，m mn n0. 反之，由 m mn n|m m|n n|cosm m，n n0，(mn)21mn (mn)2，当且仅当 mn时取等号， 32 32 3 (mn)21，则 mn，即 mn的最大值为. 433 1 3cos x， ，函 10(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量 m m(sin x，1)，向量 n n 2 数 f(x)(m mn n)m m. (1)求 f(x)的单
16、调递减区间； 1 4 (2)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，A 为锐角，a2 3，c4，且 f(A)恰 0， 上的最大值，求 A，b和ABC的面积 S. 是 f(x)在 2 解(1)f(x)(m mn n)m m 1 sin2x1 3sin xcos x2 1cos 2x31 1sin 2x 222 31 sin 2x cos 2x2 22 2x 2. sin 6 3 由 2k 2x 2k(kZ Z)， 262 5 得 k xk(kZ Z) 36 5 k ，k (kZ Z) 所以 f(x)的单调递减区间为 36 2A 2， (2)由(1)知 f(A)sin 6 5 0
17、， 时， 2x ，当 x 2 666 由正弦函数图象可知，当2x 时 f(x)取得最大值 3. 62 所以 2A ，A . 623 由余弦定理，a2b2c22bccos A， 1 得 12b21624b ，所以 b2. 2 11 所以 S bcsin A 24sin 602 3. 22 B组能力提高 11. (2017 届江西师大附中、临川一中联考)在 RtABC 中，BCA90，CACB1，P 为 AB边上的点，APAB，若CPABPAPB，则 的最大值是() 2 2 A. 2 C1D. 2 答案C 解析因为CPAPACABAC， 2 2 B. 2 PBABAPABAB， 故由CPABPAP
18、B， 可得 212(1)，即 21222， 122 也即 22 ，解得 11， 222 由于点 PAB，所以 1 故选 C. 12(2017 届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在 同一直线上，边 B3C3上有 10 个不同的点 P1，P2，P10,记 miAB2APi (i1,2，10)， 则 m1m2m10的值为() 21， 2 A15 3 B45 C60 3 D180 答案D 解析因为 AB2与 B3C3垂直，设垂足为 C，所以APi在AB2上的投影为 AC，miAB2APi |AB2|AC|2 33 318，从而 m1m2m10的值为 1810180
19、.故选 D. 13.(2017 届江西上饶一模)已知在 RtAOB 中，AO1，BO2，如图， 动点 P是在以 O点为圆心，OB为半径的扇形内运动(含边界)且BOC 90.设OPxOAyOB，则 xy的取值范围是_ 答案2,1 解析由已知图形可知OP，OA的夹角AOP90，180，所以 x0， OP，OB的夹角BOP0，90，所以 y0， 由 C 到 B 移动时，负数 x 逐渐增大，正数 y由平行四边形法则可知，当点 P 沿着圆弧CB 逐渐增大，所以当点 P在 C处时 xy取得最小值，因为 OC2OA，OCOB，所以 x 2，y0，所以 xy2，当点 P 在点 B 处时 xy 取得最大值，因为
20、 OAOB，所以 x 0，y1， 所以 xy1，所以 xy的取值范围为2,1 14(2017 届云南曲靖一中月考)已知向量 a a(1,0)，b b(cos ，sin )，c c(cos ，sin ) (1)求|a ac c|的最大值； (2)若 ，且向量 b b与向量(a ac c)垂直，求 cos 的值 4 解(1)a ac c(cos 1，sin )， |a ac c|cos 12sin2 22cos ， 当 cos 1时，|a ac c|2，|a ac c|的最大值为 2. 22 (2)若 ，则 b b， ， 422 a ac c(cos 1，sin )， 向量 b b 与向量 a ac c垂直， 22 (cos 1)sin 0， 22 sin cos 1， 故 sin2(1cos )212cos cos2， cos2cos 0，cos 0或 1. 当 cos 1 时，sin 0，a ac c(0,0)不符合条件， cos 0.