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1、,流体力学,第5章 势流理论 (Chapter 5. Potential Flow Theory),本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场的速度分布、压力分布及作用于物体上的力。,Background： Aviation, ship & ocean eng. water waves.,1,章节内容,5.1 势流问题的基本方程和边界条件,Laplace方程是线性方程。要使解唯一，需给出边界条件、初始条件。,5.1.1 基本方程Laplace Equition,（in fluid）,势流问题的数学描述Mathematical Model,2,章节内容,5.1.2 边界条件(Boundary C
2、ondition),速度势在流体域边界面上满足的条件, 物面运动速度 流体质点的速度 物面的单位外法向量,1)物面边界条件：物面不可穿透,（on S）,3,章节内容,若物面运动：对 求全（物质）导数,若物面静止不动： ，则物面边界条件简化为,（on S）,5.1.1 基本方程Laplace Equition,4,章节内容,（1）大地坐标系：,2) 无穷远边界条件,5.1.3 初始条件（initial condition) 初始时刻 速度势 (或 )在流体域内或边界上满足的条件。,（2）随体坐标系：若物体以V0 运动，则问题转化为物体不动，而流体从无穷远处以-V0 流来 绕流问题。,5,章节内容
3、,例5-1,半径为R 的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为a 的小球以速度V(t) 在其中运动。试建立速度势定解问题。,6,章节内容,5.1.4 势流问题的求解方法,寻求速度势满足边界条件和初始条件的Laplace 方程的解 。,7,章节内容,5.2 复势（complex potential ）,5.2.1 复势与复速度（复平面）,2)复速度（导数）与流体速度的关系：,借助复变函数数学工具解平面势流问题。,8,章节内容,4),5.2.1 复势与复速度（复平面）,3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：,9,章节内容,解析函数 的线性组合,仍然是解析函数，仍然代表某一种流动的复势。简单
4、流动组合成复杂流动叠加法,5.2.1 复势的可叠加性,10,章节内容,5.3 平面势流的基本解,目的：求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础。 内容：均匀流、点源、点涡、偶极。 方法：利用已知流动的特征，“凑”。,11,章节内容,5.3.1 均匀流 (uniform stream),=0 时：, 0 时：,12,章节内容,5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink),源强：源点注入流场的体积流量 m。 点源， 点汇。,13,章节内容,点源位于（x0，y0）：,5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink),14,章节内容,5.3.3 平面偶极 (dipole
5、),15,章节内容,5.3.3 平面偶极 (dipole),位于（0，0）偶极：,16,章节内容,位于（0，0）偶极：,17,章节内容,5.3.4 平面点涡 (vortex),不难验证，上述基本解满足Laplace方程和相应的无穷远条件的。另外，在源、涡和偶极的位置上存在奇异性（奇点）。可见，点源（汇）、偶极以及点涡都是奇点，均匀流是一个特殊的奇点。,18,章节内容,作业,5-4 补充题:已知复势为: 试分析以上流动的组成,绘出流线图.,19,章节内容,5.4 平面势流基本解的叠加,5.4.1 均匀流和点源的叠加,20,章节内容,或,驻点位置,5.4.1 均匀流和点源的叠加,流体速度：,21,
6、章节内容,5.4.1 均匀流和点源的叠加,过驻点(a, 0)流线方程：,时， ，流线在无穷远处的半宽为 。,均匀流和源叠加可模拟绕弹形物体的流动。调整源强m和速度V0，改变流线的形状。,22,章节内容,5.4.1 均匀流和点源的叠加,流场中压力分布,压力系数,23,章节内容,5.4.2 均匀流和一对等强度源汇的叠加,x方向均匀流 + 等强度源汇：源(-b,0）、汇(b,0）,24,章节内容,5.4.2 均匀流和一对等强度源汇的叠加,将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动。 点源推开流线，点汇收回流线。,驻点位置：,过驻点流线：,25,章节内容,5.4.3沿轴正向均匀流与偶极的叠加,偶
7、极位于（0，0），方向沿 - 轴：,速度分布：,驻点：,过驻点的流线由 、 的 x 轴和半径 的圆组成。该解模拟流体绕圆柱的流动。,26,章节内容,5.4.4 绕圆柱体无环量流动,研究半径为 a 的无限长圆柱体在理想流体中等速直线运动的解。,数学模型：取固结于圆柱上的柱坐标系,27,章节内容,5.4.4 绕圆柱体无环量流动,(1) 速度势 基本解叠加法（通解） ：,物面条件定解：,复势：,28,章节内容,5.4.4 绕圆柱体无环量流动,(2) 速度分布,柱面上（r=a）：,29,章节内容,5.4.4 绕圆柱体无环量流动,(3) 压力分布（无穷远处V0，p0）,得全流场压力分布。,柱面上（r =
8、a）：,Pressure coefficient,30,章节内容,5.4.4 绕圆柱体无环量流动,阻力为零(Archimedes Paradox) 圆柱体在理想流体中作等速直线运动时，受到流体作用的阻力等于零，原因：没有考虑流体的粘性。,No lift,No drag,(4) 圆柱受力,31,章节内容,5.4.5 绕圆柱有环量流动,半径为 a 的圆柱以 V0 作等速直线运动，转动角速度。,(ra),(r=a),(r),数学模型,32,章节内容,5.4.5 绕圆柱有环量流动,(1) 速度势：,33,章节内容,5.4.5 绕圆柱有环量流动,(2) 速度分布,柱面上（r=a）：,34,章节内容,5.
9、4.5 绕圆柱有环量流动,若 1，柱面上有两个驻点: 和 ； 若 =1，柱面上只有一个驻点: ； 若 1，柱面上无驻点: 。,环量对流场的影响：,35,章节内容,5.4.5 绕圆柱有环量流动,(4) 圆柱受力,柱面上（r=a）：,Pressure coefficient,(3) 压力分布,36,章节内容,5.4.5 绕圆柱有环量流动,升力的大小：等于密度 、流速V0、环量0、和柱体长度的乘积。 升力的方向：沿v0方向逆速度环量旋转90所对应的方向。,37,章节内容,圆柱：绕圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。 机翼：机翼周围流场不对称、环量（机翼几何形状、攻角）、粘性。,升力产生的原因
10、（Magnus effect）：,38,章节内容,作业,5-1 5-2 5-3 5-5,39,章节内容,基本思想：将物理平面上边界形状复杂的流动变换到辅助平面上边界形状简单的流动，求得辅助平面内的流动后，再返回到物理平面。,5.5 平面势流的保角变换法（复变函数方法）,5.5.1 保角变换的概念及流动关系,如果=f (z) 在定义域内单叶解析、导数f (z)0，则该变换是保角变换。 如果=f (z) 在边界上连续，域内处处解析，该变换将平面上的一个区域变换为平面上的一个区域，而且保持边界上对应点的顺序不变。,（1） 保角变换,40,章节内容,保角变换将z 平面上物体边界变为平面上边界的同时，对
11、应点上的流动也 (1: 1) 对应。,（2）两平面内对应的流动关系, 对应的复势： 两平面对应点上的复势相等。等势线变换成等势线，流线变换成流线：,41,章节内容,无穷远处：, 对应的速度关系：,若m为实常数，上远方速度较 z 上放大m倍，方向不变；若m为复常数，远方速度大小、方向都改变。, 对应的速度环量和体积流量（保持不变） 设z 平面上闭曲线C 变换为平面上的闭曲线C，沿对应封闭曲线C 和C 的积分, 对应的速度：,42,章节内容,z平面的图形变换到平面时，形状不变，位置平移了距离b。,5.5.2 常用的几种保角变换关系,（1） 平移变换：,43,章节内容,（为实常数 ）,图5.5.2
12、旋转变换,z 平面上的图形变到上时，形状不变，但绕原点旋转了度。,（2）旋转变换：,44,章节内容,（A 为实常数 ）, 圆变换为椭圆 z 上圆 rA 上椭圆 ：,（3）儒可夫斯基变换：, 圆变换为直线 z 上圆 r=A 上直线A ：,45,章节内容,（A 为实常数 ）, 圆变换为翼型 z 上位于（x0, y0) 的圆 rA 上翼型,Joukowski 变换：,利用Joukowski变换可讨论理想流体绕平板和翼型的流动。,46,章节内容,5.5.3 理想流体绕平板的流动,工程应用：近似估计船用舵、风向标、对称机翼等流动。,物理 平面 辅助平面 辅助平面,物理平面上平板绕流复杂，复势W () =
13、 ？ 求解思路：物理平面上平板变换为辅助平面z1上的圆，相应地平板绕流变换为圆柱绕流.,流速V0、板宽 2a ，流向与平板夹角。,47,章节内容,复势：,变换函数 (Joukowski mapping) ：,来流速度：,48,章节内容,平板(无环量)绕流复速度：,理论上平板端点=a 处绕流速度趋于无限大。事实上，流体在平板后缘平滑流出，速度为有限值。,库塔儒可夫斯基条件: 绕具有尖锐后缘物体流动中, 上下流动在后缘会合，且后缘处速度为有限值。,将上表面驻点推后相当于原点加个点涡，点涡强度由K-J 条件确定。,49,章节内容,平板（有环量）绕流的复势 ：,K-J条件仍未解决平板前缘速度无限大问题，这引起前缘吸力。实际机翼前缘为圆弧形，可有效避免无限大速度的产生。,复速度：,Kutta condition,50,章节内容,板面上压力分布：, 1：,合力：,升力系数：,A=2a,小攻角,51,章节内容,升力（application)：,52,章节内容,5.7平面定常绕流物体的受力一般公式,给出用复势表达的受力公式,53,章节内容,5.7.2 Kutta-Joukowski定理,于是,当 沿 x 方向、环量为 时Blasius公式的具体形式,54,章节内容,例5-4 用Blasius合力公式求有环量（顺时针）圆柱绕流的作用力。 解：流场的复势及其导数,受力,55,章节内容,