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1、二、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1、2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_.2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，ab_，a_，|a|_.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_，|_.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a、b共线_.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“
2、”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示( )(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.( )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( )1设e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对2已
3、知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则_.3在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_4设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.5(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_答案(1,5)题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则等于()A. B. C. D.(2)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法
4、则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决(1)在平行四边形ABCD中，e1，e2，则_.(用e1，e2表示)(2)如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A. B. C. D.(2)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量A同方向的单位向量坐标为_思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想
5、的运用及正确使用运算法则(1)已知点A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，则点B的坐标为()A(7,4) B(7,14) C(5,4) D(5,14)(2)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(2,7) B(6,21) C(2，7)D(6，21)题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3(1)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_命题点2利用向量共线求参数例4若三点A(1，5)，
6、B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_命题点3求交点坐标例5已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C三点共线等价于与共线设(2,4)，(a,2)
7、，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_11解析法(坐标法)在向量中的应用典例(12分)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值方法与技巧1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值失误与防范1要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若a(x1，y1)，b(x2，y
8、2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.A组专项基础训练(时间：35分钟)1.如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A B C D2已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2)3已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Aab B.ab Cab Dab4已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则等于()A. B. C1 D25已知|1，|，0，点C在
9、AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为()A2 B. C3 D46已知A(7,1)，B(1,4)，直线yax与线段AB交于点C，且2，则实数a_.7已知点A(1,2)，B(2,8)，则的坐标为_8已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是_9已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标10已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线B组专项能力提升(时间：15分钟)11已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于()A2 B2 C D.12已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC135，设(R)，则的值为_13已知ABC和点M满足0.若存在实数m，使得m成立，则m_.14如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_15.将等腰直角三角板ADC与一个角为30的直角三角板ABC拼在一起组成如图所示的平面四边形ABCD，其中DAC45，B30.若xy，则xy的值是_