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1、第二章 功能原理 计算结构力学 1章节内容 首页上页返回下页 1、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂 单元就更为困难只能求助于功能原理。 2、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导 出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。 3、处理单元荷载。 4、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助 于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。 5、了解功能原理和力学上的平衡原理(或变形协调原理)的 等价性。 2-1 概述:学习功能原理的目的 一、基本知识 2章节内容 首页上页返回下页 1、静力加载(比例加载)。 2、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态 的能力，即具有做
2、功的能力，又称为形变势能。 3、功能方程(前提：静力加载；无耗散功Q=0)：在 微小的t 内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变 能：W=U。 4、总势能：结构的形变势能+荷载势能 =U+V 二、先修有关概念 3章节内容 首页上页返回下页 1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的， 可任意虚设的微小位移。所谓虚，并非指不存在 ，而是指与实际的力态独立无关。 2、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移 态上所做的功恒等于零的那种约束。 3、虚功 W*=F u* (1) 虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无 关。 2-2 虚位移原理 一、几个概念 4章节内容 首页上页返回下页 4、虚应变能
3、(内力虚功、虚变形能、虚变形功) 。 式中： ：力F所引起的应力(力态)； *：虚位移u* 所引起的虚应变(虚设的位 移态)。 (2) 5章节内容 首页上页返回下页 虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状 态的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移 ，外力所作的虚功W*等于虚变形功U* (虚应 变能，内力虚功)。 研究对象：实际的力态。 虚 设：位移态(满足变形协调条件)。 于是，虚功原理可表述为： 体系平衡 W*=U* (3) 其中：在虚设的任一几何可能的位移态上。 二、虚位移原理及其证明 6章节内容 首页上页返回下页 证明： 以最简单的杆件结构为例，如图： 杆端力：结点对单元的作用力。 结点力
4、：杆端对结点的作用力称为结 点力。 杆端力和结点力是作用力和反作用力 。 对结点1，由平衡条件 X=0:P1-F12=0 对结点2，由平衡条件 X=0:P2-F21-F23=0 (4) 7章节内容 首页上页返回下页 外力虚功为： 式中： 表示微小，* 表示虚设。 虚应变能为： 8章节内容 首页上页返回下页 注意:虽然是就上述特 殊情况进行的证明， 但可推广到其它的受 力状态及由若干个单 元所组成的弹性结构 。 9章节内容 首页上页返回下页 关于虚位移原理的讨论： 1、仍然是一个(虚功)体系，两个状态； 2、力态静力可能的证明，建立在位移态(虚设) 的几何可能上； 3、若力态转换成位移表达式，则
5、要求力态变 形协调； 4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。 10章节内容 首页上页返回下页 2-3 虚应变能与外力虚功 利用虚位移原理于具体问题时，必须 列出虚应变能U*和各种荷载的外虚功W* ，本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移 、虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及 表达式。 一、虚应变能 11章节内容 首页上页返回下页 这里，“*”表示“虚设”，为一阶变分算子，“”与 “d”的运算规律相同，意义类似，亦可看成是“微小”。 3、虚应变能(内力虚功) 1、虚位移2、虚应变 忽略剪切应变 (5)(6) 12章节内容 首页上页返回下页 1）、轴向拉压 实际的力态x；虚设的位移态u*，所引起的 虚
6、应变为 (7) 13章节内容 首页上页返回下页 2）、弯曲 实际的力态Mz；虚设的位移态 则 (8) 14章节内容 首页上页返回下页 对于三维应力状态。设实际的力态为： 虚设的位移态为： 则虚应变能为: 对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设 ，故可分开表示为： (9) 15章节内容 首页上页返回下页 与前述单独变形的结果一致。 16章节内容 首页上页返回下页 1、集中荷载情况 实际的力态Pi 虚设的位移态 则 2、分布荷载情况 实际的力态q(x) 虚设的位移态 则 3、既有1又有2的情况，则W*为1与2之和。 (10) (11) 二、外力虚功 17章节内容 首页上页返回下页 2-4 虚位移
7、原理的应用 应熟练了解运用虚位移原理的前提条件 。 虚位移原理的研究对象是实际的力态， 实际力态的平衡关系以及实际力态中力与位 移之间的关系。为此，需任意虚设一位移态 ，此位移态一定要几何可能。 18章节内容 首页上页返回下页 杆件位移态的几何可能条件 19章节内容 首页上页返回下页 主要应用： 1、推导各类单元的刚度矩阵，将在后面章节 重点介绍； 2、求结构内力与位移，注意方法过程，详请 参考结构力学教程，运用中应特别注意u*、 v* 为任意虚设的位移，u、v为实际的位移，两种位 移应独立无关。 20章节内容 首页上页返回下页 式中h2i称为转移系数 ，具体可求出。现求：仅 当发生变形e2时
8、，求相 应的i(如图)。 为此，可虚设此位移 态，则力态的外力在此位 移态上的外力虚功为： W*=Pii 虚位移原理应用举例 设仅有Pi=1时，在单元中引起的内力的h2i；则由 于为线性结构，当为Pi时， 中内力为 F2=h2iPi (12) nn 1 i+1 21章节内容 首页上页返回下页 虚变形功为： U*=F2e2=h2iPie2 由虚位移原理 W*=U* 便有 Pii=h2iPie2 最后得 i=h2ie2 (13) 这就是应用虚位移原理的实例。 22章节内容 首页上页返回下页 即当单元有单位变形时，未知量i方向 上的位移亦为h2i，因此可说系数h2i是把Pi“转 移”为中内力F2的系
9、数，或者说是把单元 的变形“转移”为i方向位移的系数。这是很 重要的概念 (逆步变换的概念)，反映了结构 本身的属性。 23章节内容 首页上页返回下页 力和位移、应力和应变均称为结构分析 中的对偶参数，本节主要完善虚功的对偶性 原理。 介绍虚力原理的目的： 导出柔度矩阵，作为在特殊情况下推导 刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。 研究对象：实际的位移态。 虚设状态：任一静力可能的力态。 2-5 虚力原理简介 24章节内容 首页上页返回下页 与外力虚功对应的是虚余功： (1) 与虚应变能对应的是虚应变余能： (2) 25章节内容 首页上页返回下页 弹性结构处于变形协调状态的必要与 充分条件是：对于
10、平衡的任意虚力系在结 构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余 能。即： (3) 其中：在任一静力可能的虚力态上。 虚力原理 26章节内容 首页上页返回下页 2-6 能量原理 介绍结构在外力和在该外力所引起的位 移及变形上的功能情况。 主要内容包括 ：结构总势能，势能驻值原理 和势能极小原理。 1、结构总势能的定义 以杆件为例=U+V=U-W(1) 27章节内容 首页上页返回下页 可知W是位移的二次函数；由于应变和位移 是线性关系，故U亦是位移的二次函数。 （2 ） （3 ） （4 ） 28章节内容 首页上页返回下页 29章节内容 首页上页返回下页 3、势能极小原理 即：对于稳定平衡，真实位移总是
11、使取极小值。(证明 参见结构力学教程) 30章节内容 首页上页返回下页 31章节内容 首页上页返回下页 32章节内容 首页上页返回下页 2-7 互等定理 1、功的互等定理 当结构处于线弹性状态时，力P1在由P2 所引起的位移上所作的虚功等于力P2在由力P1 所引起的位移上所作的虚功，即 P1T2=P2T1(1) 33章节内容 首页上页返回下页 34章节内容 首页上页返回下页 在单个力的作用下，功的互等定理可表为 P112=P221（4） 35章节内容 首页上页返回下页 求。 解：由功的互等定理： 例：已知 36章节内容 首页上页返回下页 3.反力互等定理： 由功的互等定理亦可得到 r12=r21或k12=k21 上式中rij为反力影响系数，kij为刚度系数。 37章节内容 首页上页返回下页 例2：已知=1时M=6i/l，求=1时Q=？ 解：令侧移为1(序号)，转角为2 (序号)，则 M=K21=6i/l 由反力互等定理可知 Q=K12=6i/l =1 M=6=K i l 21 =1 Q=6=K l i 12 38章节内容