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1、 理科数学试题答案及评分参考第1页（共13页） 2019 年深圳市高三第二次调研考试 理科数学试题答案及评分参考 第卷 一选择题 1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C 11.B 12. B 二填空题： 13. 2 14. 2 2 1 3 x y= 15. 72 16. 1009 11. 解析： ( )3sincos2sin() 6 f xxxx=+=+，xR，令 6 tx=+，( )2sinf xt=. 若函数( )f x恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 , 4 3 上， 也即函数2sinyt=恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 , 46 36
2、 +上， 3 , 2462 3 , 2362 + + ，解得 820 , 33 14, ，即 8 4 3 ， 的取值范围为 8 ,4) 3 ，故应选 B 12. 解析： （法一）补成长，宽，高分别为3, 2,1的长方体(如下图)， 由于EF，故截面为平行四边形MNKL，可得5KLKN+=， 设异面直线BC与AD所成的角为，则sinsinsinHFBLKN=， 算得 2 6 sin 5 = ， sin MNKL SNK KLNKL= 四边形 2 2 66 () 522 NKKL+ =， 当且仅当NKKL=时取等号，故应选 B 理科数学试题答案及评分参考第2页（共13页） （法二） () 1 2
3、FE ADFAFDAD=+ uur uuu ruuruuu ruuu r () 1 4 BA CABDCDAD=+ uuruuruuu ruuu ruuu r () () 1 0 4 BA ADCD ADCA ADBD AD =+= uur uuu ruuu r uuu ruur uuu ruuu r uuu r EFAD，同理可得EFBC ， 设异面直线BC与AD所成的角为 ，则sin sinsinHFBLKN=， () 321BC ADBAACADBA ADAC AD=+=+= += uuu r uuu ruuruuu ruuu ruur uuu ruuu r uuu r Q ， 1 co
4、s, 5 | | BC AD BC AD BCAD = uuu r uuu r uuu r uuu r uuu ruuu r ， 2 6 sin,sin 5 BC AD= uuu r uuu r ，即 2 6 sin 5 NKL= ， 同法一可得 6 sin 2 MNKL SNK KLNKL= 四边形， 当且仅当NKKL=时取等号，故应选 B 16.解析： 11 22 nnnnn SSS Sna +=， 111 22 () nnnnnn SSS Sn SS +=， 11 2(21)(21) nnnn S SnSnS =+， 1 2121 2 nn nn SS + =， 令 21 n n n b
5、 S + =，则 1 2 nn bb =（2n） ， 数列 n b是以 1 11 33 1b Sa =为首项，公差2d =的等差数列， 21 n bn=，即 21 21 n n n S + =， 21 21 n n S n + = ， 12 521 321 321 m m S SSm m + = =+ ， 由212019m+ ，解得1009m，即正整数m的最小值为1009，故应填1009 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 理科数学试题答案及评分参考第3页（共13页） 17 （本小题满分 12 分） 已知ABC中，2ABBC=，2 5AC =， 点D在边AC上， 且2=ADCD
6、，2= ABDCBD （1）求ABC的大小； （2）求ABC的面积 解： （1）(法一)依题意设22= =ABDCBD， 2=ADCD，2 5AC =， 4 5 3 AD =， 2 5 3 CD =， 2 分 在BAD中，由正弦定理，可得 sinsin ABAD ADBABD = ， sin3sin2 sin 4 5 ABABDAB ADB AD =， 4 分 同理，在BCD中，由正弦定理，可得 sin3sin sin 2 5 BCCBDBC BDC CD = ， 6 分 BDCBDA+=，sinsin=BDCBDA， 3sin23sin 4 52 5 ABBC =， 2ABBC=，2sin
7、cossin=， 0，sin0， 2 cos 2 =， 4 =， 3 3 4 ABC=. 8 分 （2）在ABC中，由余弦定理，得 222 2cos3ACABACAB BC=+， 222 3 (2 5)( 2)2 2cos 4 BCBCBC BC=+， 解得2BC =， 10 分 2 113 sin32sin2 224 ABC SAB BCBC =. 12 分 (法二) 2=ADCD ， 1 2 = BDC BDA SCD SAD ， 2 分 1 sin 2 BDC SBC BD =， 1 sin2 2 BDA SAB BD =，且2ABBC=， 理科数学试题答案及评分参考第4页（共13页）
8、2 cos 2 =，即 4 =， 3 3 4 =+=ABCABDCBD， 8 分 (以下同法一) 【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，二倍角公式及三角形面积计算公式等知识，意在考察考生 数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养 18 （本小题满分 12 分） 在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，以CE，CF为折痕将DFC 和BCE折起，使点B、D重合于点P，连结PA，得到如图所示的四棱锥PAECF （1）求证：EFPC； （2）求直线PA与平面PEC所成角的正弦值 解析： （1）(法一)证明：连结EF， 记AC与EF的交点为O， 在正方
9、形ABCD中，ABBC，ADCD， 翻折后PCPE，PCPF，3 分 又PEPFP=，PC平面PEF，4 分 EF 平面PEF，EFPC；5 分 (法二)证明：连结EF，记AC与EF的交点为O， 在正方形ABCD中，ACEF，BEDF=， O为EF的中点，翻折后，PEPF=，2 分 O是EF的中点，EFPO， 而ACEF，PO与AC相交于O点，EF平面PAC，4 分 又PC 平面PAC，EFPC；5 分 （2）(法一)由（1）可知OPC为直角三角形，2OP =，4PC =，3 2OC =， 设P到AC的距离为h，2 43 2 h =， 4 3 h =，7 分 111416 2 4 33239
10、P ABCABC VSh = =， 1 4 2 PCE SPC PE =，设点A到平面PCE的距离为 h ， 14 33 A PCEACE VShh =， 416 39 h =，解得 4 = 3 h ，9 分 A B C D E F P O （第 18 题图） A B C D E F P 理科数学试题答案及评分参考第5页（共13页） 在RtPOC中， 1 cos 3 PO POC OC =， 1 cos 3 POA= ， 在POA中， 222 48 2cos 9 PAOAOPOP OAPOA=+ =， 4 3 3 PA=，设PA与平面PEC所成角为，10 分 3 sin 3 h PA =，11
11、 分 直线PA与平面PEC所成角的正弦值为 3 3 12 分 (法二)连结AC，AC与EF交于O点， 以OA，OE所在的直线分别为x，y轴， 过O作垂直于面ABCD 的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有( 2,0,0)A，( 3 2,0,0)C ，(0, 2,0)E，6 分 过P作PGAC，在Rt POC中， 2OP =，4PC =，3 2OC =， OP PCOC PG=， 4 3 PG=， 22 2 3 OGOPPG=， 24 (0) 33 P， ，8 分 4 24 (,0,) 33 PA=， 24 (,2,) 33 PE =，(3 2,2,0)CE =， 思路 1：2P
12、FPE=，2 2EF =，PFPE，9 分 显然PFPC，又PEPCP=，PF 平面PEC，易知(0,2,0)F， 平面PEC的一个法向量 24 (,2,) 33 PF =，10 分 设PA与平面PEC所成角为， 则 |3 sin 3| | PA PF PAPF = ，11 分 直线PA与平面PEC所成角的正弦值为 3 3 12 分 思路 2：设平面PEC的法向量为( , , )x y z=n， A B C D E F P x y z O 理科数学试题答案及评分参考第6页（共13页） 0 0 CE PE = = n n ， 3 220 24 20 33 xy xyz += += ， 取1x =
13、，则3y = ，2 2z =， 则(1, 3, 2 2)=n，10 分 设PA与平面PEC所成角为， 则 |3 sin 3| | PA PA = n n ，11 分 直线PA与平面PEC所成角的正弦值为 3 3 12 分 【说明】本题以翻折问题为载体考察空间中点，线，面的位置关系，异面直线垂直的判定，直线与平面 所成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力 19 （本小题满分 12 分） 某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与月售价x（单位：元/件）之间的关 系，对近几年的月销售量 i y和月销售价 i x(1,2,3,10)i =数据进行了统计分
14、析，得到了下面的散点图： （1） 根据散点图判断，lnycdx=+ 与ybxa=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归 方程类型？（给出判断即可，不需说明理由） ，并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为z（单位：千元） ，当月销售量为何值 时，商品的月销售额预报值最大？ 解：（1）lnycdx=+更适宜销量y关于月销售价x的回归方程类型1 分 令lnux=，先建立y关于u的线性回归方程，由于 10 1 10 2 1 ()() 27.54 10.20 2.70 () ii i i i yy uu d uu = = =
15、， 月销售量/千件 月售价/元 10 8 16 20 18 0 4 12 2 14 6 024681210 A B C D E F P x y z O G 理科数学试题答案及评分参考第7页（共13页） 6.6 10.20 1.7524.45cydu=+=， 4 分 所以y关于u的线性回归方程为24.45 10.20yu=， 因此y关于x的回归方程为24.45 10.20lnyx=. 6 分 （2）依题意得：(24.45 10.20ln )zxyxx=， 7 分 (24.45 10.20ln )14.25 10.20lnzxyxxx=， 8 分 令0z=，即14.25 10.20ln0 x=，解
16、得ln1.40 x ， 所以4.06x ， 10 分 当时(0,4.06)x，z递增，当(4.06,)x+时，z递减， 故当4.06x =，即月销售量10.17=y（千件）时，月销售额预报值最大. 12 分 【命题意图】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通 过利用线性回归方程求非线性回归方程， 通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题 综合考查概率统计 知识分析处理数据，解决实际问题的能力 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4C xy=，过点(2,3)的直线l交C于A、B两点，抛物线C在点A、B处的切线交于 点P （1）当点A的横坐标为
17、4时，求点P的坐标； （2）设Q是抛物线C上的动点，当|PQ取最小值时，求点Q的坐标及直线l的方程 解：（1）点A的横坐标为4，(4,4)A， 易知此时直线l的方程为 1 2 2 yx=+，1 分 联立 2 4 , 1 2, 2 xy yx = =+ ，解得 2, 1, x y = = ，或 4, 4, x y = = ，( 2,1)B，2 分 由 2 4 x y =得 2 x y=，所以2 PA k=，直线PA方程为24yx=，3 分 同理可得直线PB方程为1yx= ，4 分 联立 24 1 = = yx yx ，可得 1 2 = = x y ，故点P的坐标为(1, 2). 5 分 （2）（
18、法一）设 1 1 ( ,) 4 x A x， 2 2 (,) 4 x B x，由 2 4 x y =， 2 x y=，所以 1 2 PA x k=， 所以直线PA的方程为 2 11 1 () 42 xx yxx=，即 2 11 24 xx yx=，6 分 理科数学试题答案及评分参考第8页（共13页） 同理PB的方程为 2 22 24 xx yx=，联立解得 1212 (,) 24 xxx x P + ，7 分 依题意直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为3(2)yk x=， 由 2 4 , 3(2), xy yk x = = 得 2 48120 xkxk+=， 易知0 ，因此 12 4xxk+
19、=， 12 812x xk=， (2 ,23)Pkk ，8 分 点P在直线 1: 30lxy =上，当|PQ取最小值时，即抛物线 2 :4C xy=上的动点Q到直线 1 l的 距离最小，9 分 设 2 0 0 (,) 4 x Q x，则Q到 1 l的距离 2 22 000 0 |3|(1)2|(1) 422 2 222 xxx x d + =+，10 分 当 0 2x =时，d取最小值2，此时(2,1)Q，11 分 易知过点Q且垂直于 1 l的直线方程为3yx= +， 由 3, 30, yx xy = + = 解得(3,0)P， 3 2 k =，直线l的方程为 3 2 yx=， 综上，点Q的坐
20、标为(2,1)，直线l的方程为 3 2 yx=12 分 （法二）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 00 (,)P xy，由 2 4 x y =， 2 x y=， 1 2 PA x k=，直线PA的方程为 1 11 () 2 x yyxx=，即 1 1 2 x yxy=， 同理PB的方程为 2 2 2 x yxy=，7 分 因为点P在切线PA，PB上， 1 001 2 002 , 2 , 2 x yxy x yxy = = ， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy在直线 0 0 2 x yxy=上， 直线l的方程为 0 0 2 x yxy=，8 分 又直线l的过
21、点(2,3)， 00 3yx=， 即点P在直线 1: 30lxy =上9 分 理科数学试题答案及评分参考第9页（共13页） 以下同法一 （法三）设 00 (,)P xy，显然两条切线的斜率均存在， 可设过点P与C相切的直线方程为 00 ()yyk xx=，且切线PA，PB的斜率分别为 1 k， 2 k， 把 00 ()yyk xx=与 2 4xy=联立，并化简得， 2 00 4440 xkxkxy+=， 2 00 (4 )4(44)0kkxy =，即 2 00 0kx ky+=， 1 k， 2 k是方程 2 00 0kx ky+=的两根， 120 kkx+=， 1 20 k ky=，7 分 此
22、时 2 00 4440 xkxkxy+=的两根为 1 2xk=或 2 2xk=，即为切点A，B的横坐标， 2 11 (2 ,)Ak k， 2 22 (2,)Bk k， 22 2112 21 222 l kkkk k kk + = ， 直线l的方程为 2 12 11 (2 ) 2 kk ykxk + =，即 12 1 2 2 kk yxk k + =，8 分 又直线l过点(2,3)M，则 1212=3 kkk k+，即 00=3 xy， 点P在直线 1: 30lxy =上9 分 以下同法一 【说明】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考察抛物线 的切点弦，
23、直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ee(1) =+ xx f xaax(aR).（其中常数e=2.718 28，是自然对数的底数） （1）求函数( )f x的极值点； （2）若对于任意01a，关于x的不等式 21 ( )(e) a f xa在区间(1,)+a上存在实数解，求 实数的取值范围. 解： （1）易知 (e1)(e) ( )ee(1) e =+= xx xx x a fxaa，1 分 当0a时， x (,0) 0 (0,)+ ( ) f x 0 + ( )f x 极小值 函数( )f x的
24、极小值点为0=x，无极大值点； 2 分 当01a时， 理科数学试题答案及评分参考第10页（共13页） x (,ln )a lna (ln ,0)a 0 (0,)+ ( ) f x + 0 0 + ( )f x 极大值 极小值 函数( )f x的极大值点为ln=xa，极小值点为0=x；3 分 当1=a时， 2 (e1) ( )0 e = x x fx， 函数( )f x单调递增，即( )f x无极值点； 4 分 当1a时， x (,0) 0 (0,ln )a lna (ln ,)+a ( ) f x + 0 0 + ( )f x 极大值 极小值 函数( )f x的极大值点为0=x，极小值点为ln
25、=xa；5 分 综上所述，当0a时，函数( )f x的极小值点为0=x，无极大值点； 当01a时，函数( )f x的极大值点为ln=xa，极小值点为0=x； 当1=a时，函数( )f x无极值点； 当1a时，函数( )f x的极大值点为0=x，极小值点为ln=xa. （2）以下需多次引用到如下不等式：e1 x x +，当且仅当0=x时取等号，证明略. 注意到当01a时，有ln10 aa. (法一) 当01a时， 1 e11 + = a aa，ln10 aa， 6 分 (法二) 令( )ln1=+g aaa，则 1 ( )1=g a a ，当01a时，( )0g a， ( )(1)0=g ag，
26、即1ln aa， 显然10 a，ln10 aa， 6 分 由（1）可知当01a时，( )f x在区间(1,0)a上递减，在区间(0,)+上递增， ( )f x在区间(1,)+a上的最小值为(0)1= fa， 关于x的不等式 21 ( )(e) a f xa在区间(1,)+a上存在实数解， 只需当01a时，关于a的不等式 21 (1)(e) a aa恒成立，8 分 由上易知当01a时， 1 e0 a a， 理科数学试题答案及评分参考第11页（共13页） 只需当01a时，不等式 2 1 (1) e a a a 恒成立即可，9 分 令函数 2 1 (1) ( ) e = x x F x x ，01x
27、，则 11 12 (1)(3ee1) ( ) (e) = xx x xxx F x x ， (法一)令函数 11 ( )3ee1 = xx G xxx，01x，则 1 ( )(2)e1 = x G xx， 当01x时， 1 e2 x x， 1 (2)e1 x x，( )0G x， ( )(1)0=G xG，即( )0G x，11 分 (法二)令函数 1 ( )(3)e = x u xx，01x，则 1 ( )(2)e0 = x u xx， (1)1=u，又(1)2=u， 函数 1 ( )(3)e = x u xx在点(1,2)T处的切线方程为21=yx，即1yx=+， 如图所示，易知 1 (3
28、)e1 + x xx， 当且仅当1=x时取等号， 当01x时，( )0G x，11 分 当01x时，( )0F x， ( )(0)e=F xF，即( )eF x， 当01a时，不等式 2 (1) ee a a a 恒成立，只需e， 综上，实数的取值范围为e,)+. 12 分 【命题意图】 本题以基本初等函数、不等式问题为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分 类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有一定综合性. 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos , sin, = = x y （为参数） ，
29、圆 2 C的方程为 22 (2)4xy+=， 以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 射线l的极坐标方程为 0 =(0) （1）求曲线 1 C和圆 2 C的极坐标方程； 理科数学试题答案及评分参考第12页（共13页） （2） 当 0 0 2 时， 射线l与曲线 1 C和圆 2 C分别交于异于点O的M、N两点， 若| 2|ONOM=， 求 2 MC N的面积 解：（1）由 2cos , sin = = x y ，得 1 C的普通方程为 2 2 1 4 x y+=，1 分 把cosx=，siny=代入，得 2 2 ( cos ) ( sin )1 4 +=， 即 2 222 44 cos4
30、sin1 3sin = + ， 所以 1 C的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin = + ；3 分 由 22 (2)4xy+=，把cosx=，siny=代入，得4cos=， 所以 2 C的极坐标方程为4cos=； 5 分 （2）把 0 =代入 2 2 4 1 3sin = + ，得 2 2 0 4 1 3sin = + M ， 把 0 =代入4cos=，得 0 4cos= N ， 6 分 由| 2|ONOM=，得2 NM =，即 22 4 NM =， 即 2 0 2 0 16 (4cos) 1 3sin = + ，解得， 7 分 2 0 2 sin 3 =， 2 0 1 cos 3 =，又
31、 0 0 2 ， 所以 2 0 42 3 = 13sin3 = + M ， 0 4 3 4cos 3 = N ， 8 分 所以 2 MC N的面积 222 = MC NC NC MOO SSS 20 112 362 2 |() sin2= 22333 = NM OC 10 分 【说明】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极坐标的几何意 义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养考察考生的化归与转 化能力 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 1 ( ) |(1)f xxmxm m =+ （1）当2m=时，
32、求不等式( )3f x 的解集； 理科数学试题答案及评分参考第13页（共13页） （2）证明： 1 ( )3 (1) f x m m + 解：（1）当2m=时， 1 ( ) |2| 2 f xxx=+， 1 分 当 1 2 x 时，原不等式等价于 1 (2)()3 2 xx+，解得 3 4 x ， 2 分 当 1 2 2 x时，原不等式等价于 5 3 2 ，不等式无解，3 分 当2x 时，原不等式等价于() 1 2 +3 2 xx + ，解得 9 4 x ， 4 分 综上，不等式( )3f x 的解集为 39 (,)( ,) 44 +； 5 分 （2）由题 11 ( ) | |f xxmxm mm =+， 6 分 0m， 11 |mm mm +=+， 1 ( )f xm m +， 当且仅当 1 ,xm m 时等号成立 7 分 11111 ( )(1)1 (1)(1)11 f xmmm m mmm mmm +=+=+ ， 1m，10m ， 11 (1)12 (1) () 13 11 mm mm + + = ，9 分 1 ( )3 (1) f x m m + ，当2m=，且 1 ,2 2 x 时等号成立10 分 【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考 查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养