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1、绝绝密密启启用用前前 2 0 1 9年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 4页，2 3小题，满分 1 5 0分，考试用时 1 2 0分钟。 注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2 B铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使
2、用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 1 2小题，每小题 5分，共 6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 已知集合，则= A B C D 2 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y) ，则 A B C D 3 已知，则 A B C D 4 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（ 0 . 6 1 8 ， 称为黄金分割比例) ，著名的“ 断臂维纳斯” 便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐 的长度之比也是若某人满足上述两
3、个黄金分割比例，且腿长为 1 0 5c m，头顶至脖子下端的长 度为 2 6c m，则其身高可能是 A 1 6 5c mB 1 7 5c mC 1 8 5c mD 1 9 0 c m 5 函数f(x) = 在的图像大致为 A B C D 6 我国古代典籍 周易 用“ 卦” 描述万物的变化 每一“ 重卦” 由从下到上排列的 6个爻组成， 爻分为阳爻“ ” 和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3个阳爻的概率是 A B C D 7 已知非零向量aa，bb满足，且bb，则aa与bb的夹角为 A B C D 8 如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 A A=B A=C
4、A=D A= 9 记为等差数列的前n项和已知，则 A B C D 1 0 已知椭圆 C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若， ，则C的方程为 A B C D 1 1 关于函数有下述四个结论： f(x) 是偶函数f(x) 在区间（,）单调递增 f(x) 在有 4个零点f(x) 的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 1 2 已知三棱锥P-A B C的四个顶点在球O的球面上，P A=P B=P C，A B C是边长为 2的正三角形，E，F 分别是P A，P B的中点，C E F= 9 0 ，则球O的体积为 A B C D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 2 0
5、分。 1 3 曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4 记Sn为等比数列an 的前n项和若，则S5= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“ 主主客客主客主” 设甲队主场取胜的概率为 0 . 6 ，客场取胜的 概率为 0 . 5 ，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4 1获胜的概率是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线 分别
6、交于A，B两点若，则C的离心率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1 7 2 1题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 2 2 、2 3题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 6 0分。 1 7 ( 1 2分) 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 （1 ）求A； （2 ）若，求 s i nC 1 8 （1 2分） 如图，直四棱柱A B C D A 1B1C1D1的底面是菱形，A A1 = 4 ， A B= 2 ，B A D= 6 0 ，E，M，N分别是B C ， B B1，A1D的中点 （1
7、 ）证明：MN平面C 1D E； （2 ）求二面角A - MA 1- N的正弦值 1 9 （1 2分） 已知抛物线C：y 2 = 3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P （1 ）若|A F| + |B F| = 4 ，求l的方程； （2 ）若，求|A B| 2 0 （1 2分） 已知函数，为的导数证明： （1 ）在区间存在唯一极大值点； （2 ）有且仅有 2个零点 2 1 （1 2分） 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方 案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施 以乙药
8、一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白 鼠多 4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0分甲、 乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X （1 ）求的分布列； （2 ）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分，表示“ 甲药的累计得分为 时，最终认 为甲药比乙药更有效” 的概率，则，其中 ，假设， ( i ) 证明： 为等比数列； (
9、 i i ) 求 ，并根据的值解释这种试验方案的合理性 （二）选考题：共 1 0分。请考生在第 2 2 、2 3题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 2 2 选修 4 4 ：坐标系与参数方程 （1 0分） 在直角坐标系x O y中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 （1 ）求C和l的直角坐标方程； （2 ）求C上的点到l距离的最小值 2 3 选修 4 5 ：不等式选讲 （1 0分） 已知a，b，c为正数，且满足a b c= 1 证明： （1 ）； （2 ） 2 0 1 9年普通高等学校招生全国统一考试 理科数
10、学 参考答案 一、选择题 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 B 8 A 9 A 1 0 B 1 1 C 1 2 D 二、填空题 1 3 y= 3x 1 4 1 5 0 . 1 81 6 2 三、解答题 1 7 解： （1 ）由已知得，故由正弦定理得 由余弦定理得 因为，所以 （2 ）由（1 ）知，由题设及正弦定理得， 即，可得 由于，所以，故 1 8 解：（1 ）连结B 1C，ME 因为M，E分别为B B 1，B C的中点， 所以MEB 1C，且ME=B1C 又因为N为A 1D的中点，所以N D=A1D 由题设知A 1B1D C，可得B1CA1D，故MEN D， 因此四边形M
11、N D E为平行四边形，MNE D 又MN平面E D C 1，所以MN平面C1D E （2 ）由已知可得D ED A 以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-x y z，则 ，A 1( 2,0,4 ) ， ， ， 设为平面A 1MA的法向量，则 ， 所以可取 设为平面A 1MN的法向量，则 所以可取 于是， 所以二面角的正弦值为 1 9 解：设直线 （1 ）由题设得，故，由题设可得 由，可得，则 从而，得 所以 的方程为 （2 ）由可得 由，可得 所以从而，故 代入的方程得 故 2 0 解： （1 ）设，则，. 当时，单调递减，而，可得在有唯一零点， 设为. 则当时
12、，；当时，. 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点， 即在存在唯一极大值点. （2 ）的定义域为. （i ）当时，由（1 ）知，在单调递增，而，所以当 时，故在单调递减，又，从而是在的唯一 零点. （i i ） 当时， 由 （1 ） 知，在单调递增， 在单调递减， 而 ， ，所以存在，使得，且当时，；当 时，. 故在单调递增，在单调递减. 又，所以当时，. 从而，在 没有零点. （i i i ）当时，所以在单调递减. 而， 所以在有唯一零点. （i v ）当时，所以 0 ，从而在没有零点. 综上，有且仅有2 个零点. 2 1 解：X的所有可能取值为. 所以的分布列为 （2 ） （i
13、 ）由（1 ）得. 因此，故，即 . 又因为，所以为公比为 4 ，首项为的等比数列 （i i ）由（i ）可得 . 由于，故，所以 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0 . 5 ，乙药治 愈率为 0 . 8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非 常小，说明这种试验方案合理. 2 2 解： （1 ）因为，且，所以C的直角坐标方程为 . 的直角坐标方程为. （2 ）由（1 ）可设C的参数方程为（为参数，）. C上的点到 的距离为. 当时，取得最小值7 ，故C上的点到 距离的最小值为. 2 3 解： （1 ）因为，又，故有 . 所以. （2 ）因为为正数且，故有 = 2 4 . 所以.