专题21 推导证明类问题解析版.pdf

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1、专题专题 2121推导证明类问题推导证明类问题 证明推导题就是结合物理公式和物理规律，用数学的方法，导出一个要得到的等式。在证明过程中需 要用到物理规律，所以灵活理解物理规律，应用物理规律是物理证明推导题的精神所致。光用数学办法得 出的结论是不可靠的。初中阶段在证明题问题中，经常用到平衡力思想、光的反射定律、牛顿第三定律、 串并联电路电流电压特点、重力与质量关系等，应用数学知识经常用到全等三角形、相似三角形、三角函 数等。有时能正确做出图形是完成任务的重要保证。证明推导题在安徽省、天津市中考常出现，在河南省、 河北省、以及湖北、山东等虽然没有直接要求证明推导，但在选择题、填空题、计算题里要用到

2、推导的办 法。所以这类问题也要十分关注。 【例题 1】如图有两平面镜夹角为，有一束光线从 C 点射人经过两次反射从F 点射出，证明其出射角 =2 【答案】见解析。 【解析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 =FED+CDE 平角等于 180 所以FED=180-2DEO CDE=180-2EDO 所以 =FED+CDE =（180-2DEO）+（180-2EDO） =360-2（DEO +DEO） 在 EDO 中，DEO +DEO=180- 所以， =360-2（DEO +DEO）=360-2（180-）=2 所以 =2 【例题 2】如图，用弹簧测力计称物体重力时， 吊着物体在空

3、中静止不动， 弹簧测力计示数等于物体的重力. 牛顿第三定律告诉我们：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，作用在同一条直线 上.请你依据牛顿第三定律和二力平衡的条件推证：弹簧测力计的示数F(即弹簧所受 A 的拉力)就等于物体 A 的重力 G，即 F=G. 【答案】见解析。 【解析】先根据处于静止状态或匀速直线运动状态的物体受到平衡力作用，分析物体A 在水平方向所受的 拉力和摩擦力是一对平衡力；然后再利用作用力与反作用力的关系，分析弹簧测力计对物体A 的拉力与物 体 A 对弹簧测力计的拉力是一对相互作用力，根据平衡力大小的特点、相互作用力大小的特点以及利用等 效替代法进行证明 证

4、明：因为物体 A 处于静止状态，物体A 在竖直方向上受到拉力和重力是一对平衡力，所以弹簧测力 计对物体的拉力等于物体所受重力，即F=G； 而测力计对物体A 的拉力F与物体A 对测力计拉力F是一对作用力与反作用力,由牛顿第三定律可知： F= F,所以 F=G. 【例题 3】“等效替代法”是物理学中常用的一种方法若图甲的两个电阻并联后接入电路中的效果与图乙一 个电阻接入电路的效果相同， 请你利用并联电路电压、 电流的规律及欧姆定律推导出R 与 R1、 R2的关系式 【答案】见解析。 【解析】本题先利用欧姆定律得出并联电路中各电阻上的电流，然后将各电阻上的电流值，代入并联电路 的电流关系式中，结合并

5、联电路的电压特点即可导出R 与 R1、R2的关系式 根据欧姆定律可得并联电路中两个电阻上的电流分别为： I1=；I2=；一个电阻 R 上的电流为：I= ； 由并联电路的电流关系 I=I1+I2得： =+； 又因为并联电路电压的特点是：U=U1=U2； 所以 =+ 1试根据压强是物体所受压力的大小与受力面积之比的定义，推导出密度为 的液体，在液面下深度为 h 处液体产生的压强 P 的表达式。 （已知：重力与质量的比值为g，要求用 、h、g 表示 P） 。 【答案】见解析。 【解析】设想液面下 h 深处有一面积为 S 的水平圆面，则水平圆面受到的压力： F=G=mg=Vg=Shg， 则在液面下深度

6、为 h 处液体产生的压强： p=gh。 2.如图，AB 两地相距 4km，MN 是与 AB 连线平行的一条小河的河岸，AB 到河岸的垂直距离为 3km，小军 要从 A 处走到河岸取水然后送到B 处，他先沿垂直于河岸的方向到D 点取水然后再沿 DB 到 B 处。若小军 的速度大小恒为 5km/h，不考虑取水停留的时间。 （1）求小军完成这次取水和送水任务所想要的总时间。 （2）为了找到一条最短路线（即从A 到河岸和从河岸到 B 的总路程最短） ，可以将 MN 看成一个平面镜， 从 A 点作出一条光线经 MN 反射后恰能通过 B 点，请你证明入射点O 即为最短路线的取水点。 【答案】 (1)1.6

7、h； (2)如解析所述，入射点 O 为最短路线的取水点。 【解析】(1)如下图所示,小军通过的路程是 AD+DB， 此时,AB=4km,AD=3km,根据勾股定理可知,DB=5km， 故小军通过的路程 s=AD+DB=3km+5km=8km， v=st 所需的时间： t=sv=8km5km/h=1.6h； (2)作出发光点 A 关于平面镜的对称点,即为像点 A,连接 A、B 点交平面镜于点 O，沿 OB 画出反射光线， 连接 AO 画出入射光线，如图所示，图中O 就是入射点； 由图可知,AB 的连线是线段,两点之间,线段最短,即此时 AB 之间的距离(AO+OB)最短； 根据平面镜成像的特点可

8、知,此时 AD=AD,且 RtADO 与 RtADO 有一条公共边 DO,故可知 RtADO RtADO,即 AO=AO； 故 AO+OB=AO+OB； 即此时 O 点是最短路线的取水点。 3.如图所示，竖直放置平面镜MN 前有一直立人体 AB，人眼可通过平面镜观测到自己的像，试结合平面镜 成像特点和光的反射原理推证：平面镜所需最小长度为人体长度的一半时，人眼即可观看到全身像.（设人 眼在 A 点，不考虑成像宽度） 【答案】见解析。 【解析】根据平面镜成像特点作出像AB，分别连接 AA、AB交平面镜于 O、O，人眼能看到像是因为物 体发出的光经平面镜反射到人眼，再连接 BO，可知人体最下端 B

9、 发出的光可经 O 点反射到人眼，同样人 体最上端 A 发出的光可经 O反射到人眼.如答图所示. 由平面镜成像特点可知： 又有OO / AB， 所以在中是三角形的中位线， 所以OO 又知 故OO 1 AB 2 1 AB 2 4已知水的比热容为C 水，沙子的比热容的C沙，一堆干沙子和质量相同的水混合成为湿沙子，试推证湿沙 子的比热为(C 水C沙) /2 【答案】见解析。 【解析】证明：假设湿沙子吸热后温度上升t,那么其中所含干沙子吸收的热量为 的热量为,那么湿沙子的比热容： ;所含水吸收 c 湿 ccQ 湿 c 沙mt c水mt 水沙 ，从而得证. mt2mt2 5.汽车沿着平直的公路从甲地开往

10、乙地. （1）若汽车在前一半路程的平均速度为 v1，在后一半路程的平均速度为 v2，则汽车全程的平均速度 V 为 =212（1+2） （2）若汽车在前一半路程和后一半路程所用时间相同，则全程平均速度V 是多少？ 【答案】见解析。 【解析】(1)设甲乙两地间的距离是2s， 则前半段与后半段的路程都是s， v=st， 汽车的运动时间：t1=s/v1,t2=s/v2， 总的运动时间：t=t1+t2=s/v1+s/v2= s（1/v1+1/v2）=s v1 v2/（v1+v2） 全程的平均速度：v=2s/t=2s/ sv1v2/（v1+v2） v =2v1 v2/（v1+ v2） (2)前一半路程和后

11、一半路程所用时间相同， 则 t1=t2=s/v1=s/v2，则 v1=v2， 全程的运动时间：t=2t1=2s/v1=2s/v2， 全程的平均速度：v=2s/t=2s/2s/v2=v1=v2 6.一均匀的长方体浸没在液体中，如图所示已知它的底面积为S，上表面所处深度为h1，下表面所处深度 为 h2，则长方体下表面所受到液体的压力表达式为、浮力表达式为 （液体密度 液和 g 为 已知量） 【答案】 液 gh2S； 液 g（h2h1）S 【解析】由液体压强公式p=gh 及压强公式的变形公式F=pS 得： F1=p1S= 液gh1S； F2=p2S= 液gh2S， F 浮=F2F1=液 gh2S 液

12、 gh1S= 液 g（h2h1）S 7如图所示，用平行于斜面的力F，把重力为 G 的物体沿着长为 L，高为 h 的斜面匀速拉到斜面顶端，这 时物体受到的摩擦力大小为f， （、F 为已知， 为斜面的机械效率）试推导：f=F(1-) 【答案】见解析。 【解析】根据 = W 有用/W总,求出有用功大小， 再根据 W总=W有用+W额求出克服摩擦力做的额外功的大小， 根据 W 额=fs 求出摩擦力大小 （1）= W 有用/W总, W 有用=W总=Fs， W 总=W有用+W额 W 额=W总- W有用=Fs-Fs=（1-）Fs=fs， 物体受到的摩擦力：f=F（1-） 8演绎式探究探究太阳的引力系数： （1

13、）宇宙中任何两个物体之间都存在万有引力，万有引力的大小F 引=G 11 ，其中m1、m2分别为两个物 体间的距离，万有引力常数G=6.6710Nm2/kg2物体间引力和距离一定时，两个物体质量m1、m2分的 关系可以用如图中图线来表示 （2）行星绕恒星的运动可以近似地看作匀速圆周运动行星受到一个恒定的指向恒星的向心力，向心力的 大小 F 向=m2r，其中 m 为行星质量，r 为两星之间的距离， 为行星做圆周运动的角速度，其大小等于单 位时间内行星与恒星连线转过的角度行星绕恒星运动一周所用的时间用周期T 表示，角速度 与转动周 期 T 的关系为：=行星所受向心力 F 向的大小等于恒星对行星的引力

14、F引的大小 每个星球对在它表面附件的物体都存在引力，引力与物体质量的比值叫作引力系数，用 g 表示，我们 学过地球的引力系数 g 地=10N/kg对于每个星球来讲，下列公式成立： R2g=GM，其中R 为星球半径，g 为 星球引力系数，M 为星球质量，万有引力常数G=6.671011Nm2/kg2 已知地球质量为 m，地球到太阳的距离为L，太阳半径为R，地球的公转周期为T请你推导出太阳的引力 系数 g 日= 【答案】 （1）b； （2）如解析所示 【解析】根据万有引力的大小 F 引=G ，分析其中已知量和不为的量和变化的量，可得两个物体质量 m1、m2分的关系，从而确定图象；太阳为恒星，地球为

15、太阳的行星，根据它们之间的万有引力公式和它们 之间的向心力公式，结合对于太阳来讲，R2g=GM 进行推导 （1）万有引力的大小 F 引=G 11 ，其中 m1、m2分别为两个物体间的距离，万有引力常数： G=6.6710Nm2/kg2由上式可知： 物体间引力和距离一定时，两个物体质量m1、m2分之积为定值，为反比例函数的关系，故可以用如图中图 线 b 来表示 （2）地球为太阳的行星，根据万有引力公式，F 引=G =G， 它们之间的向心力： F 向=m2r=m ； 因地球所受向心力 F 向的大小等于太阳对地球的引力F引的大小由得： F 引=G =G=mL， 即 GM=； 又对于每个星球来讲，R2

16、g 日=GM， g 日= ，将代入得： 太阳的引力系数 g 日= 9液体内部存在压强。如图所示，烧杯内盛有密度为的液体，我们可以设想液面下 h 深处有一面积为 s 的水平圆面，它所受到的压力是其上方圆柱形的小液柱所产生的。 （1）请在图中作出小液柱所受重力的示意图。 （2）请推证：液体内部深度为h 处的压强p gh。 【答案】见解析。 【解析】 （1）如图 （2）小液柱的体积为：V=sh小液柱的质量为：m=V=sh 小液柱的重力为：G=mg=shg 小液柱产生的压强为：p=F/s=G/s=shg /s=hg 即：液体内部深度为 h 处的压强 p=hg 10.斜面是人们生产和生活中经常使用的一种

17、可以省力的简单机械。下面是某同学针对斜面问题进行的理论 研究的过程。请你帮他完成“理论论证”。 提出问题：使用斜面为什么可以省力？ 建立模型：如图所示，斜面的长为L，高为 h，沿光滑斜面匀速向上拉动重为G 的物体，所用拉力为 F。 理论论证：运用功的原理证明:Fh,所以 FG。 11.在底面积为 S 的薄壁柱形容器内注入适量的水， 让空烧杯漂浮在水面上，测出水的深度为 h0，如图所示： 再将一金属球放入烧杯中， 此时烧杯仍漂浮在水面上， 测出水的深为 h1，最后将该金属球取出放入水中 （空 烧杯仍漂浮在水面上，待金属球沉底后测出水的深度为h2，已知水的密度为 水，请你推导： （1）金属球的密度

18、为 球= 水（h1-h0）/（h2-h0） （2）金属球沉底后，它对容器底的压力为F= 水 g（h1-h2）S 【答案】见解析。 【解析】金属球放入烧杯中，根据排开的液体体积增加量， 利用阿基米德原理求出金属球的重力G 球= F浮， 即可求其质量；将该金属球取出放入水中，此时排开的液体体积增加量，即为金属球的体积；最后即可根 据 =求出金属球的密度；将该金属球取出放入水中，利用阿基米德原理求出金属球的浮力；它对容器底 的压力 F=G-F 浮。 （1）当装有金属球的烧杯漂浮在盛有水的大容器的水面上，排开液体体积的增加量为V 排=S（h1-h0）， 则由漂浮条件可得：G 球=F浮=水V排 g= 水

19、 S（h1-h0）g， 所以，m 球= = 水 S（h1-h0）， 金属球投入水中后沉底，则V 球=V排=S（h2-h0）， 所以， 球= = 水； （2）将该金属球取出放入水中后沉底，金属球受到的浮力： F 浮=水 V 排g=水 S（h2-h0）g， 则它对容器底的压力： F=G 球-F浮=水 S（h1-h0）g- 水 S（h2-h0）g= 水 g（h1-h2）S。 12求证在串联电路中，串联电路的总电阻，等于各导体的电阻之和 证明：根据流过串联电路各电阻的电流相等和串联电路两端的总电压等于各部分电路两端的电压之和，可 得： I=I1=I2=In（1） U=U1+U2+Un（2） 根据欧姆定律：U=IR，U1=IR1, U2=IR2， Un=IRn（3） 把上述关系式代入（2）式，整理后可得：R=R1+R2+Rn 13求证在并联电路中，并联电路总电阻的倒数，等于各个导体的电阻倒数之和 证明：根据并联电路中各支路两端的电压相等和并联电路中的总电流等于各支路电流之和，可得： U=U1=U2=Un （1） I=I1+I2+In（2） 由欧姆定律，I=U/R,I1=U1/R1,I2=U2/R2, ，In=Un/Rn，代入（2）式并考虑到（1）式，得： 1/R=1/R1+1/R2+1/Rn