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1、方向导数与梯度,第七 节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,方向导数与梯度,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为 ),存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,方向导数与梯度,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,方向导数与梯度,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,方向导数与梯度,解:,方向导数与梯度,例2. 求函数,在点 P(1, 1,
2、1) 沿向量,的方向导数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度,例2. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度,问题：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处
3、的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,方向导数与梯度,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,向量,方向导数与梯度,解,由梯度计算公式得,故,方向导数与梯度,内容小结,1. 方向导数, 二元函数,在点,的方向导数为,
4、沿方向 l (方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为,方向导数与梯度,2. 梯度,二元函数,在点,处的梯度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三元函数,在点,处的梯度为,方向导数与梯度,练习,1. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度,曲线,1. (1),在点,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M (1,1,1) 处切线的方向向量,方向导数与梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！,