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1、2019麻省理工大学女生数学竞赛1.在美国,一个标准信纸的长为11英寸,宽为8.5英寸.求不能表示为11的自然数倍(可以为0倍)与8.5的自然数倍(同样可以为0倍)之和的最大整数。2.数列a1,a2,a2019满足,对任意五个下标i，j，k,l,m实数中，至少有两个绝对值相同.那么,这个数列中至多有多少个不同的值?3.一个凸六边形的6个角的度数成等差数列,这个等差数列的公差的取值范围为开区间(-D，D)求D的最大值。4.将一个面积为2019的纸质正三角形沿一条平行于它的边的直线折叠.那么折叠部分与未折叠部分的重叠区域的面积的最大值是多少?5.两只妈蚁坐在二次函数y=x2的顶点处,一只蚂蚁沿着东
2、北方向(即直线y=x)前进，另一只沿着西北方向(即直线y=-x)前进。当它们再次走到y=x2上时,它们交换了前进方向能续前进,两只蚁的速度相可.当它们第11次相遇时,它们的轨迹形成了10个正方形。那么这10个正方形的面积和是多少？6.对1到2019之间的任意整数j。计aj,为j的各位数字的乘。求。7.琼斯先生是一个数学老师,他讲函数时,喜欢在白板上作-10到10的坐标系。因此他比较喜欢满足以下三个条件的二次函数:(1)这个二次函数将整数映射为整数;(2)这个二次函数在-10到10之间有两个不同的整数根;(3)这个二次函数的顶点的横纵坐标均为整数,且都在-10到10之间。求满足琼斯先生喜好的二次
3、函数有多少个。8.求小于4000且不能被2，3，5，7中任何一个数整除的正整数的个数。9.若（1+20x2)(1+19y2)kxy对所有实数xy成立,求实数k的最小值。10.一个1x5的矩形被切割为5个11的正方形单元格.并从左往右标记为1,2，3,4,5号.一只青蛙从1号单元格开始跳跃,每秒钟都从当前单元格跳到相邻的两个单元格之一。这只青蛙经过14次跳跃到达了5号单元格.求青蛙跳跃的路径有多少种。11.黑板上有12个1和10个-1.你可以从中选10个数,计算它们的乘积.将所有选法算出的乘积相加,其和是多少？12.如果一个正整数可以表示为四位数MATH和五位数 PRIZE的和,就称这是个MPR
4、数.其中，不同的字母对应不同的数字,首位数字M和P不能为0.如果一个正整数是MPR数,且表示过程中的字母H,E的集合是唯一的，就称这是个 MPRUDD数。求MPR数中不为 MPRUDD数的最小数。13.以边长为1的正方形的每条边为边,在正方形内部作正三角形。求这四个正三角形的公共部分的面积。14.某人在一张纸上均匀的画了1000个点.她从左往右一个一个检查这些点如果当前这个点与它左侧某些被保留的点的连线的中点也是被保留的点,就擦掉当前的点。那么,她最终一共会擦掉多少个点?15.有多少对实数(x，y)满足：16.下图是一个边长为1的正七边形、求图中d的长度(用最简根式表示)。17.设P是一个直三棱柱，它的两个底面都是边长为2的正三角形，P的高为。直线l为两个底面中心的连线.将三棱柱的填充部分去掉,仅保留两个底面,再将其中一个底面绕l旋转180.设T为此时两个三角形所围成的凸多面体,求T的体积.18.满足-15a,b,c15,且三个方程ax+by=c,bx+cy=a,cx+ay=b所对应的直线过同一个点且不重合的三元整数组(a,b,c)有多少组?19.考虑27进制数n=( ABCDEFGHJKMNOPQRSTUVWXYZ)27其中每个字母表示的值与它在字母表中的位置相同.那么,n除以100的余数是多少?20.估计 的值