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1、第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1.知道一元二次方程及一元二次方程的根的概念.2.能将一元二次方程化为一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.重点:一元二次方程的概念及其一般形式.知识点一元二次方程的概念1.根据教材本课时“问题1”,回答下列问题. (1)100-2x,50-2x,及方程(100-2x)(50-2x)=3600各表示什么含义?100-2x,50-2x分别表示底面的长和宽,方程表示底面长底面宽=底面面积.(2)你还能找出其他等量关系吗?请根据你找的等量关系列方程,并化简.能,底面积=大长方形的面积-四个小长方形的面积-四个小正方形的面积;10050-2x(
2、50-2x)-2x(100-2x)-4x2=3600,化简得x2-75x+350=0.2.教材本课时“问题2”中,若有x个队参加比赛,每个队需要赛几场?全部比赛一共多少场(用x表示)?比赛场数与参赛队数之间有什么关系?每个队需要赛(x-1)场;全部比赛一共x(x-1)2场;比赛场数=参赛队数(参赛队数-1)2.3.教材中方程有哪些共同特点?(1)方程的两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.【归纳总结】等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.【预习自测】方程:2x2-3=0;1x2-1=1;13y2+1=1
3、2y;x2=2y+3;(x+1)(x-3)=x2+5;x-x2=0.其中是一元二次方程的有(只填序号).知识梳理一元二次方程的一般形式及一元二次方程的根阅读教材本课时“思考”与“例”之间的内容,完成下列填空. 1. 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.2.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.【讨论】一元二次方程的一般形式中, a为什么不能是0?b和c能不能为0?若a=0,则方程变为bx+c=0,就不是一元二次方程了;b和c可以为0.【预习自
4、测】一元二次方程x2+x-6=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,1,-6.互动探究1:下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)A.x2+1x2=0B.ax2+2x+1=0C.(x-1)(x+2)=1D.x3-2x+5=0变式训练若方程(m+3)xm-1+3mx=0是关于x的一元二次方程,则(A)A.m=3B.m=-3C.m=3D.m-3【方法归纳交流】一个方程是一元二次方程,需要满足哪几个条件?方程的左右两边是整式;方程中只含有一个未知数;未知数的最高次数是2.互动探究2:已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为-13.变式训练若x=1是一元二次方程x2+ax+b=
5、0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是1.互动探究3:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项.(1)x2-1=2x;(2)x(x-2)=2;(3)7x-22+3x2=1;(4)(3x-2)(x+1)=x.解:(1)x2-2x-1=0,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为-1;(2)x2-2x-2=0,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为-2;(3)6x2+7x-4=0,二次项系数为6,一次项系数为7,常数项为-4;(4)3x2-2=0,二次项系数为3,一次项系数为0,常数项为-2.【方法归纳交流】要写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时,必须首先将方程化成一般形式,而且不能漏写前面的符号.互动探究4:根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)一个大正方形的边长比一个小正方形边长的2倍多1,若这两个正方形的面积和为53,求小正方形的边长x.(2)在一次同学聚会上,参加的每个人都与其他人握手一次,共握手190次,求参加这次同学聚会的人数x.解:(1)根据题意列方程,x2+(2x+1)2=53,化为一般形式:5x2+4x-52=0.(2)根据题意列方程,12x(x-1)=190,化为一般形式:x2-x-380=0.