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1、第一节 集合的概念和表示法,一 集合的概念,二 集合的表示法,三 元素和集合之间的关系,四 集合间的包含关系,五 特殊集合,六 小结,一、集合的基本概念,1、集合的定义,具有某种共同属性的事物的全体,称为,例如：,集合。,计算机网络是计算机之间以信息传输为主要 目的而连接起来的计算机系统的集合。,如今流行的WWW(World Wide Web)环球网。,计算机内存的全体单元构成一集合。,一、集合的基本概念,2、集合的元素,1、集合的元素表示的事物可以是具体的，,注：,也可,以是,抽象的。,2、集合的元素是任意的，,但必须是确定的,和可,以区分的。,集合里含有的对象或客体,称为集合的,元素。,一
2、、集合的基本概念,3、集合的分类,1) 有限集合,集合的元素个数是有限的。,2) 无限集合,集合的元素个数是无限的。,二、集合的表示法,1、符号表示法,通常用大写字母A, B, C, 代表集合;,用小写字母a, b, c, 代表元素。,1)如果a是集合A的一个元素,则记为,aA,读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。,2)如果a不是集合A的一个元素,则记为,读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。,任一元素, 对某一集合而言,或属于该集合,或不属于该集合,二者必居其一,且只居其一。,注：,二、集合的表示法,1、符号表示法,绝不容许界限不分明或含糊不清的情况存在。,注：,离散数学中，只讨论
3、界限清楚、无二义性的描述，,不清晰的对象构成的集合,属于模糊论的研究范畴。,著名理发师问题就属于模糊论的研究范畴。,二、集合的表示法,2、描述集合中元素的方法 1) 列举法 a、全部列举法：,以任意顺序写出集合的所有元素,隔开，,元素间用逗号,并将其放在花括号内。,例如“所有小于5的正整数”，,这个集合的元素为,1, 2, 3, 4,再没有别的元素了。,如果把这个集合命名为A,A=1, 2, 3, 4,就可记为,二、集合的表示法,2、描述集合中元素的方法 1) 列举法 b、部分列举法：,列举集合的部分元素，,素,其他元素可从列举的元,用省略号代替。,例如A表示“全体小写英文字母”的集合，,A=
4、a, b, , y, z,则,归纳出来 ，,列举法仅适用于描述元素个数有限的集合,注：,或,元素具有明显排列规律的集合。,二、集合的表示法,2、描述集合中元素的方法 2) 描述法,把集合元素的共同属性描述出来。,集合中元素的属性。,P(x)表示任何谓词，,则,A= x | P(x) ,即用谓词概括,表示所有使谓词P(x)成立的元素x所组成的集合。,例：x | x2-3x+2=0、,x | x=2n-1nN,如果P(a)为真，,则aA，,否则,(谓词表示法),集合的元素,集合的元素必须满足的条件,二、集合的表示法,1、有些集合可以用两种方法表示，,注：,但是有些,集合不可以用列元素法表示，,如实
5、数集合。,2、集合的元素是彼此不同的，,如果同一个元,素在集合中多次出现,应该认为是一个元素。,如:3,4,4,4,5、,3,4,5、,5,4,3,是同一个集合。,3、集合的元素是无序的。,4、集合的元素可以是一个集合，,但不允许以,集合自身为其元素。,如:S=a,b,S=a,b,S,aS，,A，,三、元素和集合之间的关系,元素和集合之间的关系,是隶属关系，,即属于,或不属于，,属于记作，,不属于记作。,例如：A=1，1，2，3，3,1,1，2,3,A，,A，,3,A，,2,3,A，,A。,可以用一种树形图表示 集合与元素的隶属关系。,A,2,1，2，,AB,( ),四、集合间的包含关系,1、
6、子集,如果集合A中每个元素,都是集合B中的元素，,则称A是B的,或A包含于B，,子集，,或者B包含A，,记作AB,如果A不是B的子集，,或 BA。,AB,(x),x,A,x,B,则在A中至少有一个元素,不属于B时，,称B不包含A，,记作,或 BA。,注：,1) AA，,2) AB，,BC，,则AC。,B,( ),四、集合间的包含关系,2、集合相等 1)定义,两个集合相等,当且仅当,它们有相同的元素。,若A和B相等，,记作,A=B,(x),x,A,x,(外延性原理),A=B。,两个集合不相等，,记作A B。,x,( ),( ),( ),( ),( ),四、集合间的包含关系,2、集合相等 2)判断
7、,A与B互为,子集。,定理 若A和B相等,当且仅当,AB,且,BA。,即,证明：,B,A=B,(x),x,A,x,(x),x,A,B,x,( ),x,B,A,x,(x),A,B,x,(x),x,B,A,x,AB,BA,证毕。,A,( ),( ),四、集合间的包含关系,3、真子集,如果集合A中每个元素,都属于集合B，,但B中,不属于A，,则称A是B的,记作A B,或 BA。,AB,(x),x,A,x,B,至少有一个元素,真子集。,(x),x,B,x,AB,A B,例 A=a，b,B=a，b,不是,的 子集。,（真）,四、集合间的包含关系,3、真子集,可以用文氏图了表示集合间的包含关系。,文氏(V
8、enn) 图是一种利用平面上的点构成的 图形来形象展示集合的一种方法。,集合用矩形、园面,如果AB，,或一封闭曲线来表示。,则表示A的圆面,一般完全落在,表示B,的圆面内。,A,B,B,A,AB,四、集合间的包含关系,4、隶属和包含关系的区别,例 A=a，a，B=a,BA，,BA，,B是A的元素，,B的元素a,是A的元素，,B是A的子集。,隶属是,元素,和,集合,的关系，,包含是,集合,和,集合,的关系，,某些集合可以同时成立这两种关系。,是个体与整体的关系，,是部分与整体的关系。,五、特殊集合,1、空集 定义,不含任何元素的集合,空集，,称为,记作,。,例 两条平行线交点的集合,为。,例 x
9、| x 0 x 0 x R,=。,注：,1) 与 的区别。,是集合，没有元素,有1个元素的集合,2) ，, ,五、特殊集合,1、空集 定理,空集是任一集合A的子集，,即 A。,设x是论述域中任意元素,则,x,永假，,x x A,永真，,(x),(x xA),为T，, A。,下列命题是否为真。,练习,1); 2) ; 3) ; 4) 。,证明：,五、特殊集合,1、空集 推理,空集是唯一的。,设1，2是两个空集,则1 2，,且2 1，,得1= 2，,所以空集是唯一的。,证明：,证明唯一性一般采用反证法,(绝对唯一),证毕。,五、特殊集合,1、空集,2)证明一个集合是空集，或证明集合的唯一性，,常采
10、用反证方法，,即假设该集合不是空集，,或不唯一，,导致与已知条件的矛盾或导致唯一。,注：,1)任何非空集合A，,至少有 子集：,两个,、,和A。,只有 子集,一个,。,五、特殊集合,2、全集 定义,在一定范围内，如果所有集合都是某一集合的子集，,则称此集合为,全集,记作,E。,注：,1) 全集是相对的，不同的问题有不同的全集，,即使是同一个问题也可以取不同的全集。,2) 一般地说，全集取得小一些，问题的描述和 处理会简单些。,3) 全集E 用一个矩形的内部表示，,E,五、特殊集合,3、幂集 定义,由集合A的所有子集为元素所组成的集合,称为A的,幂集,记作,注：,1) 幂集的元素都是,集合。,或
11、P(A),或2 A。,2) 任一集合的幂集,都非空。,3) 在 A 的所有子集中，,A,和,又叫平凡子集。,(A), , , 、 ,a, ,五、特殊集合,3、幂集 例 的幂集：, ,=,A=a的幂集：,=, 、 、 、 ,a, ,A=a，b的幂集：,=,b,a、b,有 个元素,1,有 个元素,2,有 个元素,4,20,21,22,(A),五、特殊集合,3、幂集 一般地，,集合A=a1、 a2、 an，,则,有 个元素。,2n,它的m (0 m n)元子集有 个，,不同的子集共有,+,=(1+1)n,=2n个。, ,、 ,a、 b、c, 、 、 、 、 、 、,五、特殊集合,3、幂集 例 S=a
12、、 b、c，其幂集为, , , ,a,=,b,a、b, ,a、c, ,b、c, ,c,引进一种编码，用来唯一的表示有限集的幂集的元素。,a,=S100,b,=S010,c,=S001,a、b,=S110,a、c,=S101,b、c,=S011,a、b、c,=S111,=S000,=S000, S001, S010, S011, S100, S101, S110, S111,五、特殊集合,3、幂集 例 A=，B=(A) ，下列命题是否成立。,a) B,B,b) B, B,c) B, B,解,(),=,=, ,显然所有命题均成立。,B=(A),六、小结,1、集合 具有某种共同属性的事物的全体。 2
13、、集合的元素 集合里含有的对象或客体。 3、集合的表示法 1) 符号表示法 2) 描述集合中元素的方法 a、列举法 b、描述法,六、小结,4、集合和元素间的关系 是隶属关系 5、集合和集合间的关系 子集、真子集、相等 6、特殊集合 空集、全集、幂集,A= x| ，,理发师问题,在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？,解：,设,不给自己刮脸的人,x 是,b是这位理发师。,1) 若bA，,则b是不给自己刮脸的人，,而由题意，,b只给集合A中的人刮脸。,b 要给b 刮脸，,即b A。,理发师问题,在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？,解：,则b是要给自己刮脸的人，,而由题意，,理发师只给自己不刮脸的人刮脸。,b 是不给自己 刮脸的人，,即bA。,无论1) 和2) ，,都有,bA,同时成立。,这种情况称为罗索悖论，,是模糊论的范畴。,