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1、单元质量测试(七)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1. 已知a、b表示直线，、表示平面，则a的一个充分条件是()A. ，aB. ，aC. ab，bD. b，a，ab解析：对于A选项直线a有可能在平面内，B选项可以推出a，或者a在平面内，对于C选项直线a有可能在平面内，D选项是正确的，故选D.答案：D2. 已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是()A. (9220) cm2B. (9214) cm2C. (11214) cm2D. (9210) cm2解析：如图，直观图S表453442225229214(c
2、m2)，故选B.答案：B3. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6，则这个正四棱柱的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：S表4R26，R，设正四棱柱底面边长为x，则x2x222(2R)2，x1.V正四棱柱2.故选B.答案：B4. 2014课标全国卷如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A. 6B. 6C. 4D. 4解析：如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G，即三棱锥GCC1D1为满足要求的几何体，其中最长棱为D1G，D1G6.答案：B5. 2014重庆高
3、考某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 54B. 60C. 66D. 72解析：根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABCDEF，故其表面积为SSDEFSABCS梯形ABEDS梯形CBEFS矩形ACFD3534(52)4(52)53560.故选B.答案：B6. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A. 8B. C. D. 解析：本题考查了三视图及空间几何体的计算如图，它被切去的是三棱台ABCDEF，通过计算可知SABC，SDEF2，所以VABCDEF( 2)2，则该几何体的体积V23.答案：C7. 有两条不同
4、的直线m、n与两个不同的平面、，下列命题正确的是()A. m，n，且，则mnB. m，n，且，则mnC. m，n，且，则mnD. m，n，且，则mn解析：本题考查了线面位置关系的判断选项A中m、n也可能相交或异面，选项B中mn，选项C中m与n也可能相交或异面答案：D8. 如图，PA正方形ABCD，下列结论中不正确的是()A. PBBCB. PDCDC. PDBDD. PABD解析：由CBBA，CBPA，PABAA，知CB平面PAB，故CBPB，即A正确；同理B正确；由条件易知D正确，故选C.答案：C9. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC平面ABC，在折起后形成的三棱锥
5、DABC中，给出下列三个命题：DBC是等边三角形；ACBD；VDABC.其中正确命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：如图，取AC的中点E，连接DE、EB.平面ADC平面ABC，易知DE平面ABC.DEEB，则DBDE1.BCCDBD1，BDC是等边三角形；由AC平面DBE易知ACBD；VDABC12.答案：C10. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF，则下列结论中错误的是()A. ACBEB. EF平面ABCDC. 三棱锥ABEF的体积为定值D. AEF的面积与BEF的面积相等解析：连接BD，则AC平面BB1D1D，BDB1
6、D1，从而A、B、C正确因为点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以AEF与BEF的面积不相等，故选D.答案：D11. 点A、B、C、D在同一个球的球面上，ABBC2，AC2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为()A. B. 8C. 9D. 12解析：如图，O为球心，O1为ABC外接圆圆心ABBC2，AC2，ABBC且SABC2，当点D与点O，O1三点共线时，四面体ABCD的体积最大，此时DO12，设球的半径为R，O1B，由球的截面性质得，R22(2R)2，解得R，球的表面积为9，故选C.答案：C12. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将AE
7、D，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A，若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A. B. C. D. 解析：因为四边形ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别是边AB，BC的中点，故在三棱锥AEFD中，AEAF1，AEAF，AD2，AFAD，又AEAD，故该球的直径长为，该球的体积为()3.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c
8、成等角，则ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确答案：14. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为_解析：从三视图中可以看出这个空间几何体是一个正三棱柱，其两个底面中心连线的中点就是球心，如图，则OA为半径，由三视图可知OD，AD2，故OA ，则外接球的表面积S4r24.答案：15. 如图，四边形A
9、BCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE1，AED30，则异面直线BC与AE所成角的大小为_解析：本题考查空间异面直线所成角的求解BCAD，BC与AE所成的角等于AD与AE所成的角，即EAD.易知DE，AD1，由正弦定理，得，sinDAE，DAE45.异面直线BC与AE所成角的大小为45.答案：4516. 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)
10、解析：由图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (本小题满分10分)四棱锥SABCD的三视图和直观图如图所示，其中正视图和侧视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，M、N、P分别为AB、SA、AD的中点(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)求证：直线MC平面BPN.解：(1)由三视图知SD底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB1，SD2，S正方形ABCD111，VSABCDS正方形ABCDSD12.(2)证明：设PBCMO.
11、P、N分别为AD、SA的中点，PNSD.PN平面ABCD.又MC平面ABCD，PNMC.在正方形ABCD中，P、M分别是AD、AB的中点，PABMBC，PBAMCB.又MCBBMC90，PBABMC90.PBMC.又PNPBP，且PN、PB平面BPN，MC平面BPN.18. (本小题满分12分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E、F、E1分别是棱AA1、BB1、A1B1的中点(1)求证：CE平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F平面CEF.证明：(1)取CC1的中点G，连接B1G交C1F于点F1，连接E1F1、A1G、FG.F是BB1的中点，四边形BCC1B1是矩形
12、，四边形FGC1B1也是矩形，FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点又E1是A1B1的中点，A1GE1F1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1綊CC1，E、G分别为AA1、CC1的中点，A1E綊CG，四边形A1ECG是平行四边形A1GCE，E1F1CE.CE平面C1E1F，E1F1平面C1E1F，CE平面C1E1F.(2)矩形BCC1B1中，BB12BC，F是BB1的中点，BCF、B1C1F都是等腰直角三角形BFCB1FC145，CFC190.C1FCF.E、F分别是矩形ABB1A1的边AA1、BB1的中点，EFAB.又AB平面BCC1B1，C1F平面BCC1B1，ABC1F，E
13、FC1F.又CFEFF，C1F平面CEF.C1F平面C1E1F，平面C1E1F平面CEF.19. (本小题满分12分)如图1，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB2AD2，ACBC，F是AB上一点，且AFAB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E在BD上，如图2.(1)求证：AD平面BCE；(2)求证：AD平面CEF.证明：(1)依题意知ADBD.CE平面ABD，CEAD.BDCEE，AD平面BCE.(2)在RtABD中，AB2，AD，BD3.如图，连接AE.在RtACE和RtBCE中，ACBC，CECE，RtACERtBCE.AEBE.设DEx，则AEBE3x.在RtADE中，A
14、D2DE2AE2，3x2(3x)2，解得x1，BE2.，ADEF.AD平面CEF，EF平面CEF，AD平面CEF.20. (本小题满分12分)2015唐山统考如图，在三棱锥PABC中，PAPBABBC，PBC90，D为AC的中点，ABPD.(1)求证：平面PAB平面ABC；(2)如果三棱锥PBCD的体积为3，求PA.解：(1)证明：如图，取AB中点为O，连接OD，OP.因为PAPB，所以ABOP.又ABPD，OPPDP，所以AB平面POD，因为OD平面POD，所以ABOD.由已知，BCPB，又ODBC，所以ODPB，因为ABPBB，所以OD平面PAB.又OD平面ABC，所以平面PAB平面ABC
15、.(2)由(1)知，OP平面ABC.设PAa，因为D为AC的中点，所以VPBCDVPABCa2aa3，由a33，解得a2，即PA2.21. (本小题满分12分)2015安徽马鞍山第一次质检如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ACAD.底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，PAABBC3，点E在棱PB上，且PE2EB.(1)求证：平面PAB平面PCB；(2)求证：PD平面EAC.证明：(1)PA底面ABCD，PABC.又ABBC，PAABA，BC平面PAB.又BC平面PCB，平面PAB平面PCB.(2)在梯形ABCD中，由ABBC，ABBC，得BAC，DCABAC，又ACAD，故DAC
16、为等腰直角三角形，DCAC(AB)2AB.连接BD，交AC于点M，则2.连接EM，在BPD中，2，PDEM，又PD平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC.22. (本小题满分12分)如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBC，且A1AABBC1，CD2.(1)求证：AB1平面A1BC；(2)在线段CD上是否存在点N，使得D1N平面A1BC？若存在，求出此时三棱锥NAA1C的体积；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直底面，所以A1A平面ABCD，又BC平面ABCD，所以A1ABC，因为ABBC，ABA1AA，所以B
17、C平面AA1B1B，又AB1平面AA1B1B，所以AB1BC，因为A1AAB，A1AAB1，所以四边形AA1B1B是正方形，所以AB1A1B，因为A1BBCB，所以AB1平面A1BC.(2)解法一：存在，当N为CD的中点时，D1N平面A1BC，理由如下：连接BN，因为ABCD，ABBC1，CD2，所以ABDN且ABDN，所以四边形ABND为平行四边形，所以BNAD且BNAD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADA1D1且ADA1D1，所以BNA1D1且BNA1D1，所以四边形A1BND1为平行四边形，所以A1BD1N，又D1N平面A1BC，A1B平面A1BC，所以D1N平面A1BC，所以S
18、ACNSBCNCNBC11，由于A1A平面ABCD且A1A1，所以VNAA1CVA1ACNSACNA1A1，即三棱锥NAA1C的体积为.解法二：存在，当N为CD的中点时，D1N平面A1BC，理由如下：取C1D1的中点M，连接BN、A1M、MC，因为在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，AB1，CD2，所以A1B1C1D1，A1B11，C1D12，所以A1B1MC1且A1B1MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，所以A1MB1C1且A1MB1C1，又BCB1C1且BCB1C1，所以A1MBC且A1MBC，所以四边形A1BCM为平行四边形，所以A1BCM，又D1MNC1且D1MNC，所以四边形D1MCN为平行四边形，所以MCD1N，又D1N平面A1BC，且A1B平面A1BC，所以D1N平面A1BC.所以SACNSBCNCNBC11，由于AA1平面ABCD且AA11，所以VNAA1CVA1ACNSACNA1A1，即三棱锥NAA1C的体积为.