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1、初中数学学习速成第一章 实数、重要概念1.数的分类及概念数系表:实数有理数正整数 4 o（有限或无限循环性L负整数 ;正分数 :负分数无理数（无限不循环小数）正无理数 负无理数说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准实数正数0负数2 .非负数：正实数与零的统称。（表为：x0）常见的非负数有:（a为一切实数）aiv a （a 性质：若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0。3 .倒数： 定义及表示法性质：丰 1/a (awi) ；a 中，a w 0； v av 1 时 1/a i；a 1 时,1/a L-a（a 0,符号1 ”是“非负数”的标志 ；数a的绝对值只有一个 处理任何类
2、型的题目，只要其中有“I 1 ”出现，其关键一步是去掉“I 1 ” 符号。二、实数的运算1 .运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2 .运算定律（五个一加法乘法交换律、结合律；乘法对加法的 分配律）3 .运算顺序：A.高级运算到低级运算；B.（同级运算）从“左”到“右”（如5+ 1 X5） ；C.（有括号时）由“小”至广中“至大”。5三、应用举例（略）附：典型例题1 .已知：a、b、x在数轴上的位置如下*图，求证：| x-a + x-ba x b=b-a.2. 已知：a-b=-2 且 ab0与“平方根”的区别）;算术平方根与绝对值联系：都是非负数，7a2 = a区别：1 a1中，a为一切实数
3、；石 中，a为非负数。8 .同类二次根式、最简二次根式、分母有理化;被开方数中不含有开得尽方的化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。满足条件：被开方数的因数是整数，因式是整式因数或因式。把分母中的根号划去叫做分母有理化。9 .指数n a * a a= a n J、一 （an一哥，乘方运算）n个 a0 时，an0；a0 （n是偶数），an 0 (n是奇数)零指数：a0 =1 (aw0)负整指数：a p=1/ap （aw0,p是正整数）二、运算定律、性质、法则1 .分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2 .分式的性质基本性质：b = bm （m 0） a am符号法则：-b
4、 a a a繁分式：定义；化简方法（两种）3 .整式运算法则（去括号、添括号法则）4 .哥的运算性质： am an=amn;am- an=amn;（am）n = amn；n(ab)n =n n 小 / a、naa b ECJnbb技巧：(b) p (a)p a b5 .乘法法则：单X单；单X多；多X多。6 .乘法公式：(正、逆用)(a b)2 a2 2ab b2(a+b) (a-b) =a2 b2(a b) (a2 ab b2) =a3 b37 .除法法则：单一单；多+单。8 .因式分解：定义；方法：A.提公因式法；B.公式法；C.十字相乘法；D.分组分解 法;E.求根公式法。9 .算术根的性
5、质：va2 = a ； (7a)2a(a 0) ； Tab Va 0,b 0); 胆 a(a0,b 0)(正用、逆用), b b10 .根式运算法则：加法法则(合并同类二次根式)；乘、除法法则；分母有理化：A. 1 ；B-b 冶;C.1.a a a m. a n . b11 .科学记数法：a 10n (1wav10,n是整数=三、应用举例(略)四、数式综合运算(略)第三章统计初步重点内容提要一、重要概念1 .总体：考察对象的全体。2 .个体：总体中每一个考察对象。3 .样本：从总体中抽出的一部分个体。4 .样本容量：样本中个体的数目。5 .众数：一组数据中，出现次数最多的数据。6 .中位数：将
6、一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）二、计算方法1，、一，,1 .样本平均数：x （x1x2xn）；右x1x1a ,x2x2 a ,nxn xn a,则x x a （a 一常数，x1，x2,，xn接近较整的常数a）;加权平均数:x2 f2nxk f k 7( flfk n）;平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准2.(xn x)；右2 2xn ) nx (axn较“小”较“整”，确。2 .样本方差： S2 - (xi x)2 (x2 x)2 n212x1x1a,x2x2a,，xnxna
7、,则 s (x1x2n一接近xv x2、xn的平均数的较“整”的常数)；若不、*2、3 1222、- 2则s2 （x1x2xn ） nx ；样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）n的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体 方差。4 .样本标准差：s v s2三、应用举例（略）第四章 直线形重点相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。内容提要、直线、相交线、平行线1 .线段、射线、直线三者的区别与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。2 .线段的中点及表示3 .直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质
8、”论证“三角形两边之和大于第三 边”）4 .两点间的距离（三个距离：点 -点；点-线;线-线）5 .角（平角、周角、直角、锐角、钝角）6 .互为余角、互为补角及表示方法7 .角的平分线及其表示8 .垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）9 .对顶角及性质10 .平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）11 .常用定理：同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）；同垂直于一条直线的两条直线平行。12 .定义、命题、命题的组成13 .公理、定理14 .逆命题二、三角形分类：按边分；按角分1 .定义（包括内、外角）2 .三角形的边角关系：角与角：内角和及推论 ：外角和：门边形
9、内角和；n边形外角和。边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之等角等边差小于第三边。角与边：在同一三角形中,大边大角小边小角3 .三角形的主要线段讨论：定义xx线的交点一三角形的x心性质 高线中线角平分线中垂线中位线一般三角形特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形4 .特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定 与性质5 .全等三角形一般三角形全等的判定（SAS ASA AAS SSS特殊三角形全等的判定：一般方法专用方法6 .三角形的面积一般计算公式性质：等底等高的三角形面积相等。7 .重要辅助线中点配中点构成中位线；加倍中线；添加辅助平行线8 .证明方法
10、直接证法：综合法、分析法接间接证法一反证法：反设归谬结论证线段相等、角相等常通过证三角形全等证线段倍分关系：加倍法、折半法证线段和差关系：延结法、截余法证面积关系：将面积表示出来三、四边形分类表：9 . 一般性质（角）内角和：360顺次连结各边中点得平行四边形。推论1:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。推论2:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。外角和：36010 特殊四边形研究它们的一般方法：定义一性质一判定L 面为边 角对积称八佳中心对称 ，轴对称角平行四边形、矩形、菱形、正方形 ；梯形、等腰梯形的定义、性质和判定判定步骤：四边形一平行四边形一矩形一正方形对角线的纽相等且
11、互相平分二/ 相等 矩形垂直带作用:互相平小四边形平行四边形相等且互相垂直正彳形互相垂直平分互相垂直平分且相等mis11 对称图形轴对称（定义及性质）；中心对称（定义及性质）12 有关定理：平行线等分线段定理及其推论1、2三角形、梯形的中位线定理平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）13 .重要辅助线：常连结四边形的对角线；梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。14 .作图：任意等分线段。四、应用举例（略）第五章 方程（组）重点一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）内
12、容提要一、基本概念1 .方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2 .分类:一次方程L整式方程二次方程有理方程I高次方程方程 I分式方程无理方程二、解方程的依据一等式性质1. a=b a+c=b+c2. a=b ac=bc （c 丰 0）三、解法1 . 一元一次方程的解法：去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化成1 一解。2 .元一次方程组的解法：基本思想：“消元”方法：代入法加减法四、一元二次方程1 .定义及一般形式：ax2 bx c 0（a 0）2 .解法：直接开平方法（注意特征）配配方法（注意步骤一推倒求根公式）. 2c 八 4分b 、. b 4ac , 2公式法： x1 2 （
13、b 4ac 0）2a因式分解法（特征：左边 =0）3 .根的判别式：b2 4ac一一、.一bc4 .根与系数顶的关系：X1 x2 ,x1 x2 一aa逆定理：若x1 x2 m,x1 x2 n,则以x1, x2为根的一元二次方程是：2-x mx n 0。5.常用等式：x12 x2 （x1 x2）2 2x1x222（x1 x2）（x1 x2） 4x1 x2五、可化为一元二次方程的方程1 .分式方程定义八r去分母 j分式方程整式方程基本思想：3x 6 2x 2基本解法：去分母法换元法（如，367）x 1 x 2验根及方法2 .无理方程定义无理方程有理方程 基本思想：基本解法：乘方法（注意技巧！）换元
14、法（例，2vx2 9 17 x2）验根及方法3 .简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。六、列方程（组）解应用题概述列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。设元（未知数）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。用含未知数的代数式表示相关的量。寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出） ，列方程。般地，未知数个数与方程个数是相同的。解方程及检验。答案。综上所述，列方
15、程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中, 列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。常用的相等关系1 .行程问题（匀速运动）基本关系：s=vtA-CtB相遇问题（同时出 甲一相遇处一乙 发）：s甲+ s乙=Sab ； t甲t乙追及问题（同时出发）：S甲SAC S乙；t甲（AB） tZ.（CB）若甲出发t小时后，乙才出发，追上甲，则A山乙一乙一（相遇处）B（相遇处）而后在B处S甲 比；悔 t t乙水中航行：v顺船速水速；v逆船速水速2 .配料问题：溶质=溶液X浓度溶液=溶质+溶剂3增
16、长率问题：ana1 （1 r）n 14.工程问题：基本关系：工作量=工作效率X工作时间（常把工作量看着单位“1”）。5几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。注意语言与解析式的互化如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、又如，一个三位数，百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为：100a+10b+c ，而不是 abc 。注意从语言叙述中写出相等关系。如， x 比 y 大 3 ，则 x-y=3 或 x=y+3 或 x-3=y 。又如， x 与 y 的差为3，则x-y=3 。注意单位换算如， “
17、小时” “分钟”的换算;s 、 v 、 t 单位的一致等。七、应用举例（略）第六章一元一次不等式（组）重点一元一次不等式的性质、解法内容提要1 .定义：ab、ab awb、awb。2 . 一元一次不等式：axb、axvb、ax b axw b、axwb（aw0）。3 一元一次不等式组：4 .不等式的T质： aba+cb+c ab acbc（c0） ab acbc（cb,bcfac ab,cd - a+cb+d.5 一元一次不等式的解、解一元一次不等式6 . 一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）7 .应用举例（略）第七章 相似形重点相似三角形的判定和性质内容提要、本章的两
18、套定理第一套（比例的有关性质）广反比性质:a - ad bc更比性质:b d（比例基本定理）【合比性质:acm(b d n 0) b dnb da cdCf ab或bacda b c db d等比性质：acm-b dnb涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。第二套：Rt定理3定理2定理1推 论相似基本平行线分线段成比例定理注意：定理中“对应”二字的含义 ；平行一相似（比例线段）一平行。二、相似三角形性质1 .对应线段；2 .对应周长；3 .对应面积。三、相关作图作第四比例项：作比例中项。四、证（解）题规律、辅助线2 .“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。3
19、.找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。a m c m m、，一 ，一 一（一为中间比）b nd n n a m c m, n nb n d nr (m m , n n 或) nn ng a m c m , m m x4 .添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。5 .对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k；对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 ko6 .对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。五、应用举例（略）第八章函数及其图象重点正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。内容提要一、平面直角坐标系1 .各象限内
20、点的坐标的特点2 .坐标轴上点的坐标的特点3 .关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点4 .坐标平面内点与有序实数对的对应关系 二、函数1 .表示方法：解析法：列表法；图象法。2 .确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义：使实际问题有意义。3 .画函数图象：列表；描点；连线。三、几种特殊函数（定义一图象一性质）1 .正比例函数定义：y=kx（k w 0） 或 y/x=k 。图象：直线（过原点）性质：k0,k0,k0时，开口向上;a0时，在对称轴左侧，右侧 ;a0时，图象位于，y随x；kR 直线与圆相离d=R,直线与圆相切2 .切线的性质（重点）3 .切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有4
21、.切线长定理三、圆换圆的位置关系1. 五种位置关系及判定与性质：（重点：相切）dR+r（外离d=R+r外切R-rdR+r J相交2.相切（交）两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：定义性质四、与圆有关的比例线段1 .相交弦定理2 .切割线定理五、与和正多边形1 .圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）2 .三角形的外接圆、内切圆及性质3 .圆的外切四边形、内接四边形的性质4 .正多边形及计算中心角：n 360- 2 （右图） n内角的一半：（n 2）180-（右图）n 2（解RtOA而求出相关元素，Sn、Pn等）六、一组计算公式1 .圆周长公式2 .圆面积公式3 .扇形面积公式4 .弧长公式5 .弓形面积的计算方法6 .圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1 .作三角形的外接圆、内切圆2 .平分已知弧3 .作已知两线段的比例中项4 .等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线1 .作半径2 .见弦往往作弦心距3 .见直径往往作直径上的圆周角4 .切点圆心莫忘连5 .两圆相切公切线（连心线）6 .两圆相交公共弦卜一、应用举例（略）