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1、第二章部分习题解答1.试证下列函数在z平面上任何点都不解析。（1） fz x y（2）fz Rezo证 （i）1,X0, y,知f z在z平面上任何点都不解析。u/uvv一1一x,yxy2,下列函数何处可导？何处解析？2. 2（1） f z xy ixy解 （1）由于0,知f z在z平面上任何点都不解析2xyuo uVv2xy xyx在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u, v才满足 C-R条件，故22xy ixy仅在点z o处可导，在z平面处处不解析。3 .证明：如果函数f z u iv在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么 f z 是常数。(2) f z在D内解析。1fz |在D内是
2、一个常数。,故由引理得解 (1)的证明由于根据条件即有恒为常数, 即内恒为常数若, z u iv u iv在区域D内解析，则u v v u v ux y y y x x又f z u iv在区域D内解析，则uvuvxyyx结合（1）、（2）两式，有uuvvc0xyxvy故u,v在D内均为常数，分别记之为ui Ci C2C1C2为实常数则 f z u 2 clic 2 C为一复常数。222.(3)若1fzi在D内为一常数，记为ci,则u v Ci ,两边分别对于x和y求 偏导，得2u 2v 0 x x2u 2v 0y y由于f z在D内解析，满足C-R条件x y y x代入上式又可写得u u u
3、v x yu uv u x yu解得x同理可解得vvy0故u,v均为常数，分别记为u C1 ,vu iv Ci iC2 C为一复常数。4.如果fz u iv 是解析函数,试证：if z也是解析函数。证 （1）fz u iv, fz u iv, ifz v iui f z v i u i u i v可知i f z为一解析函数。5.证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是令 x r cos利用复合函数求导法则和u,v满足C-R条件，得u cosu .一 sin yr sinu r sinyvr cos yur cos xrsinu r cosyv -cosxv - sinyu -cos yu - 一 s
4、inx总之,ur sin xur cos y有iy试求(1) |ei2z解 （1）2z| |ei2x(2)i2xy| |e2|ez |2x i 1 2 y2x(2)z2 eiy 2x2 y2 i 2xy ex2 y2 e1Re e1(3)(3) ReeReex iyx iyx-y2Re e/x22Re ex y ei2xxx2Re ey2cos-y2 x y. yi sin -2x yx2 x yecos x7.下列关系是否正确?(1) e(2)coszcosz (3) sin z sin z(D(cosy isiny)(cosy isiny)iyezcosz8.(2)(3)sin z=2ii
5、z eiz eizcosz12i2iMeiz i ze )izesin zo试证：对任意的复数z及整数m有mze对任意白复数z,当m为自然数时,ze.当m。时,-e- ezm个mz e0zeo当m n n为自然数时,nzmze9.找出下列方程的全部解。(1) 1 ez0;(2)sinz cosz解（1）原方程等价于ez 1 ,于是它的解为:z Ln 1(2)由于ln | 1| i arg 1 2ki 1 2kk 0, 1, 2,sin zcos,iz i z e e1 iz2i2iz2i ze 1 i e 12i z 1 i e 1 i11 i1z Ln - Ln i2i1 i2i1In |
6、i | i arg i2k2i2k,k0,1,2,10 .设z rei ,试证Re In z21n 12r cos证由于In z 1In rei1 In r cosi rsinIn rcos 1 2 r22,sini arg r cosi rsin-In r2 21 2 r cosi arg r cosi r sinRe In z 1-In 1 r2 22r cos11.求 3i的值。解：3iLn 3ei In 3earg3 2 k2kiIn3e2kcosln 3i sin In 3 ,0,1,2,Ln 1ei In|1 i| i arg 1e2k,In 2 i2e2k142k In 2 .
7、cos i sin2In2k 0, 1, 2,212 .若函数f(z)在上半z平面内解析，试证函数f z在下半z平面内解析证1对于任意的下半z平面上的一点z0则点z是上半z平面上的点，f(z) u(x,y) iv(x, y),则 f(z) u(x, y) iv(x, y).若f解析，则u，v满足C-R条件：u _v _u v x y y x因此对于Im z 0内的任一点z x iy,有u(x, y) xv(x, y)v(x, y)v(x, y)y)y)_u(x y)v(x, y) ( y) u(x, y) v(x, y) v(x, y)y ，( y) y ( y)xx上述两式表明 函的实部、虚
8、部在Imz 0内满足C R条件，显然u(Xy)与v(x, y)在Imz 0内可微，故函数 ”2)在府2 0内处处解析。证2 gf(z),对于Imz 0内的任一点z0 ,则z0属于Imz 0内的点，注意到f(z)在Imz 0内解析，于是有.g(z) lim g(z0)fG)z z0z Zoz z0z z0f (Z) f(Zo) 7773 lim f(z0) z z0z Zo即gf(z)在点z0处可导，且g(z0) f (zo)由点z0的任意性，知fQ)在Imz 0内 处处解析。13 .在w ux,y ivx,y里，将z x柿与2 x 9形式地看作独立变数，写作w F z,z ,试证柯西-黎曼方程可表示为：F z,z证由于2ix 2 ,根据复合函数求导法则,u1, v 1vy2i x 2y121可见C-R方程可表小为