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1、 教师基本功比赛专业技能比赛试题 1.试求证：圆的切线垂直于经过切点的半径. (书本定理的证明) 2.如图，已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点，试用一元二次方程求根公式验证黄金 比215?ABAC.（书本习题） 3.三座城市A、B、C分别位于一个等腰三角形ABC的三个顶点处，且AB=AC=50km，BC=80km，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案. 方案一：沿AB、BC铺设； 方案二：沿BC，和BC 边上的中线AD铺设； 方案三：在ABC?内找一点O，使OA=OB=OC，沿OA=OB=OC铺设. (1)请你用尺规画出三种方案的示意图； （2）请你在这三种方案中选择最短
2、的方案，并加以说明. 4.如图，在ABC中，45ABC? ?，点D在边BC上，60ADC? ?，且12BDCD?将ACD以直线AD为轴做轴对称变换，得到ACD?，连接BC?， （1）求证BCBC?； （2）求C?的大小 A B C D C/ 5.已知抛物线经过点A（-1,0）、B（4,5）、C（0,-3），其对称轴与直线BC交于点P。 （1）求抛物线的表达式及点P的坐标； （2）将抛物线向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线恰好过点P，求上下平移的方向和距离； （3）设抛物线的顶点为D，与y轴的交点为E，试求EDP的正弦值. 参考答案： 4.（1）ACD?是ACD沿AD做轴对称变换得到的
3、， ACD?ACD. 有CDCD?，ADCADC?3分 12BDCD?，60ADC? ?， 12BDCD?，18060BDCADCADC? ?5分 取CD?中点P，连接BP，则BDP为等边三角形，BCP?为等腰三角形，8分 有113022BCDBPDBDC?90CBD? ?，即BCBC? 10分 （2）如图，过点A分别作,BCCDBC?的垂线，垂足分别为,EFG ADCADC?， 即点A在CDC?的平分线上， AEAF?13分 90CBD? ?，45ABC? ?， 45GBACBCABC? ?， 即点A在GBC?的平分线上，AGAE?16分 A B C D C?P B D C? F G A C
4、 xy O 1 1 于是，AGAF?，则点A在GCD?的平分线上18分 又30BCD?,有150GCD? ? 12ACD?75GCD? ?C?75ACD? ?20分 解：（1）据题意设抛物线的表达式为23yaxbx?， 则0351643abab?，解得12ab?，抛物线的表达式为223yxx? 对称轴为直线1x? 据题意设直线BC的解析式为3ykx?，则543,2kk?， 直线BC的解析式为23yx?，P（1，-1） （2）设抛物线向右平移1个单位后再向上平移m个单位得抛物线， 则抛物线的表达式为2(11)4yxm? 抛物线过点P，21(111)4m?，2m? 再将它向上移动2个单位可得到抛物
5、线 （3）抛物线向右移动1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线， 抛物线的表达式是2(11)42yx?即2(2)2yx?，D（2,-2），E（0,2） P(1,-1)，直线DP过点O，且与x轴夹角为45， 过点E作EHDP于点H，EOH= 45 E（0,2）, EH=2，而 ED=222(22)25? sin EDP=2101025EHDE? O 1 1 P D E x y H 备用： 某一学生把一座正确的时钟的时针装在分针的轴上，把分针装在时针的轴上，问这座时钟一天中有 次显示正确的时刻.22 1、设a为质数，并且278a?和287a?也都是质数，若记778,887xaya?， 则在以下情况
6、中，必定成立的是（ ） ?A、,xy都是质数； ?B、,xy都是合数； ?C、,xy一个是质数，一个是合数； ?D、对不同的a，以上各情况皆可能出现 答案：A 解：当3a?时，27871a?与28779a?皆为质数，而778239xa?， 887271ya?都是质数； 当质数a异于3时，则2a被3除余1，设231an?，于是2782115an?， 2872415an?，它们都不是质数，与条件矛盾！ 绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自?1,2,3,4,5,6,7,8,9之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S表示圆周上所有十二个数的和，那
7、么数S所有可能的取值情况有 种 答案：9种 解：对于圆周上相邻的三个数?12,kkkaaa?，12kkkaaa?可以是7，或14，或21，例如，当三数和为7时，?12,kkkaaa?可以取?1,2,4或?1,1,5或?2,2,3；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为123,kkkkaaaa?，由于12kkkaaa?和123kkkaaa?都是7的倍数，那么必有37kkaa?，于是ka与3ka?或者相等，或者相差7； 又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的总和可以取到?28,35,42,49,56,63,70,77,84中的任
8、一个值，总共九种情况 （其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4，其和为28，然后每次将一个1改成8，或者将一个2改成9，每一次操作都使得总和增加7， 而这样的操作可以进行八次） 变式：求35?S的概率是多少？ 众所周知，菠萝味道鲜美，很受大家喜爱.某超市为方便顾客，把菠萝去皮后出售，但由于定价不合理而无人问津.现根据如下统计数据重新定价，你认为如何划定去皮菠萝的价格，人们才会觉得合理？ 菠萝 A B C D E 去皮前 1.14kg 0.85kg 1.78kg 1.3kg 2.05kg 去皮后 0.75kg 0.55kg 1.15kg 0.
9、84kg 1.34kg 为庆祝“神州五号”载人飞行成功返航，某学校科技小组要举行科技小作品展，小东在制作一件参展作品过程中，遇到这样一个问题：如图 1，一块金属板上有三个圆洞，现要作一个与这三个圆洞都相切的圆板（大小不限），请你帮助他提供6种不同方案. 20 在某省举行的中学教师课件及观摩课比赛中， 其中一个参赛课件是这样的：在平面上有 n个过同一点 P且半径相等的圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其它交点，演示探索这样的n个圆把平面划分成几个平面区域的问题.大屏幕上首先依次显现了如下几个场景： 试问：当有n个圆按此规律相交时，可把平面划分成多少个平面区域？这n个圆共有几个交点？ 答案：平面区域：2)1(?nn，交点个数：12)1(?nn P 场景一 P 场景二 P 场景三 P 场景四 P 场景五 图1