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1、圆中多解问题的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下。一、点和圆的位置凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。例1.过不在O上的一点A，作O的割线，交O于B、C，且ABAC64，OA10，则O的半径R为_。解：依题意，点A与O的位置关系有两种：（1）点A在O内，如图1，延长AO交O于F，则由相交弦定理得：所以（负值已舍去）（2）点A在O
2、外，如图2，此时由割线定理得：所以（负值已舍去）故O的半径R为或6。二、点与弦的相对位置例2.O是ABC的外接圆，ODBC于D，且BOD48，则BAC_。解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得BACBOD48（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得BAC132三、弦所对的圆周角例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于_。解：弦所对的圆周角有两种情况：（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60；（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120。故应填60或120。四、平行弦与圆心的位置例4.在半径为5cm的O中，弦AB6c
3、m，弦CD8cm，且ABCD，求AB与CD之间的距离。分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。解：过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC在RtOAE中，在RtOCF中，（1）当AB、CD在圆心O的同侧时，如图5，AB和CD之间的距离为（2）当AB、CD在圆心O的异侧时，如图6，AB和CD之间的距离为所以AB和CD之间的距离为1cm或7cm。五、圆心与角的位置例5.在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为和，则BAC的度数是_。解：如图7，当圆心在BAC内部时，连接AO并延长交O于E在RtABE中，由勾股定理得：所以BAE30同理
4、，在RtCAE中，ECAC，所以EAC45，当圆心O在BAC的外部时（BAC），由轴对称性可知：所以BAC为75或15六、点在弧上的位置例6.如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则OAB_度，OPB_度。图8解：依题意可知AOB是等腰直角三角形，所以OAB45当动点P在上时，OPBOAB45当动点P在上时，OPB18045135故OPB为45或135。七、相交两圆的圆心与公共弦的位置例7.已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_。分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图9、图10，在中，在中，（1）当圆心在公共弦AB的同侧时，如图9（2）当圆心在公共弦AB的异侧时，如图10八、直线与圆的位置例8.两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线互相垂直，有三种情况。解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB切于A，切于B，EF切于E，切于F，ABEF于D。由切线定理，得：所以故有（2）当内公切线垂直时，如图12，作，交点为E，则（3）当外公切线垂直时，如图13，作于G，则