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1、实验5 线性方程组的解法实验目的1. 用MATLAB软件掌握线性方程组的解法，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析。2. 通过实例练习用线性方程组求解实际问题。实验内容高斯塞得尔迭代的程序：function xxx=guass(A,b)D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B1=inv(D-L)*U;f=inv(D-L)*b;x(1:length(b),1)=0;xx=x+1;while norm(x-xx)1e-8 xx=x; x=B1*x+f;endxxx=x;预备：编写雅可比迭代和高斯塞得尔迭代的程序雅可比迭代的程序：function xx
2、x=ykb(A,b)D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B1=inv(D)*(L+U);f=inv(D)*b;x(1:length(b),1)=0;xx=x+1;while norm(x-xx)1e-6 xx=x; x=B1*x+f;endxxx=x;1. 用MATLAB软件的“lu”(LU分解)，“ ”，以及雅可比迭代和高斯塞德尔迭代解方程组Ax=b (A如下，b任意，比较分析其结果包括迭代法收敛或不收敛的原因）。a. A=1,2,-1;1,1,1;2,2,1;设b=1; 2; 1在MATLAB下运行：A=1,2,-1;1,1,1;2,2,1;
3、b=1; 2; 1;用LU分解方法：p = 0 0 1 1 0 0 0 1 0U = 2.0000 2.0000 1.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 0.5000L U p=lu(A)L = 1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.5000 0 1.0000x=(L*Up*b)x = -9 8 3用除号“”：x=(Ab)x = -9 8 3用雅可比迭代法：x=ykb(A,b)x = -9 8 3 迭代公式中 B1 = f= 0 -2 2 1 -1 0 -1 2 -2 -2 0 1 因为(B1)=0.1261所以迭代是不收敛的b. A为n阶Hilbert矩阵
4、，n=310。取n=5;A=hilb(5)A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111b=1 2 1 3 5用LU分解方法：L U p=lu(A)L = 1.0000 0 0 0 0 0.3333 1.0000 0 0 0 0.5000 1.0000 1.0000 0 0 0.2000
5、0.8000 -0.9143 1.0000 0 0.2500 0.9000 -0.6000 0.5000 1.0000U = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0 0.0833 0.0889 0.0833 0.0762 0 0 -0.0056 -0.0083 -0.0095 0 0 0 0.0007 0.0015 0 0 0 0 -0.0000p = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0x=(L*Up*b)x = 1.0e+004 * -0.0575 0.8040 -2.6670 3.1360 -
6、1.1970用除号“”：x=(Ab)x = 1.0e+004 * -0.0575 0.8040 -2.6670 3.1360 -1.1970用雅可比迭代法： 其中B1 = 0 -0.5000 -0.3333 -0.2500 -0.2000 -1.5000 0 -0.7500 -0.6000 -0.5000 -1.6667 -1.2500 0 -0.8333 -0.7143 -1.7500 -1.4000 -1.1667 0 -0.8750 -1.8000 -1.5000 -1.2857 -1.1250 0 由于(B1)=3.441所以不收敛；用高斯塞德尔迭代法： 迭代公式中B1= 0 -0.5
7、000 -0.3333 -0.2500 -0.2000 0 0.7500 -0.2500 -0.2250 -0.2000 0 -0.1042 0.8681 -0.1354 -0.1310 0 -0.0535 -0.0794 0.9105 -0.0922 0 -0.0309 -0.0517 -0.0627 0.9321 由于(B1)=1，所以收敛很困难；经长时间迭代后也能得出解。 综合以上分析，LU分解法充分利用了“主元”减小误差，精度最高。而各种迭代在收敛的情况下比较适合解高阶的线性方程组。4.水下一浮体M被两条缆绳ABC和DEF固定，浮体受上浮力B，在B，E处各挂一重物W，AB(DE)及BC
8、(EF)与水平线的夹角分别为20和10。设B=10kN A B C Wa. 求AB和BC段所受张力T1和T2及W; 解：列出平衡方程得： 用MATLAB解出线性方程组的解为 T1= 14.619 T2=13.949 W=2.578b. 若要求h=8，d=2，求AB和BC段长度。 解：设AB段长为a，BC段长为b。 解出a=3.343 b=4.934。c. 若缆绳分别为AB, BC, CD三段，与水平先夹角分别为40，30和20，求这三段张力及W1和W2。 A B C W1 D W2 解：AB,BC,CD三段张力分别为T1，T2和T3。 解上面的线性方程组得 T1=7.779 T2=6.881 T3=6.341 W1=1.56 W2=1.271