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1、大 连 理 工 大 学研究生必修课作 业课程名称：现代物流管理 研究生姓名：徐静 学号：21511149 作业成绩： 任课教师(签名) 交作业日时间： 2016 年6 月1日蚁群算法在TSP问题上的应用摘要 蚁群算法是受现实蚂蚁群体行为启发而得出的一类仿生算法。本文以解决TSP问题为基础,系统地介绍了蚁群算法从诞生到成熟过程中几个代表性的算法。在阐述算法基本思想的前提下，着重论述算法的创新之处。关键词 蚁群算法，TSP问题，蚁群优化1引言蚁群算法也称作蚁群优化(Ant Colony Optimization，ACO)，最早是由Dorigo及其研究同伴所提出，用于求解诸如旅行商问题之类的组合优化
2、问题。自然界蚂蚁在其经过的路径上会留下某种生物信息物质(信息素)，该物质会吸引蚁群中的其它成员再次选择该段路径；食物与巢穴之前较短的路径容易积累较多的信息素，因而使得更多的蚂蚁选择走该段路径，最终几乎所有的蚂蚁都集中在最短路径上完成食物的搬运。Dorigo等从此现象中抽象出路径选择和信息素积累的数学模型，作为蚁群算法的核心，并通过对蚂蚁寻找最短路径的计算机模拟，实现了对TSP问题的求解。自此，蚁群算法越来越多地被用于求解其它的组合优化问题，也被推广到工业工程上应用。蚁群算法特点是并发性、鲁棒性、正反馈性等。在蚁群算法求解问题的过程中，利用蚁群在问题空间中同时构造问题的多个解体现了算法的并发性。
3、蚁群不会因为单个蚂蚁寻找到较差的解或者因为问题空间发生改变而使得算法丧失作用，这体现了算法的鲁棒性。在蚂蚁构造问题解的过程中，以蚁群觅食行为为例，会在经过的解路径上释放信息素，而解空间中获得信息素越多的路径，对蚂蚁的吸引力就越大，使更多的蚂蚁经过该路径并进一步在上面释放信息素，这体现了算法的正反馈性。TSP问题代表一类组合优化问题，在实际工程中有许多应用，如计算机联网、电子地图、交通诱导、电气布线、VLSI单元布局、ATM分组交换网等。鉴于其重要的工程与理论价值，TSP常作为算法性能研究的典型算例。求其最优解的代价是指数级的，因此对其近似解的研究一直是算法设计的一个重要课题。TSP问题是典型的
4、NP完全问题，许多算验证法及算法效率测试都以TSP问题为基础。在蚁群算法研究中，第一个蚁群算法，蚂蚁系统,就是在TSP问题的基础上提出来的。而后，依据TSP问题，又提出了蚁群算法系列中具有代表性的蚁群系统、最大最小蚂蚁系统。本文以TSP问题为基础,对蚁群算法的基本问题及典型的蚁群算法进行了综述。涉及到算法的基本问题、算法描述、算法改进及意义。通过研究总结了蚁群算法的发展历程和实现思想。2蚁群行为和TSP问题2.1蚁群行为蚁群的行为是整体协作，相互分工，以一个整体去解决一些对单个蚂蚁看上去是不可能完成的任务。就目前来讲，蚁群至少有三个方面的行为特征对算法研究有很好的启发意义，分别是觅食行为、任务
5、分配、死蚁堆积阁。蚁群的觅食行为指蚂蚁从巢穴出发寻找食物并且将食物搬回巢穴的行为，当蚂蚁出外寻找食物时，会在自己走过的路径上释放一种称为信息素的物质，后续的蚂蚁一般更愿意走那些信息素强度更高的路径。这样，较短路径上单位时间内通过的蚂蚁数目较多，留下的信息素也较多（浓度更高），对妈蚁产生了更强的吸引，使得更多的蚂蚁走较短的路径。这就形成了一个正反馈机制，使得最终所有的蚂蚁都走蚁穴到食物源的最短路径。蚁群的任务分配指蚁群内部能根据所需要完成的任务合理分配蚂蚁数t。研究表明，从事不同任务的蚂蚁之间的比例是会变动的，也就是说从事任务A的蚂蚁可能会根据需要而从事任务B。在基于这种蚁群行为的模型中，规定了
6、每只妈蚁的反应阈值，同时每一个任务都有一个相关的激励（task-related stimuli）。反应阈值与激励间的关系是：当某个任务的激励数值比蚂蚁的反映阈值大，那么这只蚂蚁就会加人到该任务执行者的行列中。蚁群中，如果一群蚂蚁在执行某任务时出现执行滞后情况，那么该任务的激励数值就会变大，直到其数值大于某些未执行该任务的蚂蚁的反映阈值，从而吸引更多的蚂蚁来完成该任务，由此实现了任务的自动分配。死蚁堆积与蚁穴清理行为：在蚁群的巢穴中，工蚁会对死蚂蚁进行搬运，使得那些死蚂蚁堆积到一起。在这一堆积行为中，死蚁堆越大对工蚁的吸引力越大，使得更多的死蚂蚁被堆积到该蚁堆中，这样同样也形成了一个正反馈现象。
7、但是，并不是说所有的死妈蚁都会堆积到一起，而是最终会形成几个规模较大的蚁堆。研究者对蚁群的这3种行为特征进行了深入的研究，并应用于最短路径优化、任务分配调度以及数据聚类等问题领域，得到了效率较高的许多启发式算法。2.2TSP问题TSP问题是给定一个城市的集合以及城市之间的旅行代价,寻找经过每个城市一次且仅一次而最终回到起始城市旅行代价最小的路径。如果构造一个图如下：图中的顶点为城市，顶点间的边表示城市间的交通线，边上的权为沿该交通线旅行的费用。那么，TSP问题就抽象为在这个图中寻找最短哈密尔顿回路。任意两个城市A、B，如果A到B的旅行代价和B到A旅行代价相等,称这样的TSP问题是对称的TSP问
8、题（symmetric traveling salesman problem，STSP),否则称为不对称的TSP问题(asymmetric traveling salesman problem，ATSP)。通常,在没有特别申明的情况下所提及的TSP问题指对称的TSP问题。n个顶点的TSP问题中的路径指顶点的序列：L=x1,x2xn,其中xi与xi+1(1in-l)之间有边。一条路径被称为合法路径,如果xixj(ij, 1in, 1jn)。TSP问题本质上是数学优化问题,可以形式化地描述为:Min(i=1n-1dxi,xi+1+dxn,x1)其中,d(xi，xi+1)表示顶点xi与顶点xi+1之
9、间的距离。算法研究表明,TSP问题是NP完全问题，其计算复杂度为(n!)。自TSP问题提出以来,其求解方法得到了不断的改进。目前已经可以对上万个城市的TSP问题进行求解阁。近年来,以蚁群行为为基础的蚁群算法已成为一种较为有效的TSP问题求解方法。3典型的蚁群算法这里,我们仅讨论与TSP问题相关的蚁群算法。在蚁群算法研究及实现中，并不是直接模拟现实蚁群，而是采用人工蚂蚁(artificial ant)。人工蚁群与现实蚁群的区别主要包括:（1）人工蚂蚁是有一定的记忆能力的，它可以记住己经走过的路径，以保证不会重复走相同的城市。现实的蚁群是没有记忆的,蚂蚁间的信息交换主要依靠留在所经过路径上的信息素
10、。（2）人工蚂蚁不仅仅是依据信息素来确定要走的路径的，还依据一定的启发信息，比如相邻边的长度，这意味着人工蚂蚁具有一定的视觉能力，而真实蚂蚁几乎没有视觉。（3）人工蚂蚁是生活在一个离散的时间环境下的。我们仅考虑人工蚂蚁位于某个城市，而不考虑蚂蚁在城市间的移动过程，即只考虑在某些离散时间点上的蚂蚁。而现实世界中的蚂蚁处于一个连续的时间维中。3.1蚂蚁系统（Ant System）蚂蚁系统是第一个蚁群算法,它是Dorige等人于1991年首先提出来的。蚂蚁系统有三种基本模型,分别是蚁周模型、蚁密模型、蚁量模型。三种模型的实现大致相同，主要区别是在信息素的更新方式上。在用蚂蚁系统解决TSP问题时，蚁量
11、模型和蚁密模型是蚂蚁在构建一条合法路径的过程中进行信息素的更新的，当蚂蚁走过一条边之后，就对该边进行信息素的更新，后文将这种更新称为局部更新。而蚁周模型是在所有蚂蚁都构建了一条合法路径之后才对各边进行信息素更新的，后文将这种更新称为全局更新，并且三者在蚂蚁释放信息素的量上面也不同。蚁密模型中，蚂蚁在自己所走过的边上所释放的信息素是一个常量Q，而蚁量模型中，蚂蚁在自己所走过的边上释放的信息素是Q/dij，其中Q是一个常量，而dij是蚂蚁走过边的长度。蚁周模型中蚂蚁释放信息素的量在后文说明。由于蚁周模型是三种模型中性能最好的，下面主要从蚁周模型的角度来讨论蚂蚁系统。蚂蚁系统的基本思想是：（1）预先
12、初始化各边信息素强度、以及各蚂蚁的禁忌表。各蚂蚁按照一定的概率规则，在禁忌表的制约下选择下一个要到达的结点，直到最终形成一条合法路径。（2）计算各蚂蚁所产生的路径长度，路径长度是路径中各边长度之和。（3）更新各边的信息素。各边先进行信息素挥发操作，然后根据各蚂蚁产生的路径长度获取蚂蚁所释放的信息素。（4）当所有蚂蚁均完成了信息素的更新操作之后，记录当前的最短路径，并且对禁忌表以及信息素的增加值进行初始化,并转到步骤2。依此循环下去，直到满足算法的终了条件为止,比如解无法得到进一步的改进或者达到了事先规定的循环次数。在蚂蚁系统具体包括了三个方面的内容。第一、初始化。对于每条边上的信息素初始化为一
13、个较小的数值r0；对每只蚂蚁，需要一个禁忌表记录自己已经走过的结点，初始化其禁忌表为该蚂蚁所在的结点,禁忌表长度为1。蚂蚁在各边上释放信息素的量被初始化为0。第二、蚂蚁构造路径。蚂蚁按照一定的概率确定下一步要到达的城市。概率的计算如下式。上式表示蚂蚁在t时刻由城市i选择城市j的概率。是信息素在概率计算中的权重,它的值越大，信息素在蚂蚁选择下一个要到的城市中起到的作用越大。是启发因子(在TSP问题中常以dij的倒数来表示)在概率计算中所占的权重，它的值越大，启发因子在蚂蚁选择城市的过程中所起的作用越大。Nh(i)是不在蚂蚁禁忌表中的城市集合。上式说明，蚂蚁不会选择禁忌表中的城市,这样就保证了解的
14、合法性。第三、对信息素的操作。在蚁周模型中,当所有的蚂蚁都找到了一条合法路径之后,就进行信息素的更新,如下式。其中, 表示在x时刻边ij上的信息素。是信息素维持因子，1-是信息素的挥发因子。是所有蚂蚁在边ij上所释放的信息素的总和，如下式。其中m是蚂蚁的数量，是妈蚁k在t到t+l时间内在边ij上所释放的信息素，大部分的蚁群算法都是在蚂蚁系统的基础上发展而来的。它们都是将蚂蚁系统与具体问题相结合,并且在蚂蚁系统的基础之上引入一些新的控制机制。故,通常都是把蚂蚁系统认为是蚁群算法的先驱与研究的基础。3.2蚁群系统蚂蚁系统（Ant Colony System，ACS）是第一个蚁群算法，在解决规模较小
15、的TSP问题的时候效果很好，但是随着问题的规模扩大，蚂蚁系统就会出现收敛速度过慢的问题。在1996年，Dorigo在蚂蚁系统的基础之上又提出了蚁群系统。蚁群系统的基本思想是：将m只蚂蚁按照一定的规则（随机）放于n个结点。每一只蚂蚁通过伪随机规则，也称状态转移规则创建一条合法路径。在创建路径的过程中，每一只蚂蚁通过局部更新规则对自己所走过的边进行信息素的更新操作。当所有的蚂蚁都完成了路径的构造之后，再对最佳路径上的边进行信息素的全局更新。蚁群系统较蚂蚁系统改进的地方主要体现在三个方面。第一、蚁群系统全局更新时仅针对当前最好路径上的边进行,更新规则如下式所示。其中，是信息素衰退因子，是当前最好路径
16、长度的倒数。第二、蚁群系统在蚂蚁创建路径的过程中所使用的状态转移规则不同于蚂蚁系统,如下式所示。其中，q（0，1）是一个随机数，q0（0，1）是一个常量，它在算法的求解效率与算法的运行效率之间起平衡作用。一般地，想使算法收敛于全局最优解，获得较高的求解效率就务必要求搜索范围尽可能地大，不能局限在已有路径这个空间周围，而这不可避免就使得算法的运行效率降低。反之，假如要想算法的运行速度加快，获得满意的运行效率，那么算法的搜索空间就不能太大，这样使得算法有收敛于局部最优解的风险。蚁群系统的做法是：当qq0时，则增强已有的较好的路径上的信息素，即选择当前转移概率最大的那个城市。而当qq0时，就按照蚂蚁
17、系统中的选路方式来选择下一个要到的城市，以扩大搜索空间。这样做的优点是在保障算法求解效率的基础上同时又提高了算法的运行效率。第三、蚁群系统在对信息素更新时,除了进行全局更新，还要进行信息素的局部更新。局部更新如下式所示。其中，p任（0，1）。在关于蚁群系统的后续研究中，ACS引人了局部搜索（Local Search）策略,它使用restriet3-opt，这个搜索策略可以同时满足ATSP和STSP两类问题，并且可以明显提高算法的性能。实验研究表明，ACS在解决规模较大的TSP问题时，可以取得比较令人满意的结果。3.3蚁群优化算法随着对蚁群算法研究的深人，蚁群算法的应用领域也随之不断扩充。继TS
18、P问题之后，蚁群算法又相继应用于QAP，VRP等组合优化问题，网络路由问题，图的着色问题以及机器人路径规划等问题。蚁群算法与不同具体问题相结合而产生了不同的蚁群算法。这些不同的蚁群算法在外在形式和内在运行机制方面都有相似之处。从Dorige等人于1999年提出了蚁群优化算法(Ant Colony optimization，ACO)，该算法给出了蚁群算法的一个一般化的框架。蚁群优化算法的提出在蚁群算法发展历程中具有重要的意义。ACO的主要思想是：如果求解的问题能够转换为在一个图中寻找最优路径，那么ACO就能够用于寻找满足给定限定条件的最优路径，进而完成对问题的求解。ACO对蚁群算法的实现进进行了
19、高度的概括，将蚁群算法主要概括为蚂蚁的行为,信息素的挥发操作和一些守护操作。其中守护操作是可选的。ACO的伪代码如下：蚂蚁的行为可以描述为一群蚂蚁同时异步地在问题空间中相邻的状态之间移动，可以形象化为在一个图中的相邻结点之间移动。移动依靠问题的启发信息和信息素所决定的选择策略以及问题本身的限制条件。通过移动，逐步地构建问题的解。一旦蚂蚁构建出了问题的解，或者蚂蚁正在构建问翅解的过程时，蚂蚁会对解进行评估，然后依据解的好坏来释放一定的信息素到路径上。而这些信息素将进一步指导后续蚂蚁构造路径。在ACO中，蚂蚁的行为用ant_geneariton_and_activity（）来表示.。信息素的挥发操
20、作可以描述为图的边上的信息素随着时间而逐渐消失。这样做是为了避免算法过快收敛于局部解，信息素的挥发操作同样有利于蚂蚁对新的解空间进行搜索，进而找出更好的解。在ACO中，信息素的挥发操作用pheormone_evaporation（）来表示。守护操作可以描述为实现一些蚂蚁所不能完成的集中控制任务。比如一些局部搜索策略；比较各蚂蚁所产生的路径长度，仅仅对其中的最短路径再次进行信息素的全局更新等等。在ACO中，守护操作可以用daemon_actions表示。需要指出的是，ACO对以上三个行为之间的进度和具体实现方式并没有严格的限制，比如它们三者之间是否需要同步或者是否要彼此并行且独立。这就意味着在利
21、用ACO解决实际问题的时候，可以自由安排以上三个行为之间的实现进度以及具体的实现方式。ACO适用于离散优化问题的求解，相应问题的特征在文献中有详细的说明。如果说，前期的蚁群算法基本都是围绕蚂蚁系统而展开的，那么在蚁群优化算法提出之后，有关蚁群算法的研究和相关应用就基本上是围绕蚁群优化算法而进行的。4结论本文主要从解决TSP问题的角度出发，按照时间先后顺序分别介绍了蚁群算法系列中比较有代表性的几个算法。描绘了蚁群算法从AS到ACO发展完善的过程。在介绍各算法基本思想的基础上，着重阐述了算法的主要特点和创新点及其意义，从上述蚁群算法的发展过程中可以看出，蚁群算法的核心就是对信息素的合理操作，整个蚁
22、群利用信息素作为一种间接通信工具而形成解决问题的合力。故，如果要实现蚁群算法进一步的发展，关于信息素的操作是一个主要的人手点。目前蚁群算法的应用越来越广，国际上已经有专门的学术会议来讨论蚁群算法。相信随着研究的深人，蚁群算法必将可以得到进一步的发展，进一步拓宽蚁群的应用领域。最后需要补充的是，在蚁群算法发展的历程中，除了文中介绍的蚁群算法之外，还有其他一些同样具有代表性的蚁群算法。比如:带精英策略的蚂蚁系统（Ant System with elitist Strategy，ASelist），基于优化排序的蚂蚁系统（Rank-Based Version of Ant System，ASrank）
23、等等。参考文献1Regis Chenavaz.Dynamic pricing,product and process innovationJ. European Journal of Operational Research,2012, 222 (2012):533-557.2郑筠,文扬.基于作业成本法的标准成本体系研究J.北京航天航空大学学报(社会科学版),2004,17(3):62-65.3Tzy-yih Hsiao. Establish standards of standard costing with the application of convergent gray zone t
24、estJ.European Journal of Operational Research,2004,168(2006):593-611.4田志波,唐立新,任一鸣,赵永明,邬成新.基于合成领域的蚁群算法求解无委托板坯匹配问题J.自动化学报,2009,35(2):186-192.5武照云,刘晓霞,李丽,刘楠嶓.产品开发任务分配问题的多目标优化求解J.控制与决策,2012,27(4):598-602. 6施进发,焦合军,陈涛.交货期惩罚下柔性车间调度多目标Pareto优化研究J.机械工程学报,2012,48(12):184-192.7宗欣露,熊盛武,方志祥.基于蚁群算法的人车混合疏散优化及混合比例分析J.系统工程理论与实践,2012,32(7):1610-1617.8丁力平,谭建荣,冯毅熊,高一聪.基于Pareto蚁群算法的拆卸线平衡多目标优化J.计算机集成制造系统,2009,15(7):1406-1429.9王守觉,王柏南.人工神经网络的多维空间几何分析及其理论J.电子学报,2002,30(1):1-4.10