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1、高数试题、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线11 :y 2 z 4 x y 6, ，一匕土三二，12：则11与12的夹角为.21 2yz 3,(A); ( B); ( C)；2.函数 z = xe2y 在点 P(1,0)(D)-.出沿从P(1,0)到Q2,1）方向的方向导数为.122xysin2, x y 0,3.函数 f(x,y)x y在(0, 0)点.220, x y 0,(A)偏导数连续;114.积分 dx x 0 x（B）偏导数不存在;,y2x2dy .(A)3 (B)111(C) (D)一。41224（C）偏导数存在但不可微；（D）可微但偏导数不连续。5.设 是由
2、x2 + y2 + z2 = 1所围成的区域，则三重积分e|z|dv .3（A）（B）; （C） ; （D） 2 .22二、填空题（本大题 5小题，每小题4分，共20分）1.过点（0, 2, 4）且与两平面x + 2 z = 1和y - 3z = 2都平行的直线方程是222x y z 4,22.设： 二 则 0 x2dsz 、3,?dy2、x（1 y ）e3.满足微分方程初值问题dx的解为y =yx0 14.设 z = 1n(1 +x2 + y2),贝Udz(12、(I,2)三、（9分）求微分方程 y 4y xcosx的通解.四、（9分）求函数f （ x, y） = xy在闭区域x2 + y2
3、 1上的最大值和最小值。五、（9分）某物体的边界由曲面 z = x2 + y2和平面z = 0, | x| = a, | y| = a围成，其密度函数为=x2 + y2,求该物体的质量.“、一，,， x y b 0,六、（9分）设直线L：在平面 上，而平面 与曲面z = x2+ y2相切于（1,2, 5），求x ay z 3 0,a, b的值。七、(9分)计算曲面积分 (x y z)3dydz (x y z)3dzdx (x y z)3dxdy其中 为由圆锥面x2 +y2=z2与上半球面x2+ y2 +z2 =R (R 0)围成曲面的外侧.八、(8分)设函数Q(x, y)在xOy平面上具有一阶
4、连续偏导数，第二类曲线积分l 2xydxQ(x,y)dy与路径无(t,1)(1,t)关，且对任意 t,有(0 0)2xydx Q(x, y)dy (oo)2xydx Q(x, y)dy,求 Qx,y).九、(6分)设当x1时，可微函数f (x)满足1.求 f ( x)；2.答案2.七、f (x)f(x)x0 f(t)dtf(0) 1.证明：当x 0时,、1.2f (x)4 ;2. dz3dx2,c3dy；3.y tan(ex1)；4./x 2)n； 3C1cos2x C2 sin2x1一 xcosx32sinx.四、 9f maxfmin1十一.五、2112 6一a , 45八、a =5, b
5、 =95(2柩 R5.八、Qx,y)=x2 + 2 y - 1.高数试题一、选择题(本大题 4小题，每小题4分，共16分)1 .函数z f (x, y)在(xO, y)处可微的充分条件是(A) f(x, y)在点(Xo, y)处连续；(B) f (x,y)在点(xo,y)处存在偏导数；(C) limj z fx(Xo,y。)x fy(xo,y0) x 0,J( x)2 ( y)2 ；z fx(xo, yo) x fy(Xo,yo) x(D) lim 0.02 .圆心在原点半径分别为 R和r的(R r)的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为)关于原点的转动惯量为.(A)(R4 r4);(B)1
6、(R4 r4);2(C) 1 (R4 r4);(D)1(R4 r4).463.微分方程y5y 6y xe2x e3x的特解形式为（(A) y* x(ax b)e2x cxe3x ；2x3x(B)y* ae b(x c)e ；(C) y* (ax b)e2x ce3x ；(D)4.设是由王面x2 y2 z2a2 (a2 x3 xy* (ax b)e cxe0）所围成的闭区域，则Jx2 y2 z2dv =44（A） - a ；（B）二、填空题（本题共r r1.已知a 3, b.4.44a；(C) a ;(D)6小题，每小题4分，共计24分)r rr r26, a b 72,贝U a b2.函数 f
7、 (x, y)22x xy y在点（1,1）处的梯度为3.已知曲线为连接（1,1,1）和（2,2,2）两点的直线段，则曲线积分(x 2y 3z)ds=4.由曲面z 4 3(x2y2）与曲面zx2y2所围立体的体积为5.设为平面2z, 4_1在第一卦限中的部分，则（z 2x y）dS =436.以 y1 = cos2 x, 、计算下列各题y2 = sin2 x为特解的常系数齐次线性微分方程为（本题共5小题，每小题6分，共计30分）x 71 .求点P0(1,1,1)到直线12 .已知一平面通过球面x2 +2y +z=4(x 2 y 2 z）的中心，且垂直于直线L:，求（1）该平面0的方程；（2）该
8、平面与球面的交线在xOy平面上的投影。3 .设函数f具有二阶连续的偏导数,2u f (xy , x y)求 x y4 .计算二重积分xjydxdy ,其中D是由两条抛物线y xxy x2所围成的闭区域.5求解微分方程的初值问题:(1y(0)x2)y 2xy1,y(0) 3四、（8分）计算积分I(x2 cos22y cos z cos )dS,是抛物线z = x2 + y2被z = 4割下的有限部分的下侧，cos , cos,cos 是上各点法线方向余弦.L有？4x3ydx f （x）dy 0。求曲线积分五、（8分）设f （ x）为连续可微函数，且 f（1） 2,对任一闭曲线?4x3ydx f(
9、x)dy 的值.其中 L 是圆周(x 2)2 (y 2)24上由 A(2,0)经 D(4,2)到 B(2,4)的一段弧.L1 K、(8分)经过点P(2,1,)作一平面，使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该平3面方程.七、(6分)设函数f ( x)在1, +)上连续，由曲线y = f ( x),直线x = 1, x =t (t 1)与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周形成旋转体的体积为V(t) 3t2f(t) f(1)，一一 2又已知f(2),求f ( x).9+ 4 y = 0.答案 一、；.二、1.30; 2.(1, 1)，事;5. 4何；6. y三、1. 3,3;
10、2.y + z = 0,2-2x 2y 4x 16y z 0.xf 11 + ( x + y) f 12 + f22 ； 4.2 5. y = x3 + 553x + 1.四、64、 x y ， x.五、68, tk、 一 一 z 1.七 y 36 31 x3高数试题一、选择题(本大题 4小题，每小题4分，共16分)1.函数f(x,y) (x2 y2 2x)2在闭区域(x - 1) 2 + y21上的最小值为(A)0 ； (B)1 ;(C) 2；(D) 3。1 y2 .设函数f ( x, y)连续，则二次积分dy f (x, y)dx .111 y111 x(A)0dy y f(x,y)dx;
11、 (B)0 dy 0 f ( y, x)dx ； (C)0 dx x f (x, y)dy ； (D)0 dx 0 f (x, y)dy .3 .设 为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则 (x y z)dv=(A) 1；(B)1；(C) ；(D).那么y = Cy1 + C2y2 ( G, C2是任意常数)6812244 .设y1 , y2是二阶线性方程 y + P(x)y+ Q(x) y = 0的两个解,(A)V1 y2v2Vl0；(B)是该方程通解的充分必要条件是.V1 y2v2Vl0； (C)V1 y2y2 %0； (D)% V2 y2 %0.、填空题(本题共
12、5小题，每小题4分，共计20分)1 .已知|a| 1, |b| 22, a与b的夹角为一，则|a b| 42 .设 是由曲面z ,1 x2 y2与z = 0围成的立体，则的形心坐标为 3 .设曲线 为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分(x y z)ds=4 .设 为锥面z &一广被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分zdS 5 .若方程 y + y tan x =2cos2 x 有一个特解 y = f ( x),且 f (0) = 0,三、计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，共计30分)1 .求过点M ( 3,2,5)且与两平面x - 4z = 3和2x - y
13、 - 5z = 1的交线垂直的平面方程.2 .求函数u = x2 + 3 yz在点(1,1,1)处沿椭球面x2 + 2 y2 + 3 z2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。3 .计算二重积分ydxdy,其中D是由y = x - 4与y2 = 2 x所围成的闭区域.1 x4 .如果 y = f ( x)满足 y J x o( x),且 f (1) = 1, 求 f ( x).2x x2xx5 .若 (x)连续，且满足方程(x) exot (t)dt x o (t)dt, (1)写出与该方程等价的二阶微分方程初值问题；(2)求 (x).四、(8分)一质点在力F (x2y)i(x sin2y)j
14、的作用下，由点 q。, 0)沿上半圆y ,2x x2移到点A(1, 1)，求力F所作的功.五、(8分)计算曲面积分 oxzdydz yzdzdx xydxdy,其中 是由抛物面3z=x2 +y2和球面z 4 x2y2所围成立体的表面外侧.2 f六、(8分)设函数f (x, y)有二阶连续偏导数，满足一-0,且存在一兀函数h(u),使f(x,y) h(Jx2 y2), x y求 f (x, y).七、(5分)设F(x,y) = (f 1( x,y),f2(x,y)是(x,y)某邻域内定义的向量函数，定义|(f1 (x,y), f2(x, y) | . f；(x,y) f； (x, y)为 (f
15、1( x, y), f2( x,y)的 模，如 果|F(x0x,yy) F(x0,y0) (A x B y,C x D y)|o(/2y2),其中A,B,CD是与x,y无关而仅与xc,y。有关，o(,x2y2)是Jx2y2的高阶无穷小，则称F(x,y)在(x,y。)点可微，记为dF(x,y) |(x0,yo) (A x B y,C x D y)设 F(x, y) (arctany, x2y7),求 dF(x, y)岛)。 x答案一、；.二、1. v,5 ; 2. ; 3. 6v114 ； 4. - 22 ; 5.2.83、1.4 x + 3 y + z +1= 0; 2.17.14；4.2x
16、x2 ; 5.rni7194四、_sin2.五、一6427七、2( x y, x y).、122_a -C1(xy ) C2.高数试题-、选择题1 .设f(x,y)&一，则函数在原点偏导数存在的情况是.(A) fx(0,0)，fy(0,0)都存在(B) fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在(0 fx(0,0)存在，fy(Q0)不存在(D) fx(0，0)，fy(0,0)都不存在 ABC与直线2 .设平面的法向量为n (A,B,C)，直线L的方向向量为s (m,n,p)，则2 - C是平面m n pL的垂直的.(A)充要条件；(B)充分条件；(C)必要条件；(D)无关条件.3 .设是球面x2
17、 + y2 + z2 = R2，则下列结果正确的是.24 _ 3(A) 。(x y z) dS 0 ；(B) Q dS - R ；3(C)O(x2y2z2)dS0;(D) o(x2y2z2)dS4R4.4 .5 .设曲线L: f(x,y) 1 ( f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第n象限内的点 M和第w象限内的点 N，上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 .(A) T f (x, y)dx(C) T f (x, y)ds二、填空题(B) Tf(x,y)dy(D) T fx(x, y)dx fy (x, y)dy1.设 |a| J3, |b| 1, (a,b)b在a b上的投影为2.交换
18、积分次序2dx12x x2f (x, y)dy 为dy11 y22 yf(x, y)dx3.设正向闭曲线L的方程为|x|y| 1,l|x| |y| 2ds =4.5.设函数z z(x, y)由方程x az (ybz)所确定，其中 (u)有连续导数，则a b x y三、计算题1.设z f (u,x, y), u xey ,其中f具有二阶连续偏导数，求2zox y222.求曲面z x y的与直线x 2z 1垂直的切平面。y 2z 23.计算二重积分JyDxdxdy,其中D是由直线y x, y 1x0所围成的平面区域.4.求(x y)dydz (yz)dzdx (z x)dxdy,是抛物面 z22、
19、x y被平面z = 1截下的有限部分，法向量与z轴正向成锐角。5.求解初值问题xyy(1)y 2x3, 1,y(1) 2,四、设球体占有闭区域22 cy z 2z,它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方,求球体对于z轴的转动惯量。五、(8分)求抛物面 z x22一y 与平面 x yz 1的交线(椭圆)到原点的最长距离和最短距离.六、5.设f(x)是非负连续函数，且f (x)dx1，计算曲线积分Lxdy (y)dx ,式中L为沿yf (x)从点O(0,0)到A(2, 0)的曲线段.七、求y3y2y sin x的通解.2.四、五、六、七、答案,2. 2.1.x2x 2y323510
20、dyf1f (x, y)dx , 3.32,4.2 + 2, 5. 1ey2。3.415曲线到原点的最长距离和最短距离分别为3 e2f1 eyxe2y 3eyf13xey f21f 234.5.15 10*515 10 22xc 2x_3_1yC1 eC2e-cosxsinx1010高数试题、选择题1.设(x)为任意一个x的可微函数,2 r(y)为任意一个y的可微函数，若已知 _F.(A) f(C) fx,x,2.在曲线y) + y) + x = t ,(x);(x) +y =(A)只有1条；(B)只有(B)(y);z = t 3的所有切线中, 2条；(C)至少3条；(D)f ( x, y)
21、+ f ( x,3.设 f (A) xy + 14.t2,x, y)是连续函数，D是由y = x2, y = 0,y)=.(B)f(x, y)xyf (x, y)dxdyxy(C)1xy 1 ； (D)4xy二、填空题1.过点(3,1,4)且与y轴相交，又与平面2.交换积分次序1dx0x2:f (x, y)dy 12dx3.设L为圆周x =acost,y = asin t (04.三、计算下列各题1.已知u f x2,ex y2.计算 (2x3yz)dv3.求平行于平面6x +4.求解初值问题dy dt y|tky5.求 (x yy) +与平面(D)x = 1(y);(x)( y).x + 2
22、 y + z = 4平行的切线.不存在。所围的区域，且f ( x, y)满足恒等式y + 2 z = 0平行的直线方程为xf(x,y)dy 为),/ 22.3 .L(x y ) ds=，其中f具有二阶连续偏导数,是半球面z 也 x2 y2和旋转抛物面22 一z x y围成的立体。oyo,z)dS ,式中四、(8分)计算积分I五、(8分)在抛物线：z是平面x3dydz,而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。y + z = 5被柱面x22y dzdx zdxdy,y2 25所截得的有限部分。是柱面x2 + y2 = a2在0h部分外侧。x2 y2 1 上求一点 M o(x0,y0,z
23、o) (x00, y00, x；y21)使在Mo处的切平面与柱面y V1 x2及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。八、(8分)已知L是第一象限中从点(0, 0)沿圆周x2 + y2 = 2x到点(2, 0),再沿圆周+ y2 = 4 到点(0, 2)的曲线段。计算曲线积分IL3x2ydx (x3 x 2y)dy。七、（8分）人、（6分）设有一半径为R的球体，R是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到R距离成正比（比例常数答案:一、i.i x 33k 0)D； 2 .y i,求球体对于R的转动惯量。B; 3. D;z 4. 24Ai 2 ydy 2 f (x, y)dx ； 3.
24、20 i Ji y2a7；2.3.4.2xf1ex y2yfi2x fii(4xyfii(2x 3y2y)fi2exx2(x y)e2z )dv =y ef2exyf2i(2y)f22ex yfi2zdv2x 2yxeT22eirdr0i -r(2 2-2-r22 zdzr2r2) r4dri2(x y z)dS = (x 5)dS(x 5)i (x2 y2 25i)2 dxdyf2i25.2设所求平面方程为6x + y + 6 z = DI 故所求平面方程为5.四、解6x +D| = 6y + 6 z = 6z = 0 ( h ( x2 + x3dydzx2 + y2y或6x +6。：a2）
25、下侧; a2）上侧2 ,y dzdx zdxdyx3dydz22 ,y dzdx zdxdy2(3x 2y i)dxdydz 0dxdyx2 y2 a2x2 y2 a2hdxdy五、解2h3x dxdy dz dxdydz222x y a3h2 x2 y23h 2 d2 。a2h222(x y )dxdy a ha2a 334r dr ah。4过Mo点的切平面方程为xo( x - xo) + 2 yo( y -V。)2xox 2yy z2x。2 yo立体的体积为(2xox 2yoV2y。D23(x。y。)2(xo42y。故所求的点为（2 Xo4 43 ,30，Vyo六、解七、解a2hz - Z
26、o)=。1)dxdy1)。2D : x 0, y 0,xy2 12y。，补充 L1： x = 0, y 从 2 至ij。,Li围成的平面区域记为D,由格林公式lPdxdyD由题设2 .ydx/ 3(x x2y)dy-2,33x ydx (xL1x 2y)dy。2(2y)dyanlim an n0 ,则交错级数(1)nan 收敛,与题设矛盾，故lim an n 0).由根值法，有 lim ni 1 n . 1 an1,故级数收敛。八、解以P。点为坐标原点, 转动惯量为球心在z轴上建立坐标系，则球面方程为x2 + y2 + z2 = 2 Rzk(x23z2)2dxdydz2 sin。2Rcos o
27、d r3。2 .r dr02sin(2 R cos )6d64 k R21高数试题一、选择题rrr r 、一一1仅 a (ax,ay,az)，b (bx,by,bz)，则 a/b的充要小件正 .(A)axbx,ayby,azbz;(B)axbxaybyazbz0;(C) ax 曳曳；(D)ax ay az bx by bz.bx bybz2 .设 f (x,y) Jx2 y2 ,则函数 f ( x, y)在原点(0, 0)处.(A)连续且 fx (0,0), fy (0,0)存在;(B) 连续且 fx (0,0), fy (0,0)不存在;(C)不连续且fx(0,0),fy(0,0)存在；(D
28、)不连续且fx(0,0), fy (0,0)不存在。3 .设 是球面：x2 y2 z2 R2所围成的闭区域，则下列结果正确的是.(A) (x y z)2dv 0；(B) (x2 y2 z2)dv - R5；3(C) (x y z)dv 0； (D)0(x2 y2 z2)dS 4 R2 4 .微分方程y + y = sin x的一个特解的形式为(A) Axsinx; (B) Acosx Bsinx; (C) Axcosx Bsinx; (D) Axcosx Bxsinx。5 .设f ( u)连续可微，且 :f(u)du k 0,其中L为圆周y J2x x2上从原点到点(2, 0)的部分，则_22
29、L f (x y )(xdx ydy)(A) 0 ; (B) k; (C) k; (A) 2k.2二、填空题1 .函数 z = f ( x, y)由方程 2sin(x 2y 3z) x 2y 3z所确定，贝U dz =. 11 y2 .交换积分次序 dy 丫 f (x, y)dx为.3 .设 L 为圆周 x = acost, y = asin t (0 t 2 )，贝U jx y)2ds=.4 .设平面薄板所占闭区域 D由直线x + y = 2 , x = 2和y = 2围成，它在点(x, y)处的面密度为y2 ,则平 面薄板的质量为。5 .微分方程y 10y25y 0的通解是。、计算下列各题
30、21.已知z f(xy,y)，其中f具有二阶连续偏导数，求 _z,_z,_z ，xx，y，x y2. 一平面通过两平行直线y-4-，求此平面方程。213.计算(x2 y2)dv,其中 是由yoz面上曲线y2 2x绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z = 8所围成的闭区域。4xyz.4.求(2xyz)dS ,式中是平面一y一1在第一卦限的部分。3234四、(8 分)计算积分 I(y2xz)dydz(z2xy)dzdx(x2yz)dxdy,是锥面 zJT_y2 (0z h)的下侧。五、(8分)求球面x2 y2 z2 a2的内接长方体，使长方体的体积最大。六、(8 分)一个体积为 V,外表面积为S的雪堆
31、，融化的速度是 aS ,其中a是正常数，假设在融化 dt22过程中雪堆的形状保持为 z h -(z 0),其中h = h (t),问一个高度等于ho的雪堆全部融化消失需要 h多少时间。七、(4分)设函数f (x)满足方程xf (x) 3f (x) 6x2,且由曲线y = f ( x),直线x = 1与x轴围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D的面积。高等数学(下)2014年7月一、单项选择题(本题共4小题，每小题 4分，共计16分)_ r _ _ _ 一1 .设向量a (2, 2, 5)的起点坐标为(2,1,7),则(A) a的终点坐标为(4, 2,1);(B) a的长度为
32、6;(C) a与y轴的夹角为2.设平面区域D : x2(A)xln(x2 y2)d0D(C) | xy | d 4 xydDD12 arccos-y=;(D) a在z轴上的投影为5。2y 1,x 0, y(B);1 x2y2dD(D)xy2d0则下列等式不成立的是411 x2y2dD12 .4 xy dD1、一,，. o 14 .设函数z e2x（x 丫2）则（一,0）是该函数的.2（A）驻点但非极值点；（B）驻点且极小值点；（C）驻点且极大值点；（D）极值点彳!非驻点.二、填空题（本题共 4小题，每小题4分，共计16分）1c1 5 .曲线x t2,y 2t,z -t3在点(1,2,1)处的切
33、线万程是 . 331L116 .交换积分次序04dyf (x, y)dx12dy j f (x, y)dx =7.设f （x）可微分，x 2zf(y 3z),则 2-z 3= x y8.若二阶常系数线性非齐次方程y py qy f (x)的三个解是:/ x 2xy1x(e e ) , y2x 2xxxe e , y3xe (x 1)e贝U p2 4q三、计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，共计30分)1.求平面方程，使得这个平面垂直于平面x y 2z 5 0,平行于向量s （1, 2,2j5）,并且过点（5,0,1）。2.求二重积分arctanydxdy ,其中D由圆x2 y21, x2y
34、2 4及直线y 0, y x所围成的在第一象限的闭区域。 27 .设z x2f（xy,Y） , f具有二阶连续偏导数，求 二，一z xy x y4 .计算曲面积分I1,1dS,其中 z是球面x2 y2 z2 2在锥面z Jx2 y2上方的部分。5 .计算曲线积分L(xy）2ds,其中L是由点Q0,0）到A（0,1）的直线段和yV1 x2 上从 A(0,1)到 B(1,0)的圆弧组成。1y 4y （x cos2x）2四、（8分）求解二阶初值问题：y（0） 0y(0) 0五、（8分）修建一座容积为 V,形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如
35、何设计长、宽、高使它的造价最小。六、(8 分)计算曲面积分 I2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,其中是曲面 z 1 x2 y2 (z 0)的上侧。七、（8分）设f （ u）连续可微，L为由A2.3,-至1J B 1,2的直线段，求32y dx 4y2f(xy) 1dyl yy八、(6分)答案 (2014年7月)一、1 : C; 2 : D; 3 : B; 4 : B。1x 1 y 21x一、1：z -； 2 ：2dx , f(x,y)dy; 3 ： 1； 4 ： 02230 ,，三、1.求平面的方程，使得这个平面垂直于平面x y 2z 50,一， 12平行于以1,5 5巡
36、为方向余弦的直线,52并且过点（5,0,1）。解所求平面的法向量为(4 275,2275, 1),25平面方程为（42/5)(x 5) (2 275) y (z 1) 0。2.求二重积分arctan ydxdy ,其中xD由圆x2y2 4及直线y0, y x所围成的在第一象限的闭区域。3.，y ,arctan-dxdyx04drdr32 o64x2f (xy，) x具有二阶连续偏导数，求2 zox y1 .(xf1 - f2)xx3 f1xf24.3x2f13x2 f1计算曲面积分I3/x (fnYf12 )f2x( f21 yf22) xf2x3 yfn12一dS,其中是球面x2 z222z
37、 2在锥面z Vx y上万的部分。解 ：z2x2y2 , Dxy: x2 y2 1,11 z 2 z 22I -dS1()() dxdy-2-2 dxdyzx2 y2 1z .xyx2 y2 12 x y1 -.二 2d rdr 、2 In 20 2 r25.计算曲线积分Jxy)2ds,其中L是由点O(0,0)到A(0,1)的直线段和yJ1x2上从A(0,1)至iB(1,0)的圆弧组成。1解 L(x y) ds 0 y dy02 (cos sin ) J( sin ) cosd1 - 1 3 2四、五、修建一座容积为 V,形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面
38、积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。解设长、宽、高分别为 x, y, z,则V xyz,设单位造价为k,则xy 2(2 xz 2yz) 3xy 4xy 4xz 4yz设 L 4xy 4xzLx 4y 4zLx 4x 4zLz 4x 4y4yz (V xyz)yz 0xz 0xy 0V xyz解得 xyz W。六、计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,其中 是曲面 z 1 x2 y2 (z 0)的上侧。解设1: z 0,( x2 y2 1)下侧I6(x2y2 z)dxdydz ( 3)dxdy221 1x y 12 11r22drdr6(rz)dz 3000211r2drdr6(rz)dz 3000七、设f 2 _ _(u)连续可微，L为由A 3,-到B31,2的直线段,/2/、3,Q 4y2f(xy)yy1y2 f (xy)x 2 一dx 2y f(xy)y1dy(1,2) 12 ( dx 2 dy)(3,3) y y(1,2)2 (3,-)3xd- F(xy) y八、设函数f (x)在a,b上满足af(x)(x)| q 1证明：级数(unn 11 un)绝对收敛。证明|un 1|f(Un) f(Un1)| | f (n)(unq 1,从而q| f(Un 1)