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1、3.1.2 不等式的性质,性质1：如果ab，那么bb.,性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。,性质2：如果ab，bc，那么ac.,证明：根据两个正数之和仍为正数，得,(ab)+(bc)0 ac0 ac.,这个性质也可以表示为cb，ba，则ca. 这个性质是不等式的传递性。,性质3：如果ab，则a+cb+c.,证明：因为ab，所以ab0， 因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，,即 a+cb+c.,性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.,a+bc a+b+(b)c+(b) acb.,由性质3
2、可以得出,推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。 （移项法则）,推论2：如果ab，cd，则a+cb+d.,证明：因为ab，所以a+cb+c， 又因为cd，所以b+cb+d，,根据不等式的传递性得 a+cb+d.,几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。,推论1：如果ab0，cd0，则acbd.,性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.,证明：因为ab，c0，所以acbc， 又因为cd，b0，所以bcbd，,根据不等式的传递性得 acbd。,几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式
3、同向。,推论2：如果ab0，则anbn，(nN+，n1).,证明：因为,个，,根据性质4的推论1，得anbn.,推论3：如果ab0，则， (nN+，n1).,证明：用反证法，假定 ，即 或 ，,根据性质4的推论2和根式性质，得ab或a=b，,这都与ab矛盾，因此,例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：,（1）已知ab，ab0，求证： ；,证明：,（1）因为ab0，所以,又因为ab，所以,即,因此,（2）已知ab， cbd；,证明：（2）因为ab，cb，cd，,根据性质3的推论2，得,a+(c)b+(d)，即acbd.,（3）已知ab0，0cd，求证：,证明：（3）因为0cd，根据（1）的结论
4、得,又因为ab0，所以,即,例3设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，则A，B的大小关系是 。,AB,例4（1）如果30x36，2y6，求x2y及 的取值范围。,18x2y32，,（2）若3ab1，2c1，求(ab)c2的取值范围。,因为4ab0，1c24， 所以16(ab)c20,例2. 已知ab，不等式:（1）a2b2；（2） ；（3） 成立的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,A,例5若 ，求 的取值范围。,解：因为f(x)=ax2c,所以,解之得,所以f(3)=9ac=,因为,所以,两式相加得1f(3) 20.,练习已知4ab1，14ab5，求9ab的取值范围。,解：设9ab=m(ab)+n(4ab) =(m+4n)a(m+n)b，,令m+4n=9，(m+n)=1，解得，,所以9ab= (ab)+ (4ab),由4ab1，得,由14ab5，得,以上两式相加得19ab20.,