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1、向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题： 一是位置关系，它 主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题， 它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角 等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、 线面垂直及计算线 线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及 面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分 内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的 想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1 .数量积：a b a b cos2 .射影公式：向量a在b上的射影为a-b b3 .
2、直线Ax By C 0的法向量为 A,B ,方向向量为B, A4 .平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1 .平行关系线线平行 两线的方向向量平行线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直面面平行 两面的法向量平行2 .垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直 线与面的法向量平行面面垂直 两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离1 .点点距离点 P Xi,yi,z 与 Q X2,y2Z 的距离为 PQ J(X2 %)2 (y %)2 匕 zi)22 .点线距离求点P Xo,yo到直线l : Ax By C 0的距离:方法：在直线上取一点Q x, y ,则向量PQ在法向量nu
3、uirA,B上的射影归口条V即为点P到l的距离.3 .点面距离求点P Xo，yo到平面的距离：方法：在平面 上去一点Q X,y ,得向量PuQ计算平面的法向量n ,计算PQ在 上的射影，即为点P到面 的距离.四、用向量法解空间角1 .线线夹角（共面与异面）线线夹角 两线的方向向量的夹角或夹角的补角2 .线面夹角求线面夹角的步骤:先求线的方向向量与面的法向量的夹角， 若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3 .面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 .实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空
4、间两条异面直线a, b所成角0,只要在两条异面直线一人uuLr uuir uuir uuura, b 上各任取一个向量AA和BB,则角AA,BB=0或兀-0 ,因为uuur uuur不需要用法向量。是锐角，所以 cos e = .uuA BuurAA BB1、运用法向量求直线和平面所成角r设平面口的法向量为n= (x, y, 1),则直线AB和平面0c所成的角0的正弦值为sin 0 = cos( j- 0) = |cos ABr , n | =uuir rAB ?n-uutrrAB ? n2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为，则ui,nu 或兀- nr,nu 是所求 角。这时要借助
5、图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定 九微是所求，还是兀-是所求角。:、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为在a、b上任取一点A、B,则异面直线a、r nuur r d =AB cos / BAA =|ABr?n| |n|略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a为过F与a平行的直线,在a、b上任取一点A B,过A作AA ”EF,交a于A ,则 照/,所以/ BAA = （或其补角）uuu r异面直线a、b的距离d =AB cos/ BAA =|阴？）| *|n|其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量a,b （或图中的Ar擀）,r及n的定义得r n r n
6、r a r br r n?a 0 r r n?b 0r解方程组可得no2、求点到面的距离rn (x, y,1),在 口n的坐标由n与求A点到平面0c的距离，设平面0c的法向量法为uuu r内任取一点B,则A点到平面0c的距离为d =四型|n|平面口内的两个不共线向量的垂直关系， 得到方程组（类似于前面所r述，若方程组无解，则法向量与XOYf面平行，此时可改设n (1,y,0),下同)3、求直线到与直线平行的平面的距离r.求直线a到平面0c的距离，设平面0c的法向量法为n (x,y,1),在直线a上任取一点A,在平面0c内任取一点B,则直线a到平面0c的uur r距离d= 1AM|n|4、求两平
7、行平面的距离r.一.设两个平行设平面%、 (3的公共法向量法为n (x,y,1),在平面、uuu rB内各任取一点 A B,则平面0c到平面B的距离d = r？E|n|三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面口、(3,两个面口、B的法向量为工力， 则urura/ a n1a a/n1it urrr ur/n1 / n2n1 n2四、应用举例：例1:如右下图，在长方体ABCD-ABCD中，已知AB= 4, AD =3,AA= 2. E、F分别是线段 AB BC上的点，且 EB= FB=1.(1)求二面角C- DE-C的正切值;(2)求直线EG与FD所成的余弦值.解：(I )以A为
8、原点， 建立空间直角坐标系，则 D(0,3,0)、D(0,3,2)C(4,3,2) uuu 于是，DE一 ，一 r 设法向量nuuruurr n r nuuu DE uuir ECi r n (3x(3, 3,0), EG(1,3,2), FDi ( 4,2,2)(x,y,2)与平面CiDE垂直，则有3y 0x 3y 2z 01, 1,2), uuuQ向量AAi(0,0, 2)与平面cde垂直r uuuAA1所成的角为二面角C DE C1的平面角Q costanr uuirn? AA1u-uuur|n| |AA1|,2210 10 2 2,114x004(II )设EG与FD所成角为(3 ,则
9、uuir uuurcos|ECi | |FDi|1 ( 4) 3 2 2 2.T 32 22( 4)2 22 22,2114例2:如图，已知四棱锥 P-ABCD底面ABC奥菱形，/ DAB=6。PDL平面 ABCD PD=AQ 点 E 为AB中点，点F为PD中点。(1)证明平面PEDL平面PAB(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：(1) .面ABC匿菱形，/ DAB=6。.ABD等边三角形，又E是AB中点，连结BD. / EDB=30, / BDC=6b. / EDC=9。如图建立坐标系 D-ECP设AD=AB=1贝U PF=FD=1 , ED=3 ,. P (0, 0, 1),
10、E (置，0, 0), B (号 1, 0) 222uurr , 31uur 、3 PB= (-1)，PE=(3, 0，1)，uuir平面PED的一个法向量为DC = （0,1,0)，设平面PAB的法向量为 n= (x, y, 1)rnrnuuuPB uuu PE3 1(x,y,1)?(, , 1)2 2,3 (x,y,1)?(,0, 1)23x23x212y 123,0, 1)uuur DCr I- uuur n=0 即 DC，r 一一 一一n 平面PEDL平面PAB解:由（1）知：平面PAB的法向量为(3, 0,1),设平面一，一,rFAB的法向量为n尸（x, y, -1）由（1）知:一，
11、1 、F (0, 0,；)uurFB =2）urFE0,r n1 r n1uuu FB uuu FE(x, y,(x, y,3 1 1)?(,-,2 2、.31)?( ,0,21)12)3x2.3x212y1 02rm=(-n ?n1n ? n15-714,0, -1)P-AB-F的平面角的余弦值cos 0r=|cos|例3:在棱长为4的正方体ABCD-aiCD中，O是正方形ABGD的中直线APW平面BCCB所成的角0的正弦值uuusin 0 = |cos| =164 3333心，点放棱CC上，且CC=4CP.(I)求直线APW平面BCCB所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(H )设0
12、电在平面DA吐的射影是H,求证：DHLAP;(田)求点网平面ABD勺距离.解：(I)如图建立坐标系D-ACD丁棱长为4.A (4, 0, 0), B (4, 4, 0), P (0, 4, 1)uuu小 uuurap = (-4, 4, 1),显然 DC = (0, 4, 0)为平面BCCB的一个法向量e为锐角，直线A由平面bce所成的角e为arcsin鸳r(HI)设平面ABD的法向量为n=(x, y, 1),uuuuuum; AB= (0, 4, 0), ADi = (-4 , 0, 4)r uuuu ,n AD1得y 04x 4rn二(1,0, 1)，点PiU平面ABD勺距离d =uur
13、rAP?nin3.22例4:在长、宽、高分别为 2, 2, 3的长方体ABCD-A1C1D中，O是底面中心，求AO与BC的距离解：如图,建立坐标系D-ACD,则 O (1,1,(2, 2, 3),uuur二 AO ( 1,1,C(0, 2, 0)uuur3)B1C( 2,0,3)一 . . r设AO与BC的公共法向量为n(x,y,i),r uuur n AO r uuur n B1C(x,y,1)?( 1,1, 3) 0(x, y,1)?( 2,0, 3) 0x2x AiO与BC的距离为uuur rd =|ABr?n|n|0,2,0 ?3,3,12 2 2233I 1V223113,2211例
14、5:在棱长为1的正方体ABCD-A1CD 中,的中点，求A到面BDFES勺距离。解:如图，建立坐标系 D-ACD,则B (1,1,1)uuiruur二 BD ( 1, 1,0) BE1( ?0J)uurA1Br设面BDFE勺法向量为n(x,y,1),rnrnuuin BD uuu BE(x, y,1)?(x, y,1)?(1, 1,0)1,0,1)2x1x2(2, 2,1) A1到面BDFE勺距离为uuur r=JAB?n|n|uunnAB1(0,2,0)E、F分别是BC、CD1, 0), A(1, 0, 1),(0,1, 1)降10,1,21 ? 2,2,122 13Ci五、课后练习：1、如
15、图，已知正四棱柱 ABCD-ABCD, AB=1,AAi=2，点E为CC中点,点F为BD中点.（1） 证明EF为BD与CC的公垂线；（2）求点D到面BDE勺距离.2、已知正方形ABCD边长为1,过D作PDL平面ABCD且PD=1E、F分别是AB和BC的中点，（1）求D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离A3、在长方体 ABCD-ABCQ 中，AB=4 BC=3 CC=2 （如图）(1)求证：平面 ABC平面ACQ(2)求(1)中两个平行平面间的距离;(3)求点Bi到平面ABC的距离。4、如图，四棱锥 S-ABCM , SD 底面 ABCDABDC, AD DG AB=AD=1DC=SD=2 E为棱SB上的一点，平面 EDC平面SBC .(I )证明：SE=2EB(H)求二面角A-DE-C的大小.