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1、2011届高考数学百题精炼系列7 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。2已知复数，则它的共轭复数等于（ ）ABCD【答案】B.【分析】根据复数代数形式的四则运算法则求出复数，再根据共轭复数的概念求其共轭复数。【解析】，故其共轭复数是。【考点】数系的扩充与复数的引入。【点评】复数的考查重点就是复数的有关概念、代数形式的四则运算以及简单的几何意义。本题中计算要注意虚数单位的性质。3右面框图表示的程序所输出的结果是（ ）AB CD【答案】A【分析】逐次按照程序进行计算。【解析】第一次计算是，第二次计算是，再进行第三次计算，结果是，结
2、束循环。【考点】算法。【点评】这类计算输出结果的试题，只要按照程序进行计算即可，但要注意输入的初始值和循环结论的判断条件。5已知数列满足，则的值是（ ）A-5BCD【答案】A.【分析】根据数列满足足且可以确定数列是公比等于的等比数列，在根据等比数列的通项公式即可把通过求出的值。【解析】由，得，所以数列是公比等于的等比数列，所以。【考点】数列。【点评】等比数列中有关系式，其中为公比，这个关系式可以看作推广的等比数列的通项公式，即，当时就是等比数列的通项公式。7已知和点满足，若存在实使得成立，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据三角形中向量的关系可以推证点为的重心，根据向量加法的几何意义即可。【
3、解析】取中点，则，再由，得，故点为的重心，取的中点，则，故。【考点】平面向量。【点评】在三角形中的平面向量问题，三角形的重心是经常出现在试题中，点是的重心的充要条件是。8若，用的最大值是，则的值是（ ）ABCD【答案】A.【分析】前两个不等式组成的不等式组表示的是含有轴正半轴的区域，因此，否则区域不存在，目标函数的斜率是负值，故是在第一象限的交点处取得最大值。【解析】区域在第一象限的顶点坐标是，故目标函数的最大值是，解得。【考点】不等式。【点评】在含有参数的不等式组中，要通过分析其中不含参数的不等式组所表示的平面区域，确定参数的大致取值范围，在根据问题的其它已知条件求出参数或者参数的取值范围。
4、9直线相交于，两点，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A.【分析】根据圆截直线所得的弦长公式，把弦长的不等式转化为圆心到直线的距离的不等式。【解析】圆的半径是，设圆心到直线的距离为，则，则，故，即，即，解得。【考点】圆与方程。【点评】圆截直线所得线段的长度是，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离。当然也可以根据一般的直线被曲线所截得的线段的长度公式进行计算。10已知长方体，对角线与平面相交于点，则是的（ ）A垂心B外心C内心D重心【答案】D。【分析】探究点是中什么线的交点。【解析】如图，平面与平面的交线为，显然点是的中点，且点在上，故点在的中线上，同理可得点在的中线上，即点是三边中线的交点
5、，即为的重心。【考点】空间点、线、面位置关系。【点评】本题考查的是平面的基本性质和点、线、面之间的从属关系，属于最基本的立体几何证明题。11已知曲线，点及点，从点观察点，要使实现不被曲线挡住，则实数的取值范围是（ ）ABC D【答案】D.【解析】函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线对称，直线与直线垂直，故直线与直线的交点即是的中点，所以，所以，但这里，故所求的取值范围是。【考点】基本初等函数、不等式。【点评】本题综合函数零点、反函数、基本不等式命制。是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题。本题中解题的关
6、键通过把函数的零点转化为函数图象交点的横坐标，根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系。第卷（90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 。【答案】。【分析】切线的斜率即为，点的纵坐标即为。【解析】点的纵坐标是，点也在曲线上，故，根据导数的几何意义【点评】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用。在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后在解决问题。15设连接双曲线与的个顶点的四边形面积为，连接其个焦点的四边形面积为，则的最大值为 。【答案】。【分析】根据对称性，两个四边形的
7、面积都可以分为四个全等的直角三角形的面积，两个面积的比值用表示出来，再根据基本不等式求最大值。【解析】设双曲线的右顶点为，其坐标是，由焦点为，坐标为；设双曲线上顶点为，坐标为，上焦点为,坐标为。为坐标原点。则，所以。【考点】圆锥曲线与方程、不等式。【点评】本题考查双曲线的简单几何性质和使用基本不等式求二元函数的最值。16直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：；，其中是一阶格点函数的有 。【答案】。【分析】根据各个函数的定义域和值域逐个进行判断。【解析】显然点在函数的图象上，而且函数只有最高点和最低点以及图象与轴的交点处，但
8、这些点的横坐标都不是整点，函数是一阶格点函数；函数图象上点为整点，当取的整数时，函数值都不是整数，故函数是一阶格点函数；函数中，当取负整数或者零时，都是整点，故函数不是一阶格点函数；函数，显然点为其格点，当，都是整点，故函数不是一阶格点函数。【考点】基本初等函数。【点评】本题以新定义的形式命制，考查的重点是函数的图象与性质。三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分。请将证明过程或演算步骤答在指定的答题框内，超过答题框内的答案无效 。17（本题满分12分）分别是角A、B、C的对边 ，向量 （1）求角B的大小； （2）若的值。【分析】（1）根据得关于角的三角函数的方程，解方程即可求出角；
9、（2）求出角后，根据余弦定理可得一个关于的一元二次方程，解这个方程求解值。【解析】（1）由于，所以，所以，即，即，解得。由于，所以或者。 （6分）（2）.由余弦定理得，得，即，解得或者。 （12分）【考点】解三角形。【点评】本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形。方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素。【考点】数列。【点评】本题考查简单的递推数列。高考对递推数列的考查难度在不断地下降，如果考查简单的递推数列，往往有一个试题的入口，如本题中先证明数列是等比数列，然后在
10、这个基础上求解递推数列的通项公式。19（本题满分12分）如图，正三棱柱中，是的中点， （1）求证：； （2）求证：/平面； （3）求点到平面的距离。【分析】（1）证明平面；（2）证明；（3）等体积法。【解析】（1）是正三棱锥，平面,在正中，是的中点，.，平面,. （4分）（2）连结。，四边形是正方向，是的中点，又是的中点，平面,平面，/平面。 （8分）（3），所以，解得。（12分）【考点】立体几何初步。【点评】本题考查空间垂直关系、平行关系的证明，根据三棱锥的体积求点到平面的距离，这是文科立体几何试题的一般考查方式。20（本题满分12分）已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足
11、（1）求椭圆的方程； （2）椭圆上任一动点关于直线的对称点为，求的取值范围。【分析】（1）待定系数；（2）根据对称性把求解结果用表达。【解析】（1）由已知，点在椭圆上，所以。 又，所以点是的中点，点在轴上，故，所以，所以。 由解得。所以所求的椭圆方程为。 （6分）（2）因为关于直线的对称点为，所以解得所以。由点在椭圆上，故，所以，所以的取值范围是。（12分）【考点】圆锥曲线与方程。【点评】本题第一问考查使用待定系数法求椭圆方程，这是一般解析几何解答题的第一步，第二问考查点关于直线的对称以及求范围，是对学生能力的考查。点关于直线的对称，就是两点的连线与对称轴垂直、两点的中点在对称轴上。21（本题
12、满分12分）已知函数 （1）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围； （2）当时，对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直。【分析】（1）只要具体求出函数的极值点，让两个极值点在区间即可；（2）把参数分离出来，转化为求函数的最值；（3）把用表示，在假设垂直的条件下即可得到的关系式，根据不等式只要证明，即可根据反证法原理得到所证明的结论。所以的取值范围是。 （8分）（3）假设，即，即，故，即。由于是方程的两个根，故。代入上式得。，即，与矛盾，所以直线与直线不可能垂直。【考点】导数及其应用。【点评】本题综合考查导数研
13、究函数极值、单调性、最值等，考查反证法思想在解题中的应用。本题的难点是第三问，其关键是在等式中，通过配项可以使用韦达定理消掉得到关于的等式，本题这个地方的技巧是极高的。四、考生注意：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做题时，在答题纸上把选题目对应的题号写在括号中。22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，已知AP是的切线，P为切点，AC是的割线，与交于B，C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点。 （1）求证：A、P、O、M四点共圆； （2）求的大小。【分析】（1）只要证明四边形的对角互补即可；（2）使用等量代换。【解析】（1）连结因为与相
14、切于点，所以因为是的弦的中点，所以于是由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆（5分）（2）由（1）得四点共圆，所以由（1）得由圆心在的内部，可知所以（10分）【考点】几何证明选讲。【点评】本题为2007年海南宁夏卷试题。几何证明选讲的重点是圆的有关问题，其中四点共圆的问题尤为重要。23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为，若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为 圆心、4为半径。 （1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程； （2）试判定直线和圆C的位置关系。【分析】（1）根据直线参数方程意义可以写出直线的参数方程，画出草图根据直角三角形的三角函数即可建立圆上的点的极径与极角之间的关系；（2）化直线的参数方程为普通方程，求圆心到直线的距离。【解析】（1）直线的参数方程是，为参数，圆的极坐标方程是。（5分）（2）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离。（10分）【考点】坐标系与参数方程。【点评】高考对坐标系与参数方程的考查偏重基础，在解题时可以把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程、把曲线的参数方程化为普通方程再解决问题。17用心 爱心 专心