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1、201 1 年环球城市数学竞赛初中组高级卷试题与解析精品资料International Mathematics ToHrnament of Towns璜球城市歌季兢智2011秋季簧高中相高级卷事国题必需祥翻窝下急明及理由，只篇答案不一定有分18 I.小耍在平面上至少保热了三黠，便省任附站之的亚举都互不相同*若褪 黏R出镜到其它的凿之距舞最展的玷是A；在站A出养到其它崎骷近距型最 拓的站是H，则稍砧A强而R是一对奇耨的黠料“希肘小啦A岁可以得出 奇林的站豹?(四分)【参考解法】我牝聘先举例验箫常建少槎显了三砧酹肌存在一酎哥特的黠好佳取再褥A B -刖取出一副低於以6舄制心4君岛平径的回声但不在以
2、W舄胤心、.4将举 挫的恻冉，刖熟出走优黠月出错距德最短的骷且粘且走遥环E出朝萩辞地长的 n接著我的耨输覆若存在另一封奇挎的舞料，剧曾丹到矛造考虑以下的梗 情况： 情汉1:若另一封守持的黠灯力、门+其中黠，门皆可粘MH相翼则砧。塞利玷C 出野距雌最细的需、於r是救贴力出登连雄最r的黠*而由站a足赛站/出盘 理雌泰显的就可如DAAB 旦占耕,1亳健黏R出铐足雕最艮的感可知/的避已 以及需D是在JB C出转距雄歙短的站可知BOCD ,最俺再由Jfe C是拢站D出 轮距船最艮的站可知CD4 3 it DADA 矛店* 情沆2 :若另一列手秣的离对曲H工孙中砧。因尉4、&皆相抵且粘匚是优砧占出黄 距鄢
3、最短的烹，悬打是於彩口出修距弹最展的鸡。而由玷是促骷卫出钱距都 最短的熟叶如CAAU，且由痔月是在期打出经韭辘或要的站可知AhUC 以及 由砧月是褪黠C出行距雄最息的砧可知flOCA 因此矛盾故如小皮最多可以得出1封奇特的站封*【评分擦华】(a)宣科最军一封，-7(b)如道封一封奇林的站封而言，其他粘必埴落在一翻新月形中，1(c)不可凿有出用-Gd南是冷料物，?(d)不可岖有(即b卜fb,G反出b,a)都是奇特的，-若评到ic)或Xd)的分数，M自勒将到伯)的余数2.已知Ov,G dlAtihcd = (l-a)(-h)(-cK-(i) * 箫耀明：( + /)+ c +1/) - (u +1
4、)(6 +I(四分)【全考罅法1由。尻/=-白甘1-匕)0-0-)可科；ti + b + c + d-(a + c)(b 4- J)s 1 + bd I = “ d) + W(l a r)=1 + qc)(! - d - Q +故可导+广一邛1 -R-d）之。, 此即a ah ad + rr/i M - I *4 + M 之0d + 6 +力+4）-以+切3 + 1）生1 【评分襦率】将僦覆明之驿式西式分解成n-R-（?）a-匕一刃wo，彳4 谨明6+d舆理十e一者大第I ,一者小於I，亍比幅斤+d典户。典1的大小Afi除, j以上不可累加.V在&1HC中黠口、F、F分加鸟找.粘H、日引出之高
5、的至 * ,粘户、Q 需黠产分别封d 的投影靖畿明直城尸0平分陵段八F典Er *（五分）【春考解法】今H舄垂心、M舄FO典国的交黠 .V A PE黑产。的文蓦，如圜所示1 由明意可如FPUHE FQIIAD， 版如上PFQ=ENn ； 由 C、O，HE/Jt 扶圈可加/ED=HCD* 由0。，*、尸四贴真图可知上尸仆干灯。， 故,/HE口 =上尸产p,即可推得/安了庄口。由门“、E四国拷回可加上E/FO/EOF， 由6、0、H、F四站巽胤打黜F斤六, B 故0 屏ZX?； 再因PQ!ED故如/FDB= EDO叩口 ,由此可推如QKf=DM-说再因N rQD=（V，故如上/Hp=，9W由 此可推
6、如 QM=FM即故和时再DF的中心即户。平分/*竺也必逋遇庄的中站【辞分梳期】 猊明 ml BE FQMAD，： 貌明 /HER = /FP0 | 筑明上小 惟和 QAf=）A/，! 貌明M爸DF的中站；4.是否存在一他凸遵形俺籽它的项超都在利物就p二炉上反它的菱长都相 等？雷片2011映；（三分）（b） t n-2012 FPf ?（四分）【参考解法】佃 存在一值凸2011燃用满足卷意口可令其此掂物麻的璃融在封牌M的一侧可隹蜒物曝上租4 +44出傀得置4二44=41HH4瞄二/，且在封帮轴的另一侧，可在抛物标上取片 区，居0W使簿4=8卢上=， = 6m/b =，*令冉睚=*可知，依育隋 著
7、，假现化而散建&窜足为小畤即如X ；而甯是为大碍*副如，债皆小於 /的常tt倍，即小於U地知匪存在一倒，彼使得，=，* （b）我的先维切以下的我何引短：/引理/在凸国透招网D中，若.4HUDH/H月ONECSIBY，町.40邛0，段明/作平行四专形 RCDE，期知/ 五月+ Z RCfA DSDoEmBC-8C &/w若J、8 。、0样抛物藤上的内置粘且甫尺AB=CD rt； ADBC -f能明/国气憎抛物燃舄凸曲版，故M瞽、CD的建爸诲音交於一黠L，即知ZA3C+ ZsaZ/1AD+ ZBCA）+（ Z AL Z C5A / AL*g。、 80& 故由引理知UZASC *况回到原来的超。令耳
8、尼后通皆得抱物糠上的骷或且满足今与二名名二二冬冬卑，即重建利用推的1005大隆可以得知4片|二 鸟鸟m 片处片cv ”故阮不存在一调凸2012遣招满足题意、13平分球隼】令/在（代0陵 作/、丹 F斯座在第一家限，及%、%、，*（在 第二求来，且石等接-2 停在为叫的畏度使得仁口必帅之修必，三 存在aoa的良度使得口TW内侬 白冏 由遵靖性知存在小硒的氏度使得，-,Mow=/% 1 伯） 貌明若有一热在UU）电曾得到矛眉，-7 说明瞽第一、二象品中的蛤It和晶1006他舍得到矛盾”： 静明将第一二耒翦中的黠我都不相同审得到矛盾，-7比上三熟都得覆，!5.若一低正魅戴的每位毂嚅郡不名。副我fl%
9、此鞋焉一隹1好it *苦一倡好救 的鼓碉由左至右跟梅选塘灯耦比教同一倜奇黑tt4晚给定一偏转数，每 火葬作可以在比It的此骑之左侧，古恻或中海人或移除一阳至少有/位数 的奇耳戴至揩任料一他好数理遗有限次上述操作建成任总另一回好 数的最大之值是什磨？ （七分）【冬考解法】国日晤只有唯一的一他奇具数12345s7X9 我为装抬型湖人或移除 部蜉 鬲法改暧境细敦因此现考虑K 我仍可以遭遢一次停人或移除一国毂鹤杂斡 换任何一闾好It轧另一的好於如曷可以利用以下所述之方式来添加教碉刖 可利用此方式的逆操作案移除氯您：少添加敦稿或y在原敷的任何一烟住置：埴入 123456789 接移除 2M56789 或
10、 1234567g *f缈淞刎鼓得2崔原堂的任何一便位，：填入23452的微利用（A所述的方法在1典 打品嘏加戴碣I 接著移除134567K9f。添加曲4K在摩*;的任何一他位置；博入254567&接利用（A）所述的方法在7限端添加戴遇中韭卷移除1234567处DJ端加超鼻3在朦量的隹何一施也，：呼入234567网接利用IB）所述的方法移除2，利用利用（A） T因所述的方法在3 典办加勤晴1加2，攫著移除124567H? *任承加能码7在媒!t的任何一便做箕：填入12M5A7R捶利用C）所述的方法移给$ -利用4C） （A厮述的方法在6典7冏添加裁喝g和9 接著移除1254568，年加戴璃0在
11、原戴的衽何一值也要：博人”456789推利用IB、3所述的方法稗除2和3，利修A），（田（口）所述 的方法在4典5 FH添加it码1 - 2痂，7接着移除123567*9*fG海加敦璃6在原款的任何一值板置：填人】23空67&维利用（E） TC所逋的方法移除7和S-科用（E）（C t A）所述的 方*在5省6局本加觐码7、8和9,接著移除12345789，“添加效码5在原版的任何一做位置：填入2乂567的筏利用、（D八（F）所述的方狭移除2、3如3，科冏（A）、（H卜 （DL （F所操的方法在5典的黑添加数漏I、”3和4 接著移除123467啊，或 考也可填入12345678援利用（G）、（E
12、）* （。所述的方法移除6、7和8，利用（C、 田）7。、。）所逑的方法在4典5即添加敦喝6*7、区和9,持著移除1U467 g9。【评分描隼】做出A=4，1世出I，y做出k=6，7做出R=H * y以上军可算加。6,卦於稣看1 瞪明+3、5” + 7）+（2”-炉1之值可以检并整 除，怛是不可以被22修除Y七分）【参考解法】与清济先用明二帼引理:/引观胃科任何一儡正奇II* *皆有/三1仙加2田）士/浸明，可知4-4=依IX#+1）（r+1）（/+】）一（/+D 比舄#+1他偶数的乘稀；再因4+1AUT中恰界必可被4所整除，及可得砧擒a/引理？/封拾任何一假正整数”3 2，皆宥（2+广-*2
13、*+lXmod2N） 立/w若将（7+jiy展盟，则知除了。*1丁,冉小外，每一项都可被2日所整除 故可 海法编*观令邑鸟相日所述之和狎於任何一朔正整IVQ?，将封川科嵋数孚骅娴法来 第明S”之信可以技y超除，也是不可以站2M替命可知民=+3 = 2区可彼2 F.整律但无不可以被丁整除接著利用推编1典推玲？，可得- Z或工+ a -】产筋三(2 + 方-1严00(122)I三-一广|，2 + 1)加温？*)T=(，+】)故有冬川=2毛仁1 由蚊芈蛤辆法的假武打如 H之范可以梗r整除 也是 不可以被21整除故可拼得S3之债可以被2“野除但是不可以枝2整除* 【辞分提奉】 如道拉能明封任意哥政厂
14、有产厂口l(mod?，- 初道是段明封任恿奇教/，有-l(mod2t+,) !以上二.黠不可累加-搔明(2-十* ”*卢 + )=Ni + Qi -I产*imM 2上力_7澄明11+于+值一1T=(*| + 1+ QI + 3产,+ + qj +(?II7箍明r+ 3+十2*7-1产7+1/+1 +(2 + -+(2*-1 + (2*-1 -27瞪明国(2川 +1t*1 + Q*t +犷+(“ -l)jt4*jt4l(mod2*1)37以上r?黠不可累加*工 隹一闾超色的黑周上有】加佃虹郎 造些打就把周用分割舄100段弧使徉 琏100段抵之弧晨恰好为I 2 3100单位戊某捶喟序排列。精罐阴，
15、必定存在雨俵互相垂直的诔且它也的端黠琴是红独*(九分)【学考押法】先呈明以下的髭何引理:用图令、。、相典可有同一烟圄上依序的内偶拈匕若孤0狙弧凡、可阻成一韩华圄射尸火舆。5舄互相理直的汨弦，一_ 八令口内回心推埼手法来瞬罐*【坪分择率】 知道有刖林诙晨相枷笈鹿玛2525g垂直 y知道有雨技露片将加或相淹艮度舄2525即空直一上7刖由巳如的保件可译/户口中/用79用伊* /，/ 以 dPSQJYRPS三;tWFOQt ROm=90Q，因此网里.%、0s料互相垂直的两弦弋一、 卜巳知周的鲍区舄5050 我何只涸注雨信结站都是红站的瓠口若一段瓠的内部 都浅有舐魅，划制之舟革孤。至少包含再低相解的单弧
16、口转掳长度小转2525的 孤划网之热合成效，射於每一他打心，找出以P为其中一出娥目且长度羲 量的合成孤口里有雨梗情猊需考虑：情况；若有一些尸毙所乩出最艮的合成孤苗二何方向相反的孤则比台成弧的国度必 禹都由2525#，* + 0t50，拷 D ,即因半圆含直属，任意找合成蛇内都 一站奥蛆的雨端站相速，此即互相垂直的雨弦。琼，机息度焉的里如 必定在瞪二他外或瓠其中一做之内力争艮度葡的弧玛处弧*艮不包含越 瓠的合成孤嘉尸。瓠，算中产0、焉依卑的四佃黠口逆接产需舆。5 可浮 尸正舆05篇互相垂直的雨弦-情混2 若每一假小黠前更出的合成曲到是唯一的，则至少可盘逐出5口佃还爆的蚯-还 是因由每一佃最大愁都
17、有二佃端商，而每一倜造掾的孤的畏度是少福2476但少 於2525共有49忸可能值，由鹤邕原理可加至少有二如有相同的艮鱼”25-*， 其中IMAW49。若其中一佃孤不包含晨度篇上的单瓠 O 即可利用典情沆1相同 的推特手法加餐松口现假战迂二儡孤并包含法匚，即只有其中一胭以弧C飞砧 束嘴犯而另一曲以效玛flfl始娓砧的这一粳状况货强生（若不熟，期此合成眠可 以再延伸，而不是最长的合成弧广 北碍在道二他加中同峙移除如，即可得到 二信1应有交集H气度都聂2525缁的含咸瓠,且注意到252人与弼网此可知一 定有其中一他合成如不包叁良暧得找的章张，此环便可再利用出情况I相同峋仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢-7 -