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1、第十二章 数项级数证明题1 证明下列级数的收敛性,并求其和:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .2. 证明:若级数发散,则也发散(c0).3. 证明:若数列an收敛于a,则级数.4 证明: 若数列bn有,则(1)级数发散;(2)当bn0时,级数5. 证明级数收敛的充要条件是:任给正数,有某自然数N,对一切nN总有|uN+un+1+un|N0,有7. 设正项级数收敛,证明级数也收敛;试问反之是否成立?8. 设an0,且数列nan有界，证明级数收敛.9. 设正项级数收敛,证明级数也收敛.10. 证明下列极限:(1) ;(2) .11. 设an为递减正项数列,证明:级数与同时收敛或同时
2、发散.12. 设an0, bn0, Cn=bnbn+1,证明:(1) 若存在某自然数N0及常数K,当nN0时,有Cnk0,则级数收敛;(2) 若nN0时有Cn0,且,则级数发散.13. 设级数收敛,证明级数也收敛.14. 设an0,证明数列(1+a1)(1+a2)(1+an)与级数同时收敛或同时发散.15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:(1) ;(2) ;(3) .16. 设an0,anan+1(n=1,2,)且an=0,证明级数是收敛的.17. 设,证明:若条件收敛,则级数与都是发散的.二、计算题1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)a+r+ar2+arn+(a0)
3、的敛散性.2. 设级数与都发散,试问一定发散吗?又若un与vn(n=1,2,)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:(1);(2) ;(3) .4. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性:(1) ; (2) ;(3) ; (4) .5. 应用比较原则判别下列级数的敛散性.(1) ; (2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) ;(8) .6. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1) ; (2) ;(3) ;(4) .7. 判别下列级数的敛散性:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) .8. 求下列极限(其中P1):(1) ;(2) .9. 下列级数哪些
4、是绝对收敛,条件收敛或发散的:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) ;(8) ;(9) ;(10) .10. 写出下列级数的乘积:(1) ;(2) 三、考研复习题1. 证明:若正项级数收敛,且数列un单调,则.2. 若级数与都收敛,且成立不等式anbnCn (n=1,2,)证明级数也收敛.若级数,都发散,试问一定发散吗?3. 若,且级数收敛,证明级数也收敛.若上述条件中只知道收敛,能推得收敛吗?4. (1) 设为正项级数,且0)的敛散性.8. 设an0,证明级数是收敛的.9. 证明:若级数与收敛,则级数和也收敛,且10. 证明:(1)设为正项级数,若则正项级数收敛,(2)若级数发散,且,则正项级数发散.