线代习题一二三答案.doc

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1、习题一1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）级排列 。解：（1） ； （2） 。2.选择和，使得： 1）1274569成奇排列； 2）1254897为偶排列。解：（1）令，则排列的逆序数为：，排列为奇排列。从而。 （2）令，则排列的逆序数为：，排列为奇排列。与题意不符，从而。3.由定义计算行列式 。解：行列式，因为至少有一个大于3，所以中至少有一数为0，从而（任意），于是 。4.计算行列式：1）； 2）； 3）；4）；5）。解：（1） 40 ； （2） 16 ；（3） 0 ；（4）1008 ；（5） 0 。5.计算阶行列式： 1）； 2）； 3）（）； 4） 。解：

2、（1）原式=（按第一列展开） = 。（2）行列式=（后列和加到第一列，再按第一列展开） = = 。（3）行列式=（第一行第一列为添加的部分，注意此时为级行列式） = 。（4）行列式=（按第二行展开） 。提高题1.已知级排列的逆序数为，求排列的逆序数。解：设原排列中1前面比1大的数的个数为，则1后面比1大的数的个数为，于是新排列中1前比1大的个数为个；依此类推，原排列中数前面比大的数的个数为，则新排列中前比大的个数为个记，故新排列的逆序数为。2.由行列式定义计算 中与的系数，并说明理由。解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的个元素的乘积。而该行列式中每个元素最高含的一次项，因此的项

3、只能由对角线上的元素乘积所得到，故的系数为2。同样的考虑可得的系数为1。3.设 ，其中互不相同。 1）说明是一个次多项式； 2）求的根。解：1) 把按第一行展开得：。而 ，所以是一个次多项式。根据范德蒙行列式2) 因为 （）代入中有两行元素相同，所以行列式为零，从而的根为 。习题二解答1. 计算1） ；2）已知；求 、。解：1） ； 2） ； ； 。2. 设 1），求 。 2），求 。解：1） ；2） 。3. 设是阶实方阵，且。证明。证明：设 ，则 。从而。 。所以 。因为为实数，故 （）。即 。4 .设，互不相同。证明与可交换的矩阵只能为对角矩阵。证明：设与可交换的矩阵为，由得： 。即 （）

4、。由于互不相同，所以时，。故 。即为对角矩阵。5. 证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。证明：设为方阵，记，则可知为对称矩阵，为反对称矩阵。且。6. 设，定义，其中是阶方阵。已知，计算。解： 。7. 已知方阵满足。证明及可逆，并求它们的逆矩阵。证明：由，可得：。所以可逆，且。同理由，可得：。所以可逆，且。8. 求下列矩阵的逆阵：1） ；2） ；3） ；4） ；5） 。解：1） ；2） ；3） ；4） ；5） 。9. 已知 ，且，求。解：由，可得。又，所以 。10. 设是阶方阵，如果对任意矩阵均有。证明。证明：记，取，由，可得 （） 。同理可得（） 。从而 。11. 已知4阶方阵的行

5、列式，求。解：因为 ，两边取行列式有 。所以 。12. 设，分别为，阶可逆方阵，证明分块矩阵可逆，并求逆。证明：因为 ，可逆，所以 ，。故 ，从而可逆。记是的逆，则，于是 ，解得。故矩阵的逆为。13. 设，其中，存在，求。解：因为 ，所以的逆为 。14. 求下列矩阵的秩： 1） ；2） ； 3） 。解：1） 2 。2） 4 。3）当时，秩为1；当有某两个相等时，秩为2；当互不相等时，秩为3 。提高题1. 秩为的矩阵可表示为个秩为1的矩阵之和。证明：设矩阵的秩，由推论结果可知：存在可逆矩阵和使得，即 ，其中（）表示第行列元素为1、其余元素为0的阶方阵。记（），则的秩为1，且。2. 设矩阵的秩为1

6、，证明：1）可表示成；2） (是一个数)。证明：1）因为的秩为1，所以存在某元素。记的第行元素为，则的任一行向量可由第行线性表示（否则与行向量线性无关，与的秩为1矛盾）。记依次为第1行、第行的表示系数，则有 。2）由1），所以 （其中） 。3. 设是阶方阵，是矩阵，证明： 1）的第个元素等于的第行元素之和； 2）如果可逆，且的每一行元素之和等于常数，则的每一行元素之和也相等。证明：1）记，则。 2）若的每一行元素之和等于常数，由1） ，由于可逆，所以。从而，即的每一行元素之和等于常数 。4. 证明： 1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵； 2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三

7、角矩阵。证明：1）记，为上三角矩阵， 。则时， ，。对任意，当时，当时，即任意，。从而时，。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。 2）对可逆的上三角矩阵，（），对于 ，先进行第二类初等行变换（），再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。5. 已知实三阶方阵满足：1）；2） 。求 。解：因为，所以。由于，从而有。于是或。 若，则，由于为实三阶方阵，由习题3可得。此与矛盾。从而。6. 设，其中是非零矩阵。证明：1）的充分必要条件是；2）当时，是不可逆矩阵。证明：1）若，即有。又是非零矩阵，所以是非零矩阵，从而，

8、即。以上每步可逆，故命题成立。 2）当时，由1），。若可逆，则可得，矛盾。故是不可逆矩阵。7. 设，分别是、矩阵，证明： 。证明：因为，所以；又，所以。从而命题成立。8. ，如上题，。证明： 。证明：由于，可得，所以；又，故。从而。习题三1. 解下列线性方程组：1） ；2） ；3） 。解：1）解为： ； 2）解为： （为自由未知数）； 3）无解 。2. 讨论，取什么值时，下列方程组有解。1） ；2） 。解：1）由于系数行列式，所以当时，由克莱姆法则可知方程组有解。当时，增广矩阵为，方程组无解；当时，增广矩阵为，方程组无解。2）由于系数行列式，所以当且时，由克莱姆法则可知方程组有解。当时，增广矩

9、阵为，方程组无解。当时，增广矩阵为。故当时方程组有解，当时方程组无解。3. 证明方程组 有解的充分必要条件是。证明：方程组的增广矩阵为：，系数矩阵的秩为4。故方程组有解的充分必要条件是。4. 判断下列方程组解的存在性：1） ； 2） 。解：1）方程组的增广矩阵为：。当不等于，中任一数时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组无解；当等于，中某一数时，方程组有解。 2）方程组的增广矩阵为：。当，互不相同时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为3，方程组有唯一解；当，有某两个相等时，或，全相等时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩分别为1或2，方程组有无穷个解。5设有齐次线性方程组 ，。讨论方程组何时仅有零解

10、？何时有无穷多解？解：方程组系数矩阵的行列式 。当时，即时，方程组仅有零解；当时，方程组有无穷多解。提高题1. 证明：线性方程组 有解的充分必要条件是 的解全是 的解。证明：1）若方程组有解，设是方程组的解。则 ，从而 。 2）若 的解全是 的解，即 与 同解，所以矩阵与矩阵的秩相等。而它们的转置即为方程组的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩阵与原矩阵的秩相等，所以方程组有解。2. 已知平面上三条不同直线的方程分别为：， ：， ：。证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为 。证明：1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2，故增广矩阵的秩也必须为2。即行列式，故。2）若，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。又，所以系数矩阵的秩为2。从而方程组有唯一解。3已知方程组 （I） 与 （II） 。问方程组（II）中的参数为何值时，方程组（I）与（II）同解。解：因为方程组（I）与（II）同解，则方程组（I）与（I）、（II）联立的方程组同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为。所以， 。4给定齐次线性方程组 ，其中的行列式，且存在一，若 是方程组的任一非零解，证明： 。证明：由于，且存在一，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为，基础解系中仅含一个非零解。又是齐次方程组的一个非零解，所以。