2019年中考数学专题复习第二十一讲矩形-菱形-正方形(含详细参考答案).docx

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1、2019年中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、 矩形：1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：矩形的四个角都矩形的对角线3、矩形的判定：用定义判定有三个角是直角的 是矩形对角线相等的 是矩形【名师提醒：1、矩形是 对称图形，对称中心是 ,矩形又 是 对称图形，对称轴有 条2、矩形被它的对角线分成四个全等 的 三角形和两对全等的 三角形 3、矩形中常见题目是对角线 相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】 二、菱形：1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：菱形的四条边都 菱形的对角线 且每条对角线3

2、、菱形的判定：用定义判定对角线互相垂直的 是菱形四条边都相等的 是菱形【名师提醒：1、菱形既是 对称图形，也是 对称图形，它有 条 对称轴，分别是 2、菱形被对角线分成四个全等的 三角 形和两对全等的 三角形 3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式 计算，也可以用两对角线积的 来计算 4、菱形常见题目是内角为1200 或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】、正方形:1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形2、性质：正方形四个角都 都是 角，正方形四边条都正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一 组内角3、判定：先证是矩形，再证 先证是菱形，冉证

3、【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对 称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、三个方 面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：矩形的性质例1（2018杭州）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设/PAD=O 1,/PBA=8 2,/PCB=0 3,/PDC=0 4,若/APB=80 , / CPD=50，则（）A. （ 0i+ 华）-（但+ 电）=300B.（色+例）-（0i+8） =40C. （ 8+色）-（+例）=70D. （

4、 01+色）+ （ fe+ 94）=180【思路分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得/ABC=0 2+80-削,/ BCD= 3+130-儿 再根据矩形 ABCD中，/ ABC+/ BCD=180 ,即可得到（8+的-（位+8） =30.【解答】解：如图，v AD / BC, / APB=80 ,丁. / CBP=ZAPB-Z DAP=80 - Oi, ./ABC=0 2+80 -凯又. CDP 中，/ DCP=180-/CPD-/CDP=130 -乱 ./ BCD= 3+130 -伊，又.矩形 ABCD 中，/ ABC+Z BCD=180 , 二 Q+80 - e+fe+130 -

5、 =180,即（0i+例）-（色+8） =30,故选：A.【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角.考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2（2018雅安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是（）B. 24D. 48A. 20C. 40【思路分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长.【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=1AC=3, BO=BD=4,且AOLBO,22贝U AB，AO2 BO2 5 ,故这个菱形的周长L=4AB=20 .故选：A

6、.【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用， 考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般.考点三：和正方形有关的证明题例3 (20180匕京)如图，在正方形 ABCD中，E是边AB上的一动点(不与 点A、B重合)，连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交 BC于点G,连接DG,过点E作EHXDE交DG的延长线于点H,连接BH .(1)求证：GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.EB【思路分析】（1）如图1,连接DF,根据对称得：AADEAFDE,再由HL 证明RtADFGRtADCG,可得

7、结论；（2）证法一：如图2,作辅助线，构建AM=AE ,先证明/ EDG=45，得DE=EH , 证明ADMEW/XEBH, WJ EM=BH ,根据等腰直角 AAEM 得：EM=”AE,得结 论；证法二：如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明DAEzXENH,得AE=HN, AD=EN ,再说明ABNH是等腰直角三角形，可得结论.【解答】证明：（1）如图1,连接DF,A R图1四边形ABCD是正方形，DA=DC , / A=/C=90 ,二.点A关于直线DE的对称点为F,.ADEAFDE,DA=DF=DC , / DFE=ZA=90 ,丁. / DFG=90 ,在 RtADFG 和 RtAD

8、CG 中，.DF=DC. DG= DG . RtADFGRtGCG (HL), .GF=GC;(2) bh=5ae,理由是：证法一：如图2,在线段AD上截取AM ,使AM=AE ,cAD=AB , 图2 .DM=BE,由（1）知：/ 1 = /2, / 3=/4,/ADC=90 ,. / 1 + Z2+Z3+Z4=90, .2/2+2/3=90,. /2+/3=45,即 / EDG=45 ,v EHXDE, ./DEH=90 , GEH是等腰直角三角形， /AED+/BEH=/AED+/1=90, DE=EH , ./ 1 = /BEH,在 GME ffiAEBH 中，DM =BE1= BEH

9、 , DE=EH.DMEAEBH,EM=BH ,RtAAEM 中，/ A=90 , AM=AE , EM=AE, .BH=AE;证法二：如图3,过点H作HNLAB于N,图$ ./ ENH=90 ,由方法一可知：DE=EH, /1 = /NEH,在 GAE ffiAENH 中，A= ENH1= NEH , DE=EH.DAEAENH, . AE=HN , AD=EN ,vAD=AB , .AB=EN=AE+BE=BE+BN , AE=BN=HN , .BNH是等腰直角三角形，BH=/2hN=T2AE.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理， 对称的 性质，等腰直角三角形的

10、性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到 相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键.【备考真题过关】一、选择题1. （2018班堰）菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线一定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形2. （2018?合尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, BD=8,tan/ ABD= 3,则线段AB的长为（）4A.6B, 2币D. 103. （2018伏连）如图，菱形ABCD中，对角线AC , BD相交于点O,若AB=5,AC=6 ,则BD的长是（）D. 3A. 8B. 74. （2018福阳）如图，在菱形ABCD中

11、，E是AC的中点，EF/CB,交AB于A. 24点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为（）B. 18D. 9C. 125. （2018?义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF/ BC,分别交AB ,CD于E、F,连接PB、PD.若AE=2, PF=8.则图中阴影部分的面积为（CA. 10D. 18B. 12C. 166. （2018?吾州）如图，在正方形 ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（-1, 2）、（-1, 0）、（-3, 0）,将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点 D的坐标是（）C. (2, 0)A. （-6, 2）B. （0, 2）D. (2,

12、 2)C-3% 2 -17. （2018花昌）如图，正方形ABCD的边长为1,点E, F分别是对角线AC上的两点，EGAB . EUAD , FHXAB , FJXAD ,垂足分别为 G, I, H, J.则图中阴影部分的面积等于（）C.D.1A. 1B.-28. （2018琳日西州）下列说法中，正确个数有（）对顶角相等；两直线平行，同旁内角相等；对角线互相垂直的四边形为菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. （2018?长家界）下列说法中，正确的是（）A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等B.对角线相等的平行四边形是正方形C.相等的角是

13、对顶角D.角平分线上的点到角两边的距离相等10. （2018琳目潭）如图，已知点E、F、G. H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是（）A.正方形B.矩形C .菱形D.平行四边形11. （2018?临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形 ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法：若AC=BD,则四边形EFGH为矩形；若ACLBD,则四边形EFGH为菱形；若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 412. （2018秋西）如图，在菱形 ABCD中.点E、F、G

14、、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、CH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的A. AB= &EFB. AB=2EFC. AB= V3 EF二、填空题D. AB= /5EF13. （2018黔南州）已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为2J3 ,则这个 菱形的面积是.14. （2018砌州）如图，已知菱形ABCD,对角线AC, BD相交于点O.若tan / BAC= -, AC=6 ,则 BD 的长是315. （2018砌产岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2, 3）,则点C的坐标为.y 4 /C16. （2018联州）如图，若菱形ABCD的顶点A

15、, B的坐标分别为（3, 0）,（-2, 0），点D在y轴上，则点C的坐标是D17. （2018黑龙江）如图，在平行四边形 ABCD中，添加一个条件 使平行18. （2018株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O, AC=10, P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为.Q 门19. （2018批汉）以正方形ABCD的边AD作等边 3DE ,则/ BEC的度数是解答题20. (2018刎州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线 AC, BD相交于点O, 且 AB=2 .(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC=2,求BD的长.21. (2018襦城)在正方形ABCD中，对角线BD

16、所在的直线上有两点 E、F 满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.(1)求证：zABEA ADF;(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由.22. (2018链宁)如图，在？ABCD中，E, F分别是AD , BC上的点，且DE=BF, ACXEF.求证：四边形 AECF是菱形.BFC23. (2018都州)如图，在？ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为 O,分别交AD, BC于E, F,连接BE, DF .求证：四边形BFDE是菱形.24. (2018?长家界)在矩形 ABCD中，点E在BC上，AE=AD , DFXAE,垂 足为F.(1)求证.DF=AB;(

17、2)若 / FDC=30 ,且 AB=4，求 AD .25. (2018漆安)如图，AABC中，D是AB上一点，DELAC于点E, F是AD 的中点，FGLBC于点G,与DE交于点H,若FG=AF, AG平分/ CAB,连接 GE, GD.(1)求证：ECGAGHD;(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC .请你帮助小亮同学证明这一结论.(3)若/ B=30 ,判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.26. (2018处云港)如图，矩形 ABCD中，E是AD的中点，延长 CE, BA交 于点F,连接AC, DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分/BCD时，写出B

18、C与CD的数量关系，并说明理由.27. 如图，在矩形 ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE.(1)求证：zADEA BCE；(2)若 AB=6, AD=4,求 4DE 的周长.28. (2018枇阳)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C 作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若 CE=1, DE=2, ABCD 的面积是.29. (2018铢林)如图，在？ABCD中，DCAD ,四个角的平分线 AE, DE, BF, CF的交点分别是E, F,过点E, F分别作DC与AB间的垂线MM与NN, 在DC与AB上的垂

19、足分别是M , N与M , N,连接EF.(1)求证：四边形EFNM是矩形；(2)已知：AE=4, DE=3, DC=9,求 EF 的长.30. (2018竹银)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点 F, G, H 分别是BC, BE, CE的中点.(1)求证：zBGFA FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时，求矩形 ABCD的面积.B F C31. (2018曲目潭)如图，在正方形 ABCD中，AF=BE , AE与DF相交于点O.(1)求证：zDAFA ABE；(2)求/ AOD的度数.2019年中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形参考答案【备考真题过关】一、

20、选择题1 .【思路分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B.【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质， 属于中考基 础题.2 .【思路分析】 根据菱形的性质得出ACXBD, AO=CO, OB=OD ,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可.【解答】解：二四边形ABCD是菱形，ACXBD, AO=CO, OB=OD, ./AOB=90 ,v BD=8, .OB=4,AO3 tan ABD4 . AO=3,在RtzOB中，由勾股定理得： AB Ja。2 OB2 J32 42 5

21、, 故选：C.【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质 是解此题的关键.在 RtAAOB 中，/ AOB=90 ,OB即可;根据勾股定理，得：ob Jab2 oa2 ，5 32 4BD=2OB=8 ,【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是 解题的关键.4.【思路分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题 得解.【解答】解：:E是AC中点, . EF/ BC,交 AB 于点 F, . EF是9BC的中位线， .EF=1BC, 2BC=6,菱形ABCD的周长是46=24.【点评】本题考查的是三角形中位线的性质及菱

22、形的周长公式，题目比较简单.5 .【思路分析】想办法证明Sapeb=SaPFD解答即可.【解答】解：作PM XAD于M ,交BC于N .则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形，SZADC=SZABC , SZAMP=SZAEP, SAPBE=SZPBN , SaPFD=S/TDM , SAPFC=SAPCN,cc1SGFP=Sapbe= 2 8=8 ,2.S 阴=8+8=16,故选：C.【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明 S“EB=S“FD.6 .【思路分析】首先根据正方形的性质求出D点坐标，再将D点横坐标加上3, 纵坐标不变即

23、可.【解答】解：二.在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（-1,2）、（-1, 0）、（3 0）,-D （-3, 2）,将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0, 2）,故选：B.【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化-平移，是基础题，比较简 单.7.【思路分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：二四边形ABCD是正方形，直线AC是正方形ABCD的对称轴，V EGAB. EHAD , FHXAB , FJXAD,垂足分别为 G, I, H, J.根据对称性可知：四边形 EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，, S 阴S 正方形 ABCD ,

24、 故选：B.【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题， 属 于中考常考题型.8 .【思路分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质， 可得答案.【解答】解：对顶角相等，故正确；两直线平行，同旁内角互补，故错误；对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故错误；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故正确，故选：B.【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质， 熟记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键.9 .【思路分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、 角平分线性质逐个判断

25、即可.【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意； 故选：D.【点评】本题考查了平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、 角平分线性质等知识点，能熟记平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对 顶角的性质、角平分线性质的内容是解此题的关键.10 .【思路分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明;【解答】解：连接AC、BD. AC交FG于L.二

26、.四边形ABCD是菱形，ACXBD, .DH=HA, DG=GC, .GH/AC, HG=-AC, 2 同法可得：EF=1AC, EF/AC,2 .GH=EF, GH / EF, 一四边形EFGH是平行四边形， 同法可证：GF/ BD, ./OLF=/AOB=90 ,. AC / GH, ./ HGL=/OLF=90 , 一四边形EFGH是矩形. 故选：B.【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中 位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型.11 .【思路分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 BD=

27、AC 时，中点四边形是菱形，当对角线 ACXBD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ,且ACLBD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线 ACXBD时，中点四边形 是矩形，当对角线AC=BD,且ACLBD时，中点四边形是正方形， 故选项正确，故选：A.【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的 关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线 ACLBD时，中点四边形是矩形，当对角线 AC=BD, 且ACLBD时，中点四边形是正方

28、形.12 .【思路分析】连接AC、BD交于O,根据菱形的性质得到AC BD, OA=OC , OB=OD,根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即行.【解答】解：连接AC、BD交于O,H DK F C二.四边形ABCD是菱形，ACXBD, OA=OC, OB=OD,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,EF=- AC, EF/AC, EH=-BD, EH / BD , 22一四边形EFGH是矩形，v EH=2EF,OB=2OA,. ab= Job2 oa2 &a ,AB= 5 EF,故选：D.【点评】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质

29、、三角形中位线定理是解题 的关键.二、填空题13.【思路分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，冉根 据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积.【解答】解：依照题意画出图形，如图所示.在 RtAAOB 中，AB=2, OB=73, oa Jab2 ob2 1 ,AC=2OA=2 ,二 S 菱形 ABCD = AC?BD=1 22向=2石.22故答案为：2班.【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键.14.【思路分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分可得 ACXBD, OA=-AC=3, 2一一一-OB 1,一BD=2OB.再

30、解 RtzOAB ,根据 tan BAC,求出 OB=1,那么 BD=2 .OA 3【解答】解：:四边形ABCD是菱形，AC=6, . ACXBD, OA=；AC=3, BD=2OB .在 RtOAB 中，./ AOD=g0 ,OB 1tan BACOA 3OB=1BD=2.故答案为2.【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.15 .【思路分析】根据轴对称图形的性质即可解决问题；【解答】解：二四边形OABC是菱形，A、C关于直线OB对称，：A （2, 3）,C （2, -3）,故答案为（2, -3）.【点评】本题考查菱形的性质、

31、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌 握菱形的性质，利用菱形是轴对称图形解决问题.16 .【思路分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO的长，进而求出C点坐 标.【解答】解：如图，aDV 菱形ABCD的顶点A, B的坐标分别为（3, 0） , （-2, 0）,点D在y轴上, . AB=5, . AD=5,由勾股定理知：ODAD2 OA2 J52 32 4 ,点C的坐标是：（-5, 4）.故答案为：（-5, 4）.【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质， 得出DO的长是解 题关键.17 .【思路分析】根据菱形的判定方法即可判断.【解答】解：当AB=BC或ACLBD时，四边形

32、ABCD是菱形.故答案为AB=BC或ACLBD.【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是记住菱 形的判定方法.18 .【思路分析】根据矩形的性质可得 AC=BD=10, BO=DO=-BD=5,再根据三 2角形中位线定理可得PQ=-DO=2.5.2【解答】解：二四边形ABCD是矩形，AC=BD=10 bo=do=-bd2 .OD=-BD=5, 2 点P、Q是AO, AD的中点， PQ是小OD的中位线，一1 一 . PQ=-DO=2.5.2故答案为：2.5.【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形 对角线相等且互相平分.19.【思路分析】 分

33、等边9DE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.【解答】解：如图1,S 1二.四边形ABCD为正方形，AADE为等边三角形， . AB=BC=CD=AD=AE=DE , / BAD= / ABC= / BCD= / ADC=90 , / AED= /ADE=/DAE=60 , ./BAE=/CDE=150 ,又 AB=AE , DC=DE, ./AEB=/CED=15 ,贝叱 BEC=/AED-/AEB-/CED=30 .如图2,圉2.ADE是等边三角形， . AD=DE ,二.四边形ABCD是正方形， . AD=DC ,DE=DC, ./CED=/ECD,丁. / CDE= / ADC-

34、 / ADE=90 -60 =30, ./CED=/ECD=1 (180 -30) =75, 2/ BEC=360 -75 260 =150 .故答案为：30或150.等腰三角形的判定与性【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质, 质，熟记各性质并准确识图是解题的关键.三、解答题20 .【思路分析】(1)由菱形的四边相等即可求出其周长;(2)利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可.【解答】解：(1) :四边形ABCD是菱形，AB=2,菱形ABCD的周长=2X4=8;(2) :四边形 ABCD是菱形，AC=2, AB=2ACXBD, AO=1 ,bo Jab2 ao2= 22zv=4,

35、BD=2 73 。【点评】本题主要考查菱形的性质，能够利用勾股定理求出BO的长是解题关键.21 .【思路分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；(2)四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：(1)二.正方形ABCD,AB=AD , ./ABD=/ADB ,./ABE=/ADF,AB= AD在 AABE 与 AADF 中 ABE= ADF , BE= DF.ABEAADF (SAS);(2)连接AC,四边形AECF是菱形.理由：.正方形ABCD .OA=OC, OB=OD, ACXEF,OB+BE=OD+DF即 OE=OF. OA=OC, O

36、E=OF四边形AECF是平行四边形,v ACXEF四边形AECF是菱形.【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.22.【思路分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】证明：二.四边形ABCD是平行四边形， . AD=BC , AD / BC, v DE=BF, .AE=CF,AE/CF, 四边形AECF是平行四边形，v ACXEF, 四边形AECF是菱形.【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运 用所学知识解决问题，属于中考常考题型.234思路分析】根据平行四边形

37、的性质以及全等三角形的判定方法证明出GOE白BOF,得到OE=OF,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边 形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边 形BFDE为菱形.【解答】证明：二.在？ABCD中，。为对角线BD的中点， .BO=DO, /EDB=/FBO,EDO= FBO在aEOD 和AFOB 中， OD=OB,EOD= FOB.-.DOEABOF (ASA); .OE=OF, 又 = OB=OD, 四边形EBFD是平行四边形，v EFBD,四边形BFDE为菱形.【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定 与性质等知识，

38、得出OE=OF是解题关键.24.【思路分析】（1）利用“AASffizDFzXEAB即可得；（2）由/ADF+/FDC=90、/DAF+/ADF=90 得 / FDC=/DAF=30 ,据此知 AD=2DF,根据DF=AB可得答案.【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，: AD / BC, ./AEB=/ DAF,又; DFXAE,丁. / DFA=90 , ./ DFA=/ B, 又AD=EA,.ADFAEAB , DF=AB .（2）/ ADF+/ FDC=90 , /DAF+/ADF=90 , ./FDC=/DAF=30 , . AD=2DF ,v DF=AB , AD=2AB=8 .【

39、点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形 的判定与性质及直角三角形的性质.25.【思路分析】（1）依据条件得出/ C=/DHG=90 , /CGE=/GED,依据F 是AD的中点，FG / AE ,即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到 GE=GD, /CGE=/GDE,利用 AAS 即可判定ECGGHD ;（2）过点G作GPLAB于P,判定CAGPAG,可得AC=AP ,由（1）可 得EG=DG,即可得至I RtAECGRtGPD,依据EC=PD,即可得出 AD=AP+PD=AC+EC ;(3)依据/B=30 ,可得/ADE=30 ,进而得到 AE=：AD,

40、故 AE=AF=FG ,再 根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形 AEGF是菱形.【解答】解：(1) V AF=FG , ./ FAG=/ FGA,. AG 平分/ CAB, ./CAG=/FGA, ./CAG=/FGA,AC / FG,v DEXAC,FG DE,v FG BC,DE/ BC,ACXBC,. C=/DHG=90 , /CGE=/GED,.F 是 AD 的中点，FG/AE, .H是ED的中点， .FG是线段ED的垂直平分线， .GE=GD, /GDE=/GED, ./ CGE=/GDE,.-.ECGAGHD;(2)证明：过点G作GPL AB于P,GC=GP,而 AG=

41、AG ,.CAGAPAG,AC=AP 由(1)可得EG=DG, RtAECG RtAGPD,EC=PD,AD=AP+PD=AC+EC ;(3)四边形AEGF是菱形，证明：/ B=30 , ./ADE=30 ,ae=1ad2 AE=AF=FG ,由(1)得 AE/ FG, 四边形AECF是平行四边形， 四边形AEGF是菱形.【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和 性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含 30。角的直角三角形的性质的综合运 用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键.26.【思路分析】(1)利用矩形的性质，即可判定AFAEzXCDE,

42、即可得到CD=FA , 再根据CD/AF,即可得出四边形ACDF是平行四边形；(2)先判定3DE是等腰直角三角形，可得 CD=DE,再根据E是AD的中点， 可得AD=2CD ,依据AD=BC ,即可得至U BC=2CD .【解答】解：(1)二.四边形ABCD是矩形， . AB / CD, ./ FAE=/CDE,. EMAD的中点， . AE=DE,又. / FEA=/CED,.FAEACDE, .CD=FA,又 : CD /AF一四边形ACDF是平行四边形;BC（2） BC=2CD.证明：v CF平分/ BCD,丁. / DCE=45 ,vZ CDE=90 , . CDE是等腰直角三角形,

43、.CD=DE,. EMAD的中点， . AD=2CD ,vAD=BC, BC=2CD.【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一 个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.27.【思路分析】（1）由全等三角形的判定定理 SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答.【解答】（1）证明：在矩形 ABCD中，AD=BC, /A=/B=90 . EM AB的中点， . AE=BE .在DE与4BCE中，AD=BC

44、 A= B ,AE=BE.ADEABCE (SAS);（2）由（1）知：AADEABCE,贝U DE=EC.在直角 AADE 中，AE=4, AE= - AB=3, 2由勾股定理知，DE JAD2 AE2 J42 32 =5, CDE 的周长=2DE+AD=2DE+AB=2 5+6=16.【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的 判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具. 在判定三角形全等 时，关键是选择恰当的判定条件.28.【思路分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形 OCED是 平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答.【解答】（1）证明：二四边形ABCD是菱形，ACXB