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1、集合与函数中的创新题在考试中，会出现一些以考查同学们探究能力和创新能力为目的的“创新题”，此类问题常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体，本文精选一些以集合与函数为背景的创新题型，并分类解析，旨在探索题型规律，供同学们参考。一、新定义型创新题新定义型信息题是指以已有知识为基础，并在此基础上进一步引申或定义新的情景，即给出一定量的新信息，要求同学们根据新定义进行解题。新定义型信息题是试题改革的一个亮点，它能有效地考查学生独立获取信息、加工信息及继续学习的能力。例1 定义差集，现有三个集合A、B
2、、C分别用圆表示，则集合可表示下列图中阴影部分的为（ ）分析：根据题设中的新定义，从图形里挖掘解题的有关信息，将图形语言向数学符号语言转化。解：根据题设中的新定义，可以得出集合A-B可表示如下图所示，再根据新定义可以看出集合C-（A-B）表示为图A。故选A。点评：解决此类问题常分为三大步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定化归的方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；（3）对定义中提出的知识进行转换，有效地输出，其中对定义信息的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点。二、结论开放型给出多个结论，需要同学们对每个备选结论判断真伪，填写出满足条件的结论。例2 函数，其中P，M为
3、实数集R的两个非空子集，又规定，给出下列四个判断：若，则；若，则；若；若，则。其中正确判断有_。（将所有正确的序号填在空格内）解析：取特殊集合，若令，而，有，故不正确；若令有，而，故不正确。只有正确，故填。点评：结论开放型创新问题，结论是不确定或不唯一的，解题时要注意运用相应的解题策略，如举反例、特殊值法、排除法、等价转化、数形结合等。直觉、联想、较好的洞察力，有助于解决开放型创新题。三、存在型创新题对于结论没有明确给出，常常以“是否存在”，“是否有”的形式进行设问，结论有待判断的这类问题称之为是否存在型开放性创新题。例3 已知二次函数，若且，是否存在实数m，使得=成立时，为正数？若存在，则证明你的结论；若不存在，则说明理由。解：由=0及有，。又1是的一个根，记另一个根为，则。而，所以，即。假设存在实数m，使成立，则由，1是的两个根，有。从而。所以，从而，因为，即，所以。又因为，1是的一个大根，所以在上单调递增。所以，即满足条件的实数m存在。点评：解此类问题的常用方法是先对结论作肯定存在假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行探索，由探索结果是否出现矛盾来作出正确的判断。