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1、NO.*13N0.*第一章多项式知识点考点精要元多项式的概念与运算1、定义形式表达式f(x) = anxn an1x 1 . a1x a0称为数域P上的一元多项式，其中a0,a1,.,an，an全属于数域P, n为非负整数。数域P上的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记为 PX。2、多项式的次数在(1 )式中，如果an #0,那么anxn称为多项式(1)的首项，n称为多项式(1)的次数，记为 a(f (x )=n。f(x)=c,(cw P,c#0)称为零次多项式。1kf(x )=0称为零多项式，它是唯一不定义次数的多项式。3、一元多项式的运算及性质1)加(减)法：设f (x) =

2、anxn +anxn+| +ax +a0 , g(x) =bmxm +bmxm十“+b1x十也是数域P上的两个一元多项式。则f (x) g(x)=(a0士bn)xn +(an.+bn)xn+川+(q O)x+(a0 知0)。2)乘法：设f (x)=anxn +an4xn”+ 川 +a1x + a0, g(x) =b.xm +bmxm+| +bx +b0是数域 P 上的两个一元多项式。则f (x) g(x)=anbmxn4m +(anbm+anbm)xn2 训 +(qbo +aoO)x + aob0。2)性质(1)加法交换律：(2)加法结合律：(3)乘法交换律：(4)乘法结合律(5)乘法对加

3、法的分配律:(6)乘法消去律：如果f(x) g(x) =g(x) f (x)(f(x) g(x) h(x) = f(x) (g(x) h(x)f(x) g(x) =g(x) f (x)(f(x) g(x) h(x) = f(x) (g(x) h(x)f (x)g(x) h(x) =f (x) g(x) f(x) h(x) f (x) g(x) = f (x) h(x)且 f(x)#0,那么g(x) =h(x)。4、多项式的次数定理设 f x =0, g x =0(1)当 f (x )+g(x 产0 时，则见f(x)g(x)=a(f(x)-a(g(x)；(3)邓f (x )=矶 f (x A(

4、kw P,k0).二、多项式的整除性1、带余除法(Euclid除法)设 f (x),g(x)w PX,g(x)#0,则存在唯一的 q(x),r(x产 PX,使得这里 r(x )=0 或&(r (x )c a(g(x ),称上式中 q(x )为 g(x)除 f(x)的商，r(x)为 g(x )除f (x )的余式。2、整除的定义设 f (x),g(x)w PX,如果存在 h(x)w PX,使得称为g (x灌除f (x )记为g(x)|f (x)。否则称g (x )不能整除f (x卜3、整除的性质(1) h(x)|g(x), g(x , f (x ),则 h(x )|f (x )；(2)若 h(x

5、jg(x),h(xjf (x),则 h(x)|( f (x)g(x)；(3)若 f (x )g (x )g (x )|f (x ),则 f (x )=c g(x ),cW P 为非零常数。(4)若 h(xj|fi(x ) i=1,2,|,m,则h(x)|( f1 (x )g1 (x)土 f2(x )g2(x 泪II 土 fm(x )gm(x ),其中gi(x)wP【xl i=1,2,|,m为任意多项式。4、余数定理用一次多项式g(x )=x-c去除f (x)，所得的余式是一个常数 r,即则 r = f (c),且 f (c)=0u (x-c) f(x)o三、最大公因式1、最大公因式定义设 f(

6、xgx 产 PX,如果 d(x)w PX,满足：1) d(x) f (x),d(x)g(x),2)若f (x)与g(x)的任一公因式邛(x)d(x)则d(x)称为f (x)与g(x)的最大公因式。f (x)与g(x)的首项系数为1的最大公因式记为d(x) =(f (x)g(x2、辗转相除法设 f(x)g(x产 PX,g(x产0,如果则(f (x)，g(x)=(g(x),r(x)。3、设 f (x),g(x 产 PX, d(x) =( f (x),g(xn 则存在 u(x),v(x)E PX,使得 d(x)= f (x)u(x )+g(x w(x)。4、互素1)定义设 f (x ), g(x

7、卢 PX,若(f (x), g(x) ) = 1,则称 f (x)与g(x)互素。2)充要条件(f(x),g(x)A T 存在 u(x), v(x), f (x)u(x)十 g(x)v(x) =1。3)互素的性质(1) f (x)|g(x)h(x),( f (x),g(x) =1= f (x)|h(x)(f (x),g(x) =1, f (x)|h(x), g(x)|h(x)= f(x)g(x)|h(x)3) ) (f (x), g(x) =1,(f(x), h(x) =1= (f (x), g(x)h(x) =14) ) (f (x), g(x) =1= (f(x) +g(x),g(x)

8、=1= (f (x) +g(x), f(x)g(x) =1。四、因式分解及唯一性定理1、可约与不可约数域P上的次数之1的多项式f (x)如果能表示成数域 P上两个次数较低的多项式的乘积，那么 f(x)就称为数域P上的可约多项式，否则就称为不可约多项式。一次多项式在任何数域上都是不可约多项式。2、不可约多项式的基本性质5) p(x)不可约，f(x)为 PX中的任意多项式 =p(x) f(x)或(p(x), f(x) =1.6) p(x)不可约，p(x) f (x)g(x)= p(x) f (x)或 p(x) g(x)。3、唯一分解定理数域P上每一个次数 1的多项式都可以唯一地分解成数域P上一些

9、不可约多项式的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么必有s=t,并且适当调换因式的次序后有这里G(i =1,2，s)是一些数域P中的非零常数。4、标准分解式数域P上每一个次数之1的多项式f (x)都有唯一标准分解式，其中c是f (x)的首项系数，p1(x), p2(x)，pt (x)是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而r1,r2,rt是正整数。5、重因式1)定义设p(x) w PX是不可约多项式，如果pk(x)|f(x)，而pi(x)不能整除f(x),那么称p(x)是f (x)的k重因式。2)如果不可约多项式 p(x)是f(x)的k重因式，那么它是 f(x)的k-1重因式。7)

10、 p(x)是f (x)的重因式u p(x)是f (x)与f(x)的公因式。4)多项式f(x)没有重因式 U f(x)与f (x)互素。5)设多项式f(x)的标准分解式为：f(x) = cp；1(x)p22111Ptrt(x)= cr(x)P2(x)川 Ps(x)。f(x).- (f (x)f (x)六、多项式函数1、定义 f(x)=anxn +agxn,+a1x + a0是数域P上的多项式，对于每一个c= P都有 f (c) w P与之对应，这就确定了数域 P上的一个函数关系，称为多项式函数。2、多项式的根f(x)W PX,如果对于数域P中的与 f(a) =0,那么把a称为f(x)的根。数域P

11、上的n次多项式f(x),在数域P上至多有n个根(重根按重数计算)3、代数基本定理每个次数之1的复系数多项式在复数域内有一个根。4、n次复系数多项式f(x)恰有n个复根；如果a是实系数多项式f(x)的复根，则久的共轲数7也是实系数多项式 f(x)的根，因此奇数次实系数多项式f(x)一定有实根。5、有理多项式1)如果一个非零的整系数多项式f(x)的系数互素，则称 f(x)是一个本原多项式。2)任何一个非零的有理系数多项式f (x)都可以表示成一个有理数 r和一个本原多项式 g (x)得乘积，即这种表示法除了相差一个正负号是唯一的。3)引理(高斯定理)：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.4)定理：

12、如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。5)整系数多项式有理根的求法设f(x)=anxn +anlxn+. + a(x+a0是一个整系数多项式，,是它的一个有理根，其中r,s互 s素，则必有s/an,r/a0,特别的，当烝 =1, f(x)的有理根都是整数，且是 a0的因子。6)整系数多项式可约性的判断( 曰senstein是判别法)设f(x)=anxn +anxn+. + &x+%是一个整系数多项式，如果存在素数p ,使(1) p不能整除an ；(2) p/an,an,.,a0 ；2-(3) p不能整除

13、a0.则f (x)在有理数域上不可约。6、不同数域上的多项式多项式环可约性c上/、可约多项式只能是-次多项式R上不pj约多项式什-次及含共轲复根的二次多项式Q上有任意次的/、可约多项式(艾森斯坦判别法)典型题真题精解例1证明：xd -11 xn -1等价于d | n。证明：充分性多项式的根C上n次多项式在C中启n个根实系数多项式非实复根成对出现有理系数多项式在有理数域中未必有根(整系数多项式有理根的求法)设d | n ,存在k w N ,使得n = dk ,则xn _l = xdk -1 = (xd)k -1 = (xd -1) (xd)k,(xd)T 1所以必要性若d不能整除n,设n=d

14、k+r, 0r d ，则n .dk -r. dk r r r . r dkrx -1 = x -1 = x x - x x - 1 = x (x - 1) x - 1由充分性的证明可知，xd -1 |xdk -1 ,从而，由xd -1不能整除xn -1 ,得出xd -1| xr -1,而 0 Wr d ,于是必有 d |n。注：将xn -1拆成两部分之和，其中一部分能被xd -1整除，另一部分不能被xd 1整除，必得xd -1不能整除xn -1 ,这是证明不整除的方法之一。例 2 试证：x9+x8+x+1|x9999 +x8888 + +x1111 +1证明：设 f (x) = x9999 +

15、x8888 +x1111 +1 , g(x)=x9 +x8 + +x + 1,则9/ 99908 / 88801110=x (x -1) x (x -1) x(x -1) g(x)由例1可知x10 -1|xiii0 -1 , i =1,2,，9因为故则g(x) |xiii0-1, i =1,2,，9所以g(x) |xi(xiii01), i=1,2,，9所以p- kpCkdk例3设P是素数，证明： k印x 1+：)%一 P1 k证明：设 f(x) =z kx，则 f(x)|xp -1由p4 Ck k.1 、kj p =x(xp -1)x2(x 2! -1) xp4(xp -1) f(x)(1)

17、分多项式，按不可约分多项式性质，由 x | f k(x),得x | f (x)。n,n -2 .门例 6 若 xxi| ixi fi*(xn),证明：x1|fi(x), i=1,2,，n1。 i D 1i 0 /证明：因整除关系不因属于扩大而改变，故在复述域C上仍有_ nji _ n -2 i Z yX |Z x fi 由(x )_ _ nn -2于是乙i 3x的n 1个根都是乙i与x fj + (x )的根。n 4 .设苒吃8g是 “x，的n 1个不等于1的n次单位根，故马n = 1, i =1,2,，n1 , i,2, n j i rin -2且% %,，也无口x fi由(x )的根，则

18、即又系数矩阵的行列式nN1 nN ；2#0(范德蒙行列式)n_2 -n 1 故所以x-1 | fi(x) , i =1,2,，n 1。例7 设 f (x), g(x) w P x , a, b, c, d w p ,且 ad _bc / 0 , 证明:(af (x) +bg(x), cf (x) +dg(x) = (f (x), g(x)。证明：令 af (x) +bg(x) = f1(x), cf (x) +dg(x) = f2(x)(3)因为 ad -bc #0 ,由(3)得f (x)= d f1(x) - bf2(x)ad -bcad -bcc .a .g(x) = -i f(x) +

19、- f2(x)(4)ad -bc ad - bc令(f(x),g(x) =d(x) , (3(x), f2(x)=dKx)由(3)得，d(x) | f1(x),且 d(x) | fz(x),从而 d(x) |d(x)由(4)得，dKx)|f(x), d1(x)|g(x),故 d1(x)|d(x), d1(x),d(x)为首项系数为则 d1(x) =d(x),即(af (x) +bg(x), cf (x) +dg(x) = ( f (x), g(x)。注：由本题可得以下结论：1) a =1,b =0,c=1,d =1 ,则(f (x), f (x) g(x) = (f (x), g(x)；2)

20、 a =1,b=1,c1,d =-1,则(f(x) + g(x), f (x) - g(x) = (f (x), g(x)。例8设f(x)=x3 +ax2 +bx+c是整系数多项式，证明：若ac + bc是奇数，则不可约，Q是有理数域。证明：若f (x)是Q上可约多项式，于是 f (x)在整数环Z上可约，设f (x) = (x -：)(xx ) :, Z由f (1) = 1 +a +b + c=(1 +a)(1 + P + ?)(6)1的多项式,f (x)在Q上c, c为奇数因ac+bc=(a+b)c是奇数，故a+b,c都为奇数，由(5)知f(1)是奇数，因= 知a也为奇数，故1+a是偶数，由

21、(6)知f(1)是偶数矛盾，故f(x)在Q上不可约。例9 设 f(x)w Px,证明：若对任意的 a,bw P,都有 f(a + b)= f(a)+ f(b),则 f(x) = kx, 这里k w P。证明：若f (x) =0 ,有f (x) = 0 m x ,结论成立，若 f (x) = 0,取b = 0 ,则所以f (0) = 0,即。是f(x)的一个根，故可设f(x) = xq(x)，其中q(x)#0;取a=0,而b = a , 则 f (2a) = f (a)+ f (a),即 f (2a) = 2f(a)故 2aq(2a) =2aq(a),得 q(2a) =q(a)由a的任意性，得q

22、(x)=k，所以f(x)=kx。注：按已知的条件，取一些特殊的值以发现f (x)的性质是解决这类问题的常用方法。第二章行列式知识点考点精要一、排列1、基本概念定义1：由1,2,|,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。定义2：排列中，若一对数前后位置与大小顺序相反，则称为一个逆序，一个排列中逆序总数称为该排列的逆序数。定义3：逆序数为偶(奇)数的排列称为偶(奇)排列。2、性质性质1对换改变排列的奇偶性。性质2任一 n级排列与排列1,2，川，n都可经过一系列对换而互变，并且所作对换个数与该排列有相同奇偶性。n!性质3 n级排列共有n!个，其中奇排列、偶排列的个数各有2个。二、n级行列式1、定

23、义这里工是对所有的n级排列j1j2山jn求和。(jjl jn)要点：(1) n级行列式是n!项的代数和；(2)每一项是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(3)在行下表按自然顺序排列的前提下，每项的符号由列指标排列的逆序数的奇偶性确定；（4）行列式的值是一个数。2、行列式的性质性质行列式的行列互换，行列式的值不变;性质数k乘行列式某行（列）等于数 k乘此行列式;性质如果行列式中某行（列）是两组数的和，那么行列式等于两个行列式的和;性质如果行列式中有两行（列）相同，行列式等于零;性质如果行列式中有两行（列）对应分量成比例，行列式等于零;性质把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列是不变;性质对

24、换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。3、行列式按行（列）展开则下列公式成立:n二.ak Ajkk 1d当i一 (0 当 in Cd 当 k= l a askA sT0si s 10 当k，l4、n级行列式的计算1)、基本途径(1)依据定义(2)运用性质(3)按行（列）展开（推广为拉普拉斯定理）2)、常用方法和技巧化为三角形行列式，对角形行列式，范德蒙行列式等已知结果的行列式(2)递推法（降级法）(3)分拆法(4)加边”法（升级”法）其他方法5、几类常见特殊行列式的值1）奇级数反对称行列式的值为零，即一 ai2a120a1na2n（n为奇数）一a1 na2 nIII2)上(下)三角行列式的值

25、等于主对角线上元素的乘积，即3)次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即a11IIIa1,n Aa1n00 III a1na21IIIa2,n00 HIa2,na2n+ * *+b+q4an10 III 0+4fran1 HI an,nann4)分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即5)范德蒙德(Vandermonde)行列式三、行列式的一个应用-克拉默法则1、适用条件n个未知数n个方程的线性方程组即其中当A =d #0时，该方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为其中Di是把矩阵A中第i列换成方程组的常数项 bi,b2,bn所成的矩阵的行列式，即a11a12I

26、aa1i Jb1a1i 1HIa1nDi(i =12,n)a21a22I aa2ib2a2i 1IHa2nan1an2iiiiHiHiiiiimiiniiiiniiiiiiiHiiiiHI a a ani bnani 1 HI ann克莱姆(Cramer)法则包含下面三个结论：(1)方程组有解；(2)解是唯一的；(3)解由公式 x1 =2,x2 =D2, , xn =给出。D DD这三个结论是联系的。2、n个未知数n个方程的齐次线性方程组AX =0,当|A = d#0,该方程组只有零解。换句话说，若该方程组有非零解，则 A = 0典型题真题精解例1计算n级行列式解：在D中2n个元素不为零，且处

27、于不同行不同列。故D中不为零的项为由于a1 j1 = y ,位于第1行第2列，故 = 2。又a2j2 = y ,位于第2行第3列，故j2 = 3。同理 j3=4，用，jn-=n,jn=1,从而(jj Wjn)= (23川n1) = n-1.而行列式的其余各项中都至少有一个元素为零，所以其余各项均为零，故例2计算n级行列式D =X1 y1X2 y1X1 y2X2 y2情IIIX1 ynX2 - Yn+Xn y1Xnli一 y2IIIXn1y yn解：当 n =1 时，D =x1 y1 ；当 n = 2 时,D =(Xi X2)(y1 y2)；当n3时，把第一行的_1倍分别加到第i行，i =2,3

28、,|,n,行列式的值不变，得综上可得例3 一个n级行列式，假设它的元素满足试证明：当n为奇数时，此行列式为零证明：由题意可知a =-备,即 aii =0,i =1,2,IH,n,则此行列式为由性质1,2有当n为奇数时，得 Dn =Dn,因而Dn =0。例4计算n级行列式解：这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第 2, 3, 一，n列加到第1列上，行列式不变，得例5计算n级行列式解：将其他各列全部加到第一列，例6计算n级行列式a +1aaIIIa,1a + 一2aIIIDn =aa1 a十一3IIIaaaa川a+1n解：加边得将Dn的第二列乘1,第三列乘2,，第n +1列乘n并都加

29、到第一列，可得III 0III 0n(n+1)1=12 an!n1 十 kak=10Dn =0a a III a0 0 |l| 1 nNO.*例7计算n级行列式例11计算n级行列式15N0.*41115IHDn6HI11113 HI解：观察行列式的每行之和为定值（1+2+ - + n),因此将各列加到第一列后，则由于相邻两行元素比较接近,逐行相减。即第二行减第一行，第n行减第n 1行例8计算n级行列式cos 二2cos uDn2cos 二2cos)2cos1证明：由于所以当n =1,2,3时,结论成立。猜想:Dn =cosni.以下用数学归纳法证明当n =1,2,3时已成立。假设n = k -

30、 1,n = k时的行列式猜想成立，即Dk=cos(k -1)9, Dk = coskB。下证明n = k +1时行列式结论也成立。现将按最后一行展开，得由归纳假设, 所以对一切自然数 n结论成立。综上所述例9计算n级行列式a1yy.yyxa2y.yyxxa3.yy-*+*b+*RbqI-xxx.anyxxx.xanDn解：由行列式性质，按最后一列展开得行列式转置，同理有Dn = (an - x)Dnn_1- x (ai -y)i 1例10DnDn计算n级行列式nall【i =2n n(ai - y) y II (aj - y)i =2 jx-ynxili 4n(ai - y) - yU (a

31、i - x)Dn解：将Dn第一行元素拆为二 a(x-b)n(x-a)Dn(1)再将Dn第一列元素拆为(2).二(x -b)Dn4 b(x -a)n4联立上述(1) , (2)两递推公式一，. 、n-1, 、一Dn =a(x -b)(x -a)Dn_iDn =(x-b)Dnb(x-a)当a #b时当a =b时Dn - lx (n -1)al(x-a)n4解：将第i列的1( 2Wi Wn)倍加到第一列得 i例12计算n级行列式解：将Dn按第一列展开得例13计算n级行列式解：将Dn按第一行展开得变形为Dn -Dn=Dn-DnN= Dn/-Dn= I|=D2-D1D2 - D1 =-2=1因此Dn =

32、Dn1=Dn/ 2 =用=Q (R-1)例14计算n级行列式DnX12X1IHn _2X1nX1X2山n _2X2nX2XnIIIn-2XnnXn解：注意到Dn与范德蒙行列式十分接近，构造n+1级范德蒙行列式=(x -X1)(X-X2)IH(X-Xn) I 1 (Xi -Xj).将f (x)按第n +1列展开得1,n 1X HI AnV 入 m Mn其中Xn的系数为An,n1 =(-1厂旧=0根据范德蒙德行列式的结果求得的系数为An,n 1=-(X1 X2 IH Xn) ” (Xi - Xj),1 ji _n故有例15计算n级行列式解：Dn的每行兀系之和均为n-1,将各列之和加到第 n列得例1

33、6计算元素满足aj=i - j的n级行列式Dn。NO.*解：根据题意写出n级行列式这是相邻两行（列）元素差 1的行列式，用前一行减去后一行的方法，得再把第一列加到其它各列得例17计算n级行列式解：此行列式相邻两行（列）相差倍数a的行列式，采用前行减去后行a倍的方法，化简得例18计算n阶行列式的展开式中正项的项数。解：易知D = 2n因D的展开式的每一项或为 1,或为-1,设正项数为s,负项数为t, 则又因为解得1即D得展开式中正项的项数为 2n +,n!。2第三章线性方程组知识点考点精要一、n维向量及其运算1、n维向量的定义数域P上的有序n维数组口=（4。,，an） ,awp；/p上的n维向

34、量。2、n维向量的相等如果n维向量a =（a1,a2,.，an ）, P =（b1,b2,.,bn ）的对应分量都相等，即 a =b，i = 1, 2IJ n ,称这两个向量是相等的，记口 = P。3、n维向量的运算及性质1）加（减）法如果 a =（a1，a2，.,an ）, P =（匕，4，.，bn ）,则 =（a1 卜12 土必e口 0 ）.2）数量乘法如果口 =（a1，a2,.,an ,贝U k =（ka1，ka2,., kan ）.(1) :： = ：；(2)(:工 T,)- ?(二：,，)(3)二 0 二:(4) ： -(一)=(-.)：=0(5) k(岂 T，)=仁工，kF(6

35、) (k l)=Q.，l :(7) (kl)： - k(l ：)(8) 1 :=:二、向量组的线性关系一1、基本概念1)线性组合向量P称为向量组C(1,C(2,，Qs的一个线性组合，如果有数域P中的数ki,k2,lll,ks,使2)线性表示如果P是向量组%,口2，1as的一个线性组合，那么称P可以经由向量组1,1,工线性表示。3)向量组的等价向量组2户21，%中每一个向量都能被向量组3,久,，Ps线性表出，那么向量组%,口2,，就称能被向量组打邛2,，A线性表出。如果向量组口1,口2;，口与向量组01,久，久可以相互线性表出，那么它们就称为等价。4)线性相关向量组0(1,0(2，Ps称为线

36、性相关的，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,川,ks,使得31 +k24 +. + ks = 0。5)线性无关向量组O（1,O（2，Gs称为线性无关的，如果不存在数域P中不全为零的数ki,k2,|,ks, 使得即：使得 k10tl +k2a2 + ks0ts = 0,则必有 k1 =k2 =ks = 0。2、n维向量线性相关性的判断方法1）用齐次线性方程组有无非零解判断1, 口2,，（Xm为 n维向量组，且叼=（ai,ai2,|,ain）,i =1,2，川，m,设k1al +k20t2 +km（m = 0,代入%的n个分量，构造以k1, k2，km为未知数，含有n 个方程的齐次线性方程组

37、。若该方程组只有零解，则尊1, 口2,，1am线性无关。否则，线性相关。2）用矩阵的秩判断四二可，lll,ain）,i =1,2, |l|,m,以,豆2,，-m为列，组成nx m矩旧车A，若秩（A）m,则%,匕,，m线性相关；若秩（A） = m，则1, 气:，“线性无关。3、关于线性相关性的几个结论1）含有零向量的向量组一定线性相关。2）单独一个向量Of线性相关u a =0。3）两个向量u, P线性相关u c（=kP,kwp。4）如果向量组中有一部分向量线性相关，那么这个向量组也线性相关；如果一向量组线性无关，那么他的任何非空部分向量组也线性无关。5）如果向量组 5,外，叫线性无关，向

38、量组 1,a2,IHr,P线性相关，则P可以由：-1,?2, ,:线性表出。6）如果向量组 ,4,，a可以由向量组叫，葭川，支线性表出，且tS,则向量组 %,%,，叫线性相关；如果向量组,4,，4可以由向量组 3,葭用，5线性表出，且向量组0（1,0（2，口线性无关，则t So7） n个n维向量线性相关。各向量的分量构成的 n级行列式为0.8） m a n时，m个n维向量必线性相关。三、向量组的极大线性无关组及矩阵的秩1、基本概念1）极大无关组设32,，0（s为一向量组，它的一部分组3iQi,；,：3i称为向量组的一个极大线 I 11111I， 12 1 r性无关组，若（D，：I线性无关;

39、（2） ot1p2，9s中的每一个向量都可被叫,%,J,如线性表出。 17477s11712771r2）向量组的秩向量组的极大线性无关组所含的向量个数。3）矩阵的秩矩阵的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称为矩阵的秩。2、基本性质1）向量组与其任意一极大无关组等价。2）等价的向量组的秩相等，即等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。3）向量组的任意两个极大线性无关组等价，从而向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等。4）矩阵A秩为r = A有一个r级子式不为零,而所有的r +1级子式全为零。25N0.*四、线性方程组解的结构1、线性方程组有解的判别定理设线性方程组其系数矩

40、阵和增广矩阵分别为a11a12a21a22IIIIIIa2na2 1川IIIa n2b b_am1am2IIII amn.am1am2IIIbm线性方程组有解=秩（A）=秩（A）;无解之秩（A） #秩（A）。2、解的个数唯一解。秩（A）=秩（A） = r = n ；无穷多解u 秩（A）=秩（A） = r +li/kn$n，K（i.1,2/H,nr）为任意实数。4、非齐次线性方程组解的结构1）非齐次线性方程组：311x1 +a12x2 +a1nXn = D,a21X1 +a22X2 +a2nXn = b2, Lam1X1 +am2X2 * amnXn - bm -2)如果b, =b2 =HI=bm =0 ,就得到齐次线性方程组（1）,方程组（1）称为方程组（的导出组。非齐次线性方程组（2）的解与其导出组（1）的解有密切联系：1 .线性方程组（2）的两个解的差是它的导出组（1）的解2 .线性方程组（2）的一个解和它的导出组（1）的一个解之和仍是线性方程组（2）解。n -r2）非齐次线性方程组解的结构：如果0是方程组（2）的一个特解，”1, “2,111, n是导出组（1）的一个基础解系，那么方程组（2）的全部解表示为：% +ki1 +k2% +Ill+

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