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1、函数的单调性和奇偶性例1(1)画出函数y=-x2+2 | x | +3的图像，并指出函数的单调区间.解：函数图像如下图所示，当 x0时，y=-x2+2x+3 = - (x-1) 2+4;当 x4 aW3.评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合.例2判断下列函数的奇偶性：(1) f (x)=解：(1) f (x)的定义域为R.因为f (-x) = I -x+1 I - I -x-1 I=| x-1 I - I x+1 I = -f (x).所以f (x)为奇函数.(2) f (x)的定义域为 x | -1x 1,不关于原点对称.所以 f (x)既不是
2、奇函数，也不是偶 函数.评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：(1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称.(2)计算f (-x),并与f (x)比较，判断f (-x) =f (x)或f (-x) = -f (x)之一是否成立.f(-x)与-f (x)的关系并不明确时，可考查 f (-x)才(x) = 0是否成立，从而判断函数的奇偶性.例3已知函数f (x) = 1千户.(1)判断f (x)的奇偶性.(2)确定f (x)在(-8, 0)上是增函数还是减函数 ？在区间(0, +8)上呢？证明你的结论. 解：因为f (x)的定义域为R,又_1f (-x) = l + N =f (x),
3、所以f (x)为偶函数.(2) f (x)在(-8, 0)上是增函数，由于f (x)为偶函数，所以f (x)在(0, +8)上为减函数. 其证明：取xkx2 0, E 一片 (马_两)(工.十4)f (xi) -f (x2)=端 7 -君+ 1 =伏:+ 1混”)=婷 + 1)(君 4 1).因为xix20, xi+x2V0, x2l+1 0, x22+1 0, 得 f (xi) -f (x2) 0,即 f (xi) f (x2), 所以f (x)在(-8, 0)上为增函数.评析 奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同，偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单 调性相反.1
4、例4已知y=f (x)是奇函数，它在(0, +0)上是增函数，且f (x) -x20.y = f (x)在(0, +8)上是增函数，且 f (x) v 0, f (以2)v f (-xi) v 0.又f (x)是奇函数，f (-x2)= -f (x2), f ( -xi) = -f (xi)心)了2)-。氏)由、得 f (x2) f (xi) 0.于是J /士)一(工1)F (xi) -F (x2)= 八砧0,即 F (xi) F (x2),1所以F (x) = /(力在(s, 0)上是减函数.0, +8)内任取xivx2,展开评析 本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在( 证明
5、.这样就不能保证-xi, -x2,在(-oo, 0)内的任意性而导致错误.避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动.例5讨论函数f (x) = 1一户(awo在区间(-1,1)内的单调性.分析根据函数的单调性定义求解.解：设-ivxivx2 V 1 ,则f (xi) -f (x2)= 1- W - 1 -电,xi, x2C (-1, 1),且 xix2,xi-x2V0, 1+xix20,(1-x2i) ( 1-x22) 0于是，当 a0 时，f (xi) v f (x2)；当 a f (x2),故当a0时，函数在(-1,1)上是增函数；当 a0)在区间(0, k上单调递减.解
6、：设0xi x2W则 Ef (xi) -f (x2)= xi+ 1 -x2- 丁3(工1 一)(不巧一_中口: 0 V xi x20 f(Xi) f(X2), .f (x) =x+ 工中(0, k上是减函数.评析 函数f (x)在给定区间上的单调性反映了函数f(X)在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.因此，若要证明f(X)在a,b上是增函数(减函数)，就必须证明对于区间a,b上任意两点Xi, X2,当X1VX2 时，都有不等式 f(X1)V f(X2)(f(X1) f(X2)类似可以证明：眩函数f (x) =x+ 工(k0)在区间k, +上是增函数.例7判断函数f (x)=卜一
7、可十土的奇偶性.分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号.1-X2 0工十工K 得函数的定义域为1-1, 1 .这时，I x-2|=2-x. f (x) =2,f (-x) =2=f (x).-j?且注意到f(X)不恒为零，从而可知，f (x)=,一3+是偶函数，不是奇函数.评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非 奇非偶的判断.但隐含条件(定义域)被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了.这样看来，解题中先 确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程.函数奇偶性练习一、选择题1 .已知函数 f (x) =ax2+bx+c (
8、aw0)是偶函数，那么 g (x) = ax3+bx2+cx ()A.奇函数B.偶函数 C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数2 .已知函数f (x) = ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为a1, 2a,则()1A. a - , b= 0B. a= 1 b= 0 C. a= 1 b= 0D. a=3, b= 033.已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x) =x2-2x,则f (x)在R上的表达式是(A. y = x (x 2)B. y =x ( | x | - 1) C. y = | x | (x 2)D. y = x ( | x | 2)4.已知 f (x) = x5+
9、ax3+bx 8,且 f (2) = 10,那么 f (2)等于(5.6.A. 26B. 18C. 10D. 10函数f (x)A.偶函数若(x)则 f (x)A.1 x2 x 1TTx2 xB.奇函数(x)都是奇函数,OO0)上有(最小值5C.非奇非偶函数f(x) aB.最大值5D.既是奇函数又是偶函数bg(x) 2在(0,+ 8)上有最大值 5C.最小值1D.最大值314. f (x)是定义在(8, 55, +)上的奇函数，且 f (x)在5, 十)上单调递减,二、填空题7.函数f (x)2一的奇偶性为2x(填奇函数或偶函数)8.若y= ( mv 1) x2+2m肝3是偶函数，则 mip9
10、.1已知f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，右 f(x) g(x) x-，则f (x)的解析式为110 .已知函数f(x)为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和为三、解答题11 .设定义在2, 2上的偶函数f (x)在区间0, 2上单调递减，若f (1-m 0 时，f (x) = x3 + 2x21,求 f (x)在R上的表达式.试判断f (x)在( 8, 5上的单调性，并用定义给予证明.15.设函数 y=f (x) (x R且 xw0)对任意非零实数 xi、X2满足 f (xi X2) = f (xi) +f(X2), 求证f (x)是偶函数.函数的奇偶性练
11、习参考答案1. 解析：f (x) = ax2+bx+c为偶函数， (x) x为奇函数,1 . g (x) = ax3+bx2+cx= f (x) (x)满足奇函数的条件.答案：A2 .解析：由f (x) =ax2+bx+3a+ b为偶函数，得b=0. .一 .一1.又te乂域为a 1, 2a，a 1 = 2a, a .故选 A.33 .解析：由x0时，f (x) =x22x, f (x)为奇函数，当 x。时，f (x) = f ( x) = ( x2 + 2x) = x2 2x= x ( x 2).x(x 2) (x 0),f (x)即 f (x) = x (| x| 2)x( x 2) (x
12、 0),1 1答案：D4 .解析：f (x) + 8=x5+ax3+bx为奇函数,. f (2) = 26. 答案：Af (2) +8=18,，f (2) +8=18,5.解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f ( x) + f (x) = 0.答案：B6.解析：(x)、g (x)为奇函数，f (x)2 a (x) bg(x)为奇函数.又f (x)在(0, +8)上有最大值 5 .f (x) 2有最大值3.f (x) 2在(8, 0)上有最小值3, .f (x)在(8, 0)上有最小值1.答案:7 .答案：奇函数8 .答案：0解析：因为函数y= ( m- 1) x2+2m杆3为偶函数，f (x
13、) = f (x),即(m- 1) (x) 2+2m( x) +3= ( m-1) x2+2mx+ 3,整理，得 m= 0.9 .解析：由f (x)是偶函数，g (x)是奇函数,可得 f (x)g(x)1f(x) g(x) nf(x)答案：f(x)10.答案：011答案：m12.证明:令 x = y=0,有 f (0) + f (0) = 2f(0) f (0),又 f (0) w0, .可证 f (0)1 .令x=0,1- f (y) + f( y)= 2f(0) f(y)f( y) = f(y),故 f(x)为偶函数.13 .解析：本题主要是培养学生理解概念的能力.f (x) =x3+2x
14、21.因 f (x)为奇函数，f (0) =0.当 x0, f (x) = ( x) 3+2 ( x) 21 = x3+2x21,，f (x) = x3- 2x2+ 1. 32x3 2x2 1(x 0),因此，f(x) 0(x 0),x3 2x2 1(x 0).点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力.14 .解析： 任取 x1x2W 5,则一x1x25.因 f (x)在5, +8上单调递减，所以 f ( x1) vf ( x2)f (x1) V f (x2)f (x1) f (x2),即单调减函数.点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化.15 .解析：由x1, x2 R且不为0的任意性，令x1 = x2=1代入可证,f (1) =2f (1), f (1) = 0.又令 x1 = x2 = - 1,.f 1 X (1) = 2f (1) =0, ( 一 1) =0.又令 x1 = 1 , x2= x,1. f ( x) = f ( 1) + f (x) = 0+ f (x) = f (x),即 f (x)为偶函数.点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1 = x2=1, x1 = x2=- 1或x1 = x2=0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.