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1、5.5 复数的概念1.虚数单位为i ,规定：i2=,且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的 仍然成立2复数的概念形如：a+bi( a, be R)的数叫复数，其中 a叫做复数的 , b叫做复数的当 时，复数a bi 为实数；当 时，复数a bi 为虚数；当 且 时，复数 a bi 为纯虚数3复数相等的充要条件a+ bi = c+ di( a, b, c, d C R) ? ,特别地，a+ bi = 0? .4 .复数z=a+bi(a, bCF)与复平面上的点Z( a, b)、平面向量OZ都可建立的关系(其中O是坐标原点).5 在复平面内，实轴上的点都表示 ；虚轴上的点除 外都表示6复数的
2、模向量OZmH r叫做复数z=a+bi( a, bCF)的模，记作 或| a +bi | .即| z| = | a+ bi | = r =(r 0, r R).7共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 ，复数 z 的共轭复数记作8数系的扩充数集扩充的过程是：自然数集 （N） 一 一 一 一复数集（C）.数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾.自查自纠1 . - 1运算律2 .实部 虚部 b=0 bwo a=0 bwo3 . a=c 且 b=d a=b=04 .对应5 .实数原点纯虚
3、数6 . |z| a2+b27 .共轲复数|q8 .整数集（Z）有理数集（Q 实数集（R）14 / 14（2015 福建）若集合 A=i , i2, i3, i4（i是虚数单位），B=1 , 1,则An B等于（）A 1B 1C 1 ，1D ?解：A= i , - 1, i , 1, . An B= 1 , 1.故选 C(2015 湖北八校联考)设xC R, i是虚数单位，则“ x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件x21 = 0,解：由纯虚数的定义可得解得x=1.故选Cx+ 1W0,方程x2+
4、6x+13=0的一个根是()A. 3+2i8. 3+2iC. 2+3iD. 2+3i解：当A0,则 ziZ2；若 z2+z2=0,则 zi=Z2=0； -_. - .一 . .z+ z = 0? z为纯虚数； z = z? z e r正确的命题是解：中若zi = 2+i , z2= 1 + i ,则z2与zi不能比较大小；中的 zi = i , z2= 1也可 以满足条件；中的 z=0满足z + z=0,但z为实数.故填 .类型二 复平面的概念及复数的几何意义已知A， B 是锐角三角形的两内角，则复数 (sin A cos B) (sin B cos A)i 在复平面内对应的点位于 ()A.第
5、一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：,A, B是锐角三角形的两内角，兀 .兀兀A+ B ,且 Ov A, 0B .式汽 0v 工Bv Av ,，.汽 一由正弦函数的单调性知sin B 0.同理可得，sin B cos A 0.故选A.【点拨】判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即 可，对题目中条件“ A, B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键.已知z是复数，z + 2i , J一均为实2 i数(i为虚数单位)，且复数(z+ai) 2在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a的取值范 围.解：设 z = x+yi( x, y R),则 z + 2i =
6、x+(y+2)i ,由题意得 y= 2;7z7=XFL = 1(x-2i)(2 +i) =1(2x+2)+1(x 4)i.2 i2 i 555由题意得 x = 4. . . z = 4 2i.(z + ai) 2=(12+4aa2)+8(a2)i. 2 .由于(z+ai)在复平面上对应的点在第一象限，12+ 4a-a2 0, 解得 2a0,，实数a的取值范围是(2 , 6).类型三复数相等的充要条件关于 x 的方程 x2(2i 1)x + 3m i=0有实根，则实数m的值是解：设实根为 X0,则 x2(2i 1)x0+3m- i = 0,即 x0+ x0+3m-(2x0+1)i = 0.由复数
7、相等的充要条件得x0 + x0 + 3m= 0, 2x。+ 1=0.111 11 1.m= -3( x0 + x0) = -3x 42 =行故填 12.x0与参数m的方程组是解决【点拨】依据两个复数相等的充要条件，构造关于实数根 此类问题的有效手段.已知i为虚数单位，复数 z1 = 1 +2i ,Z2=1 i,Z3=32i,它们所对应的点分别为A,B,C,若OC= xO甘yOB x, yCR,求x+y的值.解：由 OC= xOA yO 彳导 3-2i =x( 1 + 2i) +y(1 i) =(-x+y)+ (2xy)i ,-x + y = 3,2x y = - 2.x = 1, 解得y=4,
8、故 x+y= 5.1处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法2熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关重要以下三点请注意：(1)对于复数 ni ,如果my nCq或没有明确界定 m nCR),则不可想当然地判定 E n C R(2) 易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应( 注意原点除外) (3)对于a+bi(a, b C R为纯虚数的充要条件，只注意了 a= 0而漏掉了 bw 0.（其中 a, be R）.3复数的几何意义(1)(2) | z| 表
9、示复数 z 对应的点与原点的距离| z1z2|表示两点的距离，即表示复数Z1与Z2对应的点的距离.1 . （2015 山西四校联考）复数z=（_2i_i）2（i为虚数单位），z在复平面内所对应 的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解.因为z=i= i=i=i（3 =+ i 所以 z 在复平用牛四刀 z （ 2i） 2 4+4i1 3 + 4i2525 25i 见 z 仕星十43面内所对应的点为 去，,在第一象限.故选 A.25 2552 . （2015 女徽 江南十校 联考）右a+ bi =1 .2i （是虚数单位，a，bCR）,则ab =（）A. - 2B. - 1C.
10、 1 D . 25解：a+ bi = 1 M = 1 2i ,所以 a= 1, b= - 2, ab= 2.故选 A.3 .设a, be R, i是虚数单位，则“ ab=0”是“复数a+b为纯虚数”的（）A.充分不必要条件8 .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件“,一, b , 一，、， 八 一、 4b解：ab= 0? a = 0或b=0?复数a+;为纯虚数或头数，充分性不成立；反之，右 a+r 为纯虚数，则必有 a= 0且bw0,. ab= 0.故选B.4.下面是关于复数 z=-27的四个命题：1 + iP1： 1 z| =2，S： z2= 2i ,p3： z的共轲复数为
11、1 + i , p4： z的虚部为一1.其中的真命题为（）B. pi, P2A. p2, p3C. p2, p42解：z=- 1 + iD. p3, p42 (一 1 i ).- 1 i . z(1+i) (1i)的模| z| =艰,p1为假命题;=2i , p2为真；z = 1 + i,6为假；z的虚部为一1, p4为真.故选C.5. (2015 洛阳统考)设复数z=- 1-i(i为虚数单位)，z的共轲复数为z,则|(1 z) z| =()A. 10B. 2C. 2D. 1解：依题意得(1 z) z= (2 + i)( 1+ i) = 3+i ,则 |(1 -z) z| = | -3+ i|
12、 =4 (3) 2+12二回.故选A.6. (2014 江西)z是z的共轲复数，若 z+ z = 2, (z-z)i =2(i为虚数单位)，则z =()B. 一 1 一 iA. 1 + iD. 1-i解：设 z=a+bi( a, bC R), / z+z = 2, a= 1,(z z)i =2, . 2b=2, b=1, z=1-i.故选 D.7 . ( 2014 福建模拟)若x C C,则关于 x的一元二次方程x2 x + 1 = 0的根为解：由 x2x+1=0,得 = （1）24X1X1 = 30,ma 3m 2= 0,由题意可得解得m= 1或m= - 2.m2- 2m- 20,m2- 2
13、m- 20,0,即 m2- 2m- 2v1,解得1m0,11.已知关于x的方程2x + (m 2i)x + 2+m = 0 有头数根解：设x=k(kC R)是方程的实数根，则k2+(m 2i)k+2+m=0,根据复数相等的定义得3V m3.求实数m的值.2即(k + km 2) 十(2k+m)i = 0.k2 + km 2 = 0, 2k + m= 0.k = V2,k= V2,解之得厂或 二m= - 22m= 2 2.，方程的实数根为x = 42或x=42 ,相应的实数m的值为2后或 点.i是虚数单位，设复数z满足4z+2z= 3J3+ i ,复数3= sin 0 icos 8,求|z川|的取值范围.解：设 z=a+bi , (a, be R),则 z=abi. 代入 4z+2z=35+i,得 4(a+bi)+2(abi)=3/+i,即 6a+2bi =3m+i.1 b=.3 1.- z= -2+习.I z 兀0 2-2sin 0- w 4. . 0W | z 3 2.