平面解析几何高考复习知识点.docx

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1、平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条及X轴相交的直线/,如果把X 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线/重合时所转的最小正角记为那 么a就叫做直线的倾斜角。当直线/及x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围0,0。2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的 斜率左,即 =tana（aW90。）；倾斜角为90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点名（不认）、（，力）的直线的斜率为;（3）直线的方向向量“ =（1次），直线的方向向量及直线的斜率有何关系？（4）应用:证明三点共线：k

2、AB = kBC o例题：例1.已知直线l的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，己知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：， J总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用 =tan。在和上是增函数分别求解.当上 0时，；当上*。时，；当上二时，。=0；当归不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2.已知AABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，NBAC的平分线在x轴上，求边AB及AC所在直线的斜率.思路点拨：本题关键点是求出边AB

3、及AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求 出斜率.解析：如右图，由题意知/840二/0人0300直线AB的倾斜角为180。-30 =150 ,直线AC的倾斜角为30。，吏正/. ktanlSO = 3 kAc=tan300 = 3总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件直线向上 方向x轴正向小于180的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3.求经过点燃树，城）,可（油=0,幽wl）直线的斜率并判断 倾斜角为锐角还是钝角.思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.解析：经过两点的直线的斜率，即.即当好）0时，7为锐角，当劭*0时，凰为钝角.例4

4、、过两点改+ 2,-3）,刃3-乩2的直线？的倾斜角为45, 求以的值.【答案】由题意得：直线？的斜率化= 3145二1,故由斜率公式，解得a=-1或。二-2. 经检验/二T不适合，舍去.故。二-2.例5.己知三点A（a, 2）、B（3, 7）、C（-2,例a）在一条直线上,求实数a的值.国思路点拨：如果过点AB, BC的斜率相等，那么A, B, C三点共线.解析：?7-25 17 + % 7 + % ir - 3-a 3-a3 十25VA B、C三点在一条直线上，解之有a = 2或a = 2.二女忠二鼠（ 艮I19二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点（%,打）斜率为 ,则直线方程为

5、 丁-九=心-玉），它不包括垂直于X轴的直线。2、斜截式：已知直线在轴上的截距为匕和斜率攵，则直线方程为 y = E + Z?,它不包括垂直于x轴的直线。3、两点式：已知直线经过4（8,凹）、丹（多，为）两点，则直线方程为， 它不包括垂直于坐标轴的直线。4、截距式：己知直线在x轴和），轴上的截距为力,则直线方程为， 它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5、一般式：任何直线均可写成At+8y + C = 0 （A,B不同时为0）的形 式。提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率 不存在的直线，还有截距式呢？）；（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、 也可为0.直线两

6、截距相等O直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距 互为相反数O直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等0直 线的斜率为1或直线过原点。如过点AQ4）,且纵横截距的绝对值相等的 直线共有一条（答：3）注：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为，=履+ ；（2）知直线横截距与,常设其方程为x =,町，+ /（它不适用于斜率为0 的直线）；（3）知直线过点（X。,），。），当斜率攵存在时，常设其方程为 y = k（x-x0） + yQf当斜率k不存在时，则其方程为x = x0；(4)及直线/:Ar + 8.v + C = 0平行的直线可表示为Ar+8y + G=。；(5

7、)及直线l .Ax + By + C = 0垂直的直线可表示为Bx-Ay + G =。.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待 定系数法求解。三、两直线之间的位置关系1、距离公式(1 )平面上的两点Pi(x1,y1XP2(x2,y2)间的距离 艮%1 =1(对特别地，原点0 (0, 0)及任意一点的P(x,y) 的距离|OP|二尸W(2)点P(x,%)到直线Av + By + C = 0的距离；(3 )两平行线4 ：4+的+ G = 0,乙：。+By+g = 0间的距离为。2、直线4 :中+ 4y + G =。及直线l2 ：+ B2y + C2=0的位置关系：(1)平行0

8、AB2-45=0 (斜率)且BG-B2c尸0 (在)，轴上截距);(2)相交O A/,-A,8尸0；(3)重合0A层一外四=。且4G 层g=o；(4)垂直044 + 582=0提醒：(1)、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线 重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3、两直线夹角公式(1)九到乙的角是指直线九绕着交点按逆时针方向转到和直线乙重合所 转的角 6,。(。,4)且 tan6=(A/2 0-1)；(2) 4及1的夹角是指不大于直角的角且tan8= | | (陕-1)。提醒：解析儿何中角的问

9、题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M是直线2X-，-4 = 0及入轴的交点，把直线/绕点M逆时针方向旋转45 , 得到的直线方程是 (答：3x+y-6 = 0)例题：例 1、两条直线 /：(? + 3)x+2y = 53m , /2：4x+(5 + m)y = 16 ,求分别满足下列条件的小的值.合;(1)(及相交;6及I?平行;(3) h及12重/1及，2垂直；(5) /及夹角为45。.解：由得F+8？ + 7 = 0,解得町=一1， ni2 = -7 .由得 7 = 1.(1)当.工一1且7W巳7时，4及，2相交;当? = 一7时，.! /,;(3)当 ? = -1时，6及/,重合；

10、(4)当4/+姑2=0, BP(m+3)-4+2-(5+w?) = 0,时,/,1/,；(5)由条件有.将占，3代入上式并化简得加2+14? + 29 = 0,/ = -72近；nr + 2m 15 = 0 m = 5或3 .当 m = -7 25 或一5 或 3 时 及 夹角为45.例2当“为何值时，直线/1：( + 2)A + (l-6/)y-l = 0及直线Z2： G/-1)a + (2a + 3)y + 2 = 0 互相垂直？解：由题意，直线若1-4 = 0,即”1,此时直线小3工-1=0, G5y + 2 = 0显然垂直； 若加+ 3 = 0,即时，直线/x + 5y-2 = 0及直

11、线，2：5x-4 = 0不垂直；(3)若leO,且为+ 3 = 0,则直线有/2斜率即、.存在,，当4山时，Kh 7 ,即,综上可知，当4 = 1或4 = -1时，直线例3已知直线/经过点P(3,l),且被两平行直线小x + y + l = O和 /”x+y + 6 = 0截得的线段之长为5,求直线/的方程.解法一：若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x = 3,此时及小4 的交点分别为4（3,-4）和万（3,-9）,截得的线段A3的长网=卜4 + 9 = 5,符合题意,若直线/的斜率存在，则设宜线/的方程为），= &（,3） + 1.解方程组得，解方程组得.12 / 24解之，得 =0,即

12、欲求的直线方程为y = L综上可知，所求/的方程为x = 3或产1.解法二：由题意，直线/1、4之间的距离为，且直线/被平 等直线人所截得的线段A3的长为5 （如上图），设直线/及直线乙的夹 角为8,则,故。=45。.由直线小x + y + l = 0的倾斜角为135 ,知直线/的倾斜角为0或90 , 乂由宜线/过点P（3,l）,故直线/的方程为x = 3或,，=1.解法三：设直线/及,、，分别相交4再,力）、5（巧,为），则:% + X +1 = 0 ,占 + J ? + 6 = 0 .两式相减，得（Z 72）+（力-力）=5 .乂（为一七+（乃一力尸=25联立、，可得或由上可知，直线/的倾

13、斜角分别为0或900故所求直线方程为x = 3或），=1.例 4 已知直线/： x-2y+8 = O和两点4（2,0）、5（-2,-4）.在/上求一点P,使|PA| 十 |P目最小;(2)在/上求一点P,使|P4-陷最大.解：(1)如图,设A关于/的对称点为/(?，) m = 一2 , = 8 . A (-2,8)AB的的是x = 2, AB及/的交点是(-2,3),故所求的点为P(-2,3).(2)如下图，A3是方程，即)，=x - 2.代入/的方程，得直线及/的交点(12,10),故所求的点P为(12,10).四、对称问题一一代入法(中心对称和轴对称)1、中心对称(1)点关于点对称点P(即

14、为)关于(力)对的点为(2。-% ,2b - y0 )；(2)线关于点对称：(转化为点点对称)在已知直线上任意去两点，利用 中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再有两点式求出直线 方程，或者求出一个点，再利用两直线平行(注：线关于点对称的另一条 直线和已知直线平行)，由点斜式求出直线方程。特别的，直线x=a关于点P （ x0,y0）的对称直线为x = 2/- ；直线y=b 关于点P （两,九）的对称直线为y = 2%2、轴对称（1）点关于直线的对称问题：（1）点（x0,y0 ）关于x轴对称的点为（x0-y0 ）；（2）点（%,），（）关于y轴对称的点为（-入0，%）；（3）点（陶,先

15、）关于原点对称的点为（-工（），-九）； 点（/，%）关于丁 =工对称的点为（%，-%）；（5 ）点（如 y0 ）关于y = -x对称的点为（-y0-x0 ）（6）设点P （x0,y0关于直线y=kx+b的对称点叫力，/）则有由此求出 特别的，点P（丽,如）关于直线x二a的对称点为；点P （ a-0,y0 ）关于直线 y=b 的对称点为P（2a-xo，y。）Po,2b-y。）。（2）直线关于直线的对称问题：它的一般解题步骤是：L在所求曲线上选一点M（x,y）; 2.求出这 点关于中心或轴的对称点M （x,），o）及M（x,y）之间的关系；3.利用 /，凡）=0求出曲线g（x，F）=。直线关于直

16、线的对称问题是对称问题中 的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出儿种常见解 法，供大家参考。例题：试求直线关于直线，2：3x-y-3 = 对称的直线/的方程。解法1：（动点转移法） 在上任取点p（xJxp2）,设点p关于12的对称点为Qy）,则q-3=。， 4x + 3y + 9“5，3x + 4v-3- 4x + 3y + 9 3x + 4y-3 1一。又点P在乙上运动，所以x+）T = ,所以 5十 一5 一一 。即x 7），-1 = 0。所以直线/的方程是x _ 7y_l = 0。解法2：（到角公式法）x + y-1 = 0 x = 1解方程组囚-）-3 = 0 1产所以

17、直线的交点为A（l,0）设所求直线/的方程为） = k&T）,即依一）一改二0,由题意知，4到,2及到 3+1k3,1/的角相等，则1-3x1 1 + 347.所以直线/的方程是-7），-1 = 0。解法3：（取特殊点法）x + y-1 = 0 x = 1解方程组囱-）3 =。L = 所以直线1J的交点为A（l,0）在人上取点P （2, 1）,设点P关于,2的对称点的坐标为0（、，y）,则而点A, Q在直线/上，由两点式可求直线/的方程是“一7s-。解法4：（两点对称法）对解法3,在4上取点P （2, 1）,设点P关于2的对称点的坐标为，在4上 取点M（0, 1）,设点P关于A的对称点的坐标为

18、而N, Q在直线/上，由 两点式可求直线/的方程是x - 7），-1 =。解法5：（角平分线法）x + y-1 = 0x = 1解方程组皮一）3 = 0 b = 所以直线，小的交点为A（l,0）设所求直线的方程为：设所求直线/的方程为y=气、一1),即y-k=。.由题意知，12为的角平分线，在,2上取点P (0, -3),则点P到4的距10-3-11 10 + 3F=一 = ,= k =刀或k = _l 离相等，由点到直线距离公式，有：虫 “1 +人二 7攵=-1时为直线口 故。所以直线/的方程是7)1 = 例题：例1 ：已知点A (-2, 3),求关于点P (1, 1)的对称点B (x0,y

19、0)o分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。解：设点A (-2, 3)关于点P (1, 1)的对称点为B (x0,y0),则由中点坐标公式得解得 所以点A关于点P (1, 1)的对称点为B (4, -Do评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。例2 ：求直线3x-y-4 = 0关于点P (2, 1)对称的直线1的方程。分析：由已知条件可得出所求直线及已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y + b = O。解：由直线1及3x-y-4 = 0平行，故设直线1方程为3x-y + b = 0。由已知可得，点P到两条直线距离相等，得解得b = T0

20、,或b = Y (舍)。则直线1的方程为3x-y-10 = 0.评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线及已知直线平行且点P到两条直线的距离 相等。儿何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线3x-y-4 = 0上 取两个特殊点，并分别求其关于点P(2, -1)的对称点，这两个对称点的连线即为所求直 线。例3 ：求点A (2, 2)关于直线2x-4y + 9 = 0的对称点坐标。利用点关于直线对称的性质求解。解法1 (利用中点转移法)：设点A (2, 2)关于直线2x-4y + 9 = 0的对称点为A ( x0,y0 ), 则直线AA及已知直线垂直，故可设直线AA方程为

21、4x + 2y + c = 0,把A (2, 2)坐标代入, 可求得c = -12。二直线AA/方程为2x + y-6 = 0。由方程组解得AA中点M。由中点坐标公式得,解得x0=l,yo=4.，所求的对称点坐标为(1, 4)o评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。分析：设B (a, b)是A (2, 2)关于直线2x-4y + 9 = 0的对称点，则直线AB及1垂直，线段 AB中点在直线2x-4y + 9 = 0上。解法2 (相关点法)：设B (a, b)是A (2, 2)关于直线2x-4y + 9 = 0的对称点，根据直线AB 及1垂直，线段AB中点在直线2x-4y +

22、 9 = 0上，1 b2 1则有2 a 一 ：2-4+ 9 = 0,22解得 a = l,b = 4.所求对称点的坐标为(1, 4)o评注：中点在2x-4y + 9 = 0上；所求点及已知点的连线及2x-4y + 9 = 0垂直。例4 ：求直线L：x-y-2 = 0关于直线3x-y + 3 =。对称的直线1的方程。分析：设所求直线1上任一点为P (xy，)，利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对 称点坐标代入直线L方程进行求解。解：设所求直线1上任意一点P (x;yO (P。？)关于h的对称点为Q(X：%),3金一金 + 3 = 0,贝|J L v2 2 解得X - Xj又因为点Q在L上运动

23、,则X1-yj -2 = 0。-4x 工 3yJ9_3x，+ 4y，+ 3_2 = o,解得 7x，+ y，+ 22 = 0。即直线 1 的方程为 7x+ y + 22 = O。5评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线L上任取一点(非两直线交点)并求其关于直线1,的对称点，则该对称点及两直线交点的连线便是所求对称直线。五、圆的方程：1、圆的标准方程：(x-a)+(y-/?) = /。2、圆的一般方程：x2 + y2 +Dx + Ey + F=O(D2+ E2-4F 0)特别提醒：只有当D2+E24FO时，方程/ + / +/=0才表示圆，圆心为，半径为的圆。常见圆的方程圆心

24、在原点：x2 + y2 =r2(ro)； 过原点：(x-a)2 + (y-b)2 =a +b2 (2 +b2 W0)；圆心在a轴上：(工-4+)?=，(rWO)；圆心在y轴上：x2=r2 (r 0)；圆心在x轴上且过原点：(x-af +)，2 =/(w0)；圆心在y轴上且过原点：W+c,-gLswo)；及 x 轴相切：(xj)?+(y-Z?)2 =(/?0);及 y 轴相切：(x-6/) +(y-Z?)2 =a2 (a * 0)及两坐标轴都相切：+(y-Z?)2 =a2 (回=同工0)3、圆的参数方程：(8为参数)，其中圆心为(,b),半径为人 圆的参 数方程的主要应用是三角换元：/+)尸=/

25、-x = rcos6,y = rsin。； x2 + y2 x = r cos 6, y = r sin 6(0 r /7) o4 、A(N，y),3(,q,y2)为直径端点的圆方程(工一%)(工一)+ ()，一,)()%)=。例题例1求过两点41,4)、8(3,2)且圆心在直线,，=0上的圆的标准方程并判断 点P(2,4)及圆的关系.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x-)2+(y-5)2=/.，圆心在y = 0上，故/? = (). ，圆的方程为(工-。)2 +)=/ .又该圆过4(1,4)、8(3,2)两点.解之得： =1, r = 20.所以所求圆的方程为。+ 1尸+ / =20

26、 .解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(l,4)、8(3,2)两点，所以圆心C必在线段48的垂直平分线 /上，又因为，故/的斜率为1,又A8的中点为(2,3),故A8的垂直平分线 /的方程为:y-3 = x-2 即 x-y + l = 0.又知圆心在直线y = 0上，故圆心坐标为Ar = AC = 7(1 + 1)2+42 = V20 .故所求圆的方程为1 + 1尸 +)，2 = 20 .又点 PQ, 4)到圆心 C(-l, 0)的距离为=PC = 7(2 + 1)2+42 =y25r. 点P在圆外.例2求半径为4,及圆/ +产-4x-2y-4 = 0相切，且和直线y = 0相切的圆

27、 的方程.解：则题意，设所求圆的方程为圆圆C及直线,，=0相切，且半径为4,则圆心。的坐标为G3,4)或又已知圆/+2_4工_2,，_4 = 0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切,则 |C4| = 4 + 3 = 7 或|G4| = 4-3 = 1.(1)当 G(，4)时，(-2)2+(4-1)2=72,或(，-2)2+(4 1)2=产(无解), 故可得。=22、历. 所求圆 方程为 。-2 - 2M)2+(，-4)2=42, 或(x-2 + 2/6)2+G + 4)2=42 , 或 (x-2 + 2V6)2+(y + 4)2=42.例3求经过点A(0,5),且及直线x-2y =

28、。和2x+y = 0都相切的圆的方程.解：二圆和直线工一2丁 = 0及2x + y = 0相切， 圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心至IJ两直线x 2y = 0和2x+y = 0的距离相等.二两直线交角的平分线方程是x + 3y = 0或3x-y = 0 .又圆过点4(0,5),圆心。只能在直线3%-)，= 0上.设圆心C, 31) / C到直线2x + y = 0的距离等于|A(q, =产+(3/ 5)2 .J5化简整理得产-6/+ 5 = 0.解得：，=1或1=5 圆心是(1,3),半径为皿或圆心是(5,15),半径为56. 所求圆的方程为(x-l/+(y-3)2=5或(x-5)2+

29、(y-15)2 = 125 .例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段弧，其弧 长的比为3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线x-2)，=。的 距离最小的圆的方程.解：设圆心为P(a,)，半径为则尸到x轴、y轴的距离分别为网和由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90。，故圆截x轴所得弦 长为yJ2r .产=2b2又圆截y轴所得弦长为2./. r2=a2+i.又丁 P(a,)到直线x-2y = 0的距离为/. 5r =a-2b=a2 +4b2 -4ab a2 +4b2 -2(a2 +b2)=2b2-a2 = 当且仅当。=时取“二”号，此时.这时有或又

30、/ = W = 2故所求圆的方程为(X-1)2+()1)2=2或+ 1)2+()，+ 1)2=2六、点、直线及圆的位置关系1、点及圆的位置关系己知点 MG，%)及圆 C：(x-a + (y-/?)- =r(r 0),点 M 在圆 C 外= |CM|ro(Xo -a/+(y()r2 ；(2)点 M 在圆 C 内0 |CM|0)则圆半径为 r设圆心到直线的距离为4,则则直线及圆相离则d = rQ直线及圆相切则dcQ 直线及圆相交代数法：通过直线及圆的方程联立的方程组的解的个数来判断直线方程及圆的方程联立方程组8： + C = 0求解，通过解尸 +)厂 + Dx+Ey+ F = 0的个数来判断:（1

31、）当方程组有2个公共解时（直线及圆有2个交点），直线及圆相交;（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线及圆只有1个交点），直线及圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线及圆没有交点），直线及圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为,圆心。到直线1的距离为d,则直线及圆的位置关系满足以下关系：相切Od=r A =0：相交Ud 0：相离 dr A x+y + F = O ( (x-a)2 +(y-b)2 =/?2 )外一点(%,%)所引圆的切线的长为+ Ey。+ F(+ Go -R-)；例题：1 .已知圆0：1+炉=5和点力(1,2),则过/且及圆。相切的直线及两坐 标轴

32、围成的三角形的面积等于.解析：依题意，过力(1,2)作圆，+/ = 5的切线方程为x+2y=5,在x轴上的截距为5,在y轴上的截距为引 切线及坐标轴围成的三角形面积S=衣|乂5=与答案:Y2 .过原点。作圆/+76x8y+20 = 0的两条切线，设切点分别为尸、0, 则线段尸。的长为.解析：圆的标准方程为(x3尸+54尸=5,可知圆心为(3, 4),半径为小.如图可知，|=5,PC .6=/25-5 = 2/5. tanNRT=5.在 RtZiar 中， CZz 乙OC PM= OP PC,:PM=23个邓=2.:.PQ=2PM=4.答案：4 3 .若直线3x+4y+m=0及圆/+/2x+4y

33、+4 = 0没有公共点，则实数 加的取值范围是.解析：将圆/+/2x+4y+4 = 0化为标准方程，得(x1尸+3+2尸=1,圆心为(1, -2),半径为1.若直线及圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，29 / 24即d=3X1 + 4X ( - 2)+0 卬一5答案：(一8,50) U (10, +8)1, 二成0或910.4 .已知直线p+2”=0及圆/+炉=万相切，其中出刀eV,且刀一成5,则满足条件的有序实数对(如)共有 个.解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2一 =，所 以m=3p=4n=49 n=8.(m=lf/=22一一成5,因为m,所以彳J Cn=l n=2

34、故有序实数对(R，M共有4个.答案：4个5 .直线ax-by- ba=O及圆/+炉一x3 = 0的位置关系是.解析：直线方程化为a(xl)+6(y+l)=0,过定点(1, 1),代入圆 的方程，左侧小于0,则定点在圆内，所以直线及圆总相交.答案：相交 6.已知向量 a=(cos。，sin a), b= (cos B, sin), a 及 6 的夹角为60 ,直线 xcos。+ysin。=0 及圆(x+cos )+(p+sin ) = 5的位置关系是解析：cos60c =cos。 cos cos a cos B +sin a d= + sin Q sin I sin =cos ( a ),案：相

35、离yjcos ci +sin2 ci=工答27 .已知：以点7)&WR，力WO)为圆心的圆及X轴交于点。、A,及y 轴交于点。、B,其中。为原点.(1)求证：Q46的面积为定值；设直线尸一2才+4及圆。交于点M, N、若0M= ON,求圆。的方程.4解：证明：圆。过原点0, Wd+:.设圆。的方程是(才一力22 c 八 44+ (y-;1=-+不，令 x=0,得 = 0,先=;；令 p=0,得刘=0, xz=2t.11 4：.S=OA 0B=X j-! X 21=4,即期S的面积为定值.(2) OM= ON, CM= CN,二 0C垂直平分线段必：%v=2, ：.koc=12 1二.直线%的方

36、程是y=x.解得：1=2或t 2.乙L Lj当廿=2时，圆心。的坐标为(2, 1), 0C=邓,此时圆心。到直线尸2x+4的距离d=,圆。及直线p=-2x+4相交于两点.当力=一2时，圆心。的坐标为(-2, -1), OC=群,此时圆心。到直 线y= -2x+4的距离d=2乖,圆。及直线尸一2x+4不相交，2=-2不符合题意舍去圆。的方程为(x2)?+(y11=5.七、圆及圆的位置关系(1)两圆位置关系的判定方法几何法：设两圆圆心分别为01，02,半径分别为r” r:, |O,O2| = t/o 八+=外离=4条公切线：=4 + G =外切=3条公切线；,一I v 八+ r2 o相交o 2条公

37、切线；4 =卜一引=内切=1条公切线；Ovdh -30内含o无公切线；外离相切相交内切内含代数法：判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来 解决。(方法同直线及圆位置关系的代数法)【一般不提倡用此法，太过繁 琐】(2)两圆的公共线定义：当两圆相交时，必有两个交点，那么过这两点交点的弦为圆的公共点。公共弦所在直线方程设圆G ：/ + y2 + Ax + Ey + =0C2: x2 + y2 + D2x + E2y + F2 =0若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是用-得（R - 4口+（ - G）y+（G - 吊）二若圆ci及C2相交，则式为公共弦所在的直线方程若圆C1及

38、C2外（内）切，则式外（内）切线的方程若圆C1及C2相离（外离或内含），则式为圆的Cl、C2相离的直线例题：例1.若圆，+/=4及圆/+/+2即-6 = 0 Q0）的公共弦的长为2小, 则 x2y+4 = 0.Lf+p2x+10y24 = 0（2）由（1）得 x=2p4,代入寸+/+2x+2y8 = 0 中得：/-2y=0.X=-4fx=O或4,即月(一4,0), 6(0,2),ly=0ly=2又圆心在直线尸一x上，设圆心为必(x, X),则|物| = |网,解得X-3, 3),，。肥(才+30+(y-3)2=10.例 4 已知圆 Y + y - 2mx + 4y + 序-5 = 0,圆 G：

39、/ + / + 2x-2my + nf - 3 = 0,卬为何值时，(1)圆G及圆G相外切；(2)圆G及圆C内含.【解析】对于圆C,圆G的方程，经配方后C： (x - in) + (y + 2)2 = 9, G： (x + I)2 + (y - in) = 4.(1)如果G及G外切，则有, + 1尸+(，+ 2)2=3 + 2,所以苏+ 3s - 10 = 0,解得m = 2或-5.(2)如果G及G内含，则有0+ 1尸+(?+2)23-2,所以方+ 3卬+ 20,得-2 V/V - 1.所以当卬二-5或S=2时，心及C外切；当-2V/V - 1时，C及G内含.例5求过直线x + y + 4=0

40、及圆/+ / + 4x - 2y - 4 = 0的交点且及y二x相切的圆的方程.【解析】设所求的圆的方程为e+7+ 4x - 2y - 4 + X (x + p +4) = 0.联立方程组,.0 +)广 +4x-2y-4 + N(.T+y + 4) = 0得：x1 +(1 + /)刀 + 2(/1 1) = 0.因为圆及y二x相切，所以二0.即(I + 2 + 8a -)= 0 贝)=3故所求圆的方程为寸+ / + 7x + p + 8 = 0.例6求过两圆寸+ / + 6x - 4 = 0求/+ / + 6y - 28 = 0的交点, 且圆心在直线x - y - 4 = 0上的圆的方程.【解

41、析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两 己知圆的圆心分别为(-3, 0)和(0, -3).则连心线的方程是x+ y+3 = 0.由 解得.所以所求圆的圆心坐标是(-3).设所求圆的方程是a; + y - x + 7y + m = 0由三个圆有同一条公共弦得功二-32.故所求方程是1+ / - x + 7y - 32 = 0.例7.已知圆。的方程为父+/=1,直线4过定点月(3,0),且及圆。相切.(1)求直线B的方程；(2)设圆。及x轴交于产、。两点，是圆。上异于尸、0的任意一点， 过点力且及x轴垂直的直线为乙，直线FV交直线右于点P ,直线QV交 直线4于点1 .求证：以尸Q为直径的圆。总过定点，并求出定点坐 标.解：(1),直线A过点月(3,0),且及圆G 1