线性代数复习题.doc

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1、第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是( ). (A) (B) (C) (D)3. 阶行列式的展开式中含的项共有( )项.(A) 0 (B) (C) (D) 4( ).(A) 0 (B) (C) (D) 25. ( ).(A) 0 (B) (C) (D) 26在函数中项的系数是( ). (A) 0 (B) (C) (D) 27. 若，则 ( ). (A) 4 (B) (C) 2 (D) 8若，则 ( ). (A) (B) (C)

2、(D)9 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为, 则( ).(A) 0 (B) (C) (D) 210. 若，则中第一行元的代数余子式的和为( ).(A) (B) (C) (D)11. 若，则中第四行元的余子式的和为( ).(A) (B) (C) (D)12. 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解. ( ) (A) (B) (C) (D)二、填空题1. 阶排列的逆序数是.2在六阶行列式中项所带的符号是.3四阶行列式中包含且带正号的项是.4若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于.5. 行列式.6行列式.7行列式.8如果，则.9已知某5阶行列式的值为

3、5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10行列式.11阶行列式.12已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13设行列式，为D中第四行元的代数余子式，则.14已知， D中第四列元的代数余子式的和为.15设行列式，为的代数余子式，则，.16已知行列式，D中第一行元的代数余子式的和为.17齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.18若齐次线性方程组有非零解，则=.三、计算题1. ; 2；3解方程； 4； 5. ()； 6. 7. ； 8; 9. ; 10 11.四、证明题1设，证明：.2.3.4.5设两两不等

4、，证明的充要条件是.参考答案一单项选择题A D A C C D A B C D B B二填空题1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.三计算题1； 2. ；3. ; 4. 5. ; 6. ;7. ; 8. ;9. ; 10. ;11. .第二章 矩阵一、单项选择题1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( )。(a)(b) (c) (d) 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( )时，B=C。(a) AB =BA (b) (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、

5、C可逆 3.若为n阶方阵，为非零常数，则( )。(a) (b) (c) (d) 4.设为n阶方阵，且，则( )。 (a) 中两行(列)对应元素成比例 (b) 中任意一行为其它行的线性组合(c) 中至少有一行元素全为零 (d) 中必有一行为其它行的线性组合 5.设，为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。(a) (b) (c) (d) 6.设为n阶方阵,为的伴随矩阵,则( )。(a) (a) (b) (c) (d) 7. 设为3阶方阵,行列式,为的伴随矩阵,则行列式( )。(a) (b) (c) (d) 8. 设，为n阶方矩阵,则下列各式成立的是( )。(a) (b) (c) (d) 9. 设

6、，均为n阶方矩阵,则必有( )。(a) (b) (c) (d) 10.设为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。（a） (b) (c) (d) 11.如果，则（ ）。 （a） (b) (c) (d) 12.已知，则（ ）。 （a） (b) （c） （d） 13.设为同阶方阵，为单位矩阵，若，则（ ）。（a） （b） （c） （d） 14.设为阶方阵，且，则（ ）。（a）经列初等变换可变为单位阵（b）由，可得（c）当经有限次初等变换变为时，有（d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设为阶矩阵，秩，则（ ）。（a）中阶子式不全为零 （b）中阶数小于的子式全为零（c）经行初等变换可化为 （d

7、）为满秩矩阵 16.设为矩阵，为阶可逆矩阵，则( )。(a)秩() 秩() (b) 秩()= 秩()(c) 秩() 秩() (d) 秩()与秩()的关系依而定 17.，为n阶非零矩阵，且，则秩()和秩()( )。(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n，一个等于n 18.n阶方阵可逆的充分必要条件是( )。(a) (b) 的列秩为n(c) 的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 19.n阶矩阵可逆的充要条件是( )。(a) 的每个行向量都是非零向量(b) 中任意两个行向量都不成比例(c) 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n维非零向量，均有

8、二、填空题1.设为n阶方阵,为n阶单位阵,且,则行列式_ 2.行列式_ 3.设2，则行列式的值为_ 4.设，且已知，则行列式_ 5.设为5阶方阵，是其伴随矩阵，且，则_ 6.设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为_ 7.非零矩阵的秩为_ 8.设为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量，均有，则的秩为_9.若为15阶矩阵，则的第4行第8列的元素是_ 10.若方阵与相似，则_ 11._ 12._ 三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).1) ； 2) ；3) ,其中 ； ；4) ,其中；5) ,其中；2.设为阶对称阵,且,求. 3.已知,求. 4.设,求. 5.设,求一秩为2的方阵,使.

9、6.设,求非奇异矩阵,使. 7.求非奇异矩阵,使为对角阵. 1) 2) 8.已知三阶方阵的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为,求矩阵. 9.设,求. 四、证明题1. 设、均为阶非奇异阵,求证可逆.2. 设(为整数), 求证可逆.3.设为实数,且如果,如果方阵满足,求证是非奇异阵.4. 设阶方阵与中有一个是非奇异的,求证矩阵相似于.5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不

10、大于1.10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。第二章参考答案一：1. a；2. b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二1. 1或-1；2. 0；3. -4；4. 1；5. 81；6. 0；7. 1；8. 100；9. ；10. I；12. 0；11. .三、1.1）、；2）、；3）、；4）、；5）、. 2. 0；3. ；4.； 5.不唯一；6.；7. 1）、. 2)、；8.；9.第三章 向量一、单项选择题1. ， 都是四维列向量，且四阶行列式,则

11、行列式 2. 设为阶方阵，且,则（ ）。 3. 设为阶方阵，则在的个行向4. 阶方阵可逆的充分必要条件是（ ） 5. 维向量组线性无关的充分条件是( )都不是零向量 中任一向量均不能由其它向量线性表示 中任意两个向量都不成比例 中有一个部分组线性无关6. 维向量组线性相关的充要条件是( ) 中至少有一个零向量 中至少有两个向量成比例中任意两个向量不成比例 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. 维向量组线性无关的充要条件是( )使得中任意两个向量都线性无关中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示中任一部分组线性无关8. 设向量组的秩为,则( ) 中至少有一个由个向量组成的部分组线性无关中存在由

12、个向量组成的部分组线性无关中由个向量组成的部分组都线性无关中个数小于的任意部分组都线性无关9. 设均为维向量,那么下列结论正确的是( )若,则线性相关若对于任意一组不全为零的数,都有,则线性无关若线性相关,则对任意不全为零的数,都有若,则线性无关10. 已知向量组线性无关，则向量组（ ）线性无 线性无关线性无 线性无关11. 若向量可被向量组线性表示，则（ ）存在一组不全为零的数使得存在一组全为零的数使得存在一组数使得对的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）若有不全为零的数，使得，则线性无关若有不全为零的数，使得，则线性无关若线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示任何个维向量必线性

13、相关13. 设是向量组，的线性组合，则=（ ） 14. 设有向量组，则该向量组的极大线性无关组为（ ） 15. 设，下列正确的是（ ） 二、填空题1. 若，线性相关，则t=。2. n维零向量一定线性关。3. 向量线性无关的充要条件是。4. 若线性相关，则线性关。5. n维单位向量组一定线性。6. 设向量组的秩为r,则 中任意r个的向量都是它的极大线性无关组。7. 设向量与正交，则。8. 正交向量组一定线性。9. 若向量组与等价，则的秩与的秩。10. 若向量组可由向量组线性表示，则。11. 向量组，的线性关系是。12. 设n阶方阵,则.13. 设，若是标准正交向量，则x和y的值.14. 两向量线

14、性相关的充要条件是.三、计算题1. 设，问（1）为何值时，能由唯一地线性表示？（2）为何值时，能由线性表示，但表达式不唯一？（3）为何值时，不能由线性表示？2. 设，问： （1）为何值时，不能表示为的线性组合？（2）为何值时，能唯一地表示为的线性组合？3. 求向量组，的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。4. 设，t为何值时线性相关，t为何值时线性无关？5. 将向量组，标准正交化。四、证明题1. 设，试证线性相关。2. 设线性无关，证明在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。3. 设线性相关，而线性无关，证明能由线性表示且表示式唯一。4. 设线性相关，线性无关，求证不能

15、由线性表示。5. 证明：向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。6. 设向量组中，并且每一个都不能由前个向量线性表示，求证线性无关。7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。8.设是线性无关向量组，证明向量组也线性无关。第三章向量参考答案一、 单项选择1.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a 二、填空题 1. 5 2.相关 3. 4.相关 5.无关 6.线性无关 7. -1 8.无关 9.相等 10. 11.线性无关 12. 0 13. 14.对应分量

16、成比例三、解答题 1. 解：设 则对应方程组为 其系数行列式（1）当时，方程组有唯一解，所以可由唯一地线性表示;（2）当时，方程组的增广阵 ， ，方程组有无穷多解，所以可由线性表示，但表示式不唯一;（3）当时，方程组的增广阵，方程组无解，所以不能由线性表示。2.解:以为列构造矩阵（1）不能表示为的线性组合；（2）能唯一地表示为的线性组合。3.解：为一个极大无关组，且, 4.解：，当时线性相关，当时线性无关。5.解：先正交化：令 =再单位化：，为标准正交向量组。四、证明题1.证：线性相关2.证：设则线性无关其系数行列式=当n为奇数时，只能为零，线性无关；当n为偶数时，可以不全为零，线性相关。3.

17、证：线性相关 存在不全为零的数使得若，则，（）与线性无关矛盾所以 于是 能由线性表示。设 则-得线性无关 即表示法唯一4.证：假设能由线性表示线性无关，线性无关线性相关，线性表示， 能由线性表示，从而线性相关，矛盾不能由线性表示。5.证：必要性 设向量组线性相关 则存在不全为零的数使得不妨设，则， 即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设则，所以线性相关。6.证：用数学归纳法 当s=1时，线性无关， 当s=2时，不能由线性表示，线性无关， 设s=i-1时，线性无关 则s=i时，假设线性相关，线性无关， 可由线性表示，矛盾，所以线性无关。得证

18、7.证：若向量组中有一部分组线性相关，不妨设（rs） 线性相关，则存在不全为零的数使得于是因为0，0不全为零所以线性相关。8.证：设则 因线性无关，所以解得所以向量组线性无关。第四章 线性方程组一、单项选择题1设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ ）(A) (B) (C) (D) 2设是矩阵，则线性方程组有无穷解的充要条件是（ ） (A) (B) (C) (D) 3设是矩阵，非齐次线性方程组的导出组为，若，则（ ） (A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解 (C) 必有非零解 (D) 必有唯一解4方程组无解的充分条件是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)

19、 45方程组有唯一解的充分条件是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46方程组有无穷解的充分条件是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 47 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是导出组的基本解系，为任意常数，则的通解是（ ）(A) (B) (C) (D) 8设为矩阵，则下列结论正确的是（ ）(A) 若仅有零解 ，则有唯一解 (B) 若有非零解 ，则有无穷多解 (C) 若有无穷多解 ，则仅有零解 (D) 若有无穷多解 ，则有非零解9设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件为（ ）(A) 的列向量线性无关 (B) 的列向量线性相关 (C) 的行向量线性无关 (D)

20、的行向量线性相关10线性方程组 （ ）(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解二、填空题1. 设为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量，均有，则的秩为 .2. 线性方程组仅有零解的充分必要条件是 .3. 设和均为非齐次线性方程组的解（为常数），则 .4. 若线性方程组的导出组与有相同的基础解系，则 .5. 若线性方程组的系数矩阵的秩为，则其增广矩阵的秩为 .6. 设矩阵的秩为，则的解向量组的秩为 .7. 如果阶方阵的各行元素之和均为，且，则线性方程组的通解为 .8. 若元齐次线性方程组有个线性无关的解向量，则 .9. 设，若齐次线性方程组只有零解，则

21、.10. 设，若线性方程组无解，则 .11. 阶方阵，对于，若每个维向量都是解，则 .12. 设矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的三个不同的解向量，若，则的通解为 .13. 设为矩阵，则有 个解，有 个线性无关的解.三、计算题1. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系，问是否是该方程组的一个基础解系？为什么？2. 设，已知的行向量都是线性方程组的解，试问的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？3. 设四元齐次线性方程组为 （）：1）求（）的一个基础解系2）如果是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。4. 问为何

22、值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。1） 2）5. 求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为 6. 设，求一个矩阵，使得，且。参考答案一、单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C二、填空题 1.100 2. 3.1 4. 5. 6. 7 7. （为任意实数） 8.0 9. 10. 11. 012. 13.无穷，三、计算题1. 是 2. 不能 3. 1） 2）4. 1）当时，无解；当时有唯一解：；当时有无穷多解：2）当时，无解；当时有唯一解：；当时有无穷多解：5. 6. 第五章 特征值与特征向量一

23、、单项选择题1. 设,则的特征值是( )。(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,22. 设,则的特征值是( )。(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 设为阶方阵, ,则( )。(a) (b) 的特征根都是1 (c) (d) 一定是对称阵4. 若分别是方阵的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是的特征向量的充分条件是( )。(a) (b) (c) (d) 5. 若阶方阵的特征值相同,则( )。(a) (b) (c) 与相似 (d) 与合同6. 设为阶可逆矩阵, 是的特征值,则的特征根之一是( )。(a)

24、(b) (c) (d) 7. 设2是非奇异阵的一个特征值,则至少有一个特征值等于( )。(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/48. 设阶方阵的每一行元素之和均为,则有一特征值为( )。(a)a (b)2a (c)2a+1 (d) +19. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）。(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量10. 是阶矩阵与相似的( )。(a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件11. 阶方阵有个不同的特征根是与对角阵相似的( )。(a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要

25、而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件12. 设矩阵与相似,则的值分别为( )。(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,113. 设为相似的阶方阵,则( )。(a)存在非奇异阵,使 (b)存在对角阵,使与都相似于(c)存在非奇异阵,使 (d)与有相同的特征向量14. 若阶方阵与某对角阵相似,则( )。(a) (b) 有个不同的特征值(c) 有个线性无关的特征向量 (d) 必为对称阵15. 若相似于,则( )。(a) (b) (c) 及与同一对角阵相似 (d) 和有相同的伴随矩阵16. 设,则与相似的矩阵是( )。(a) (b) (c) (d) 17. 下列说法不妥的是 （

26、 ）(a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零(b)属于一个特征值的向量也许只有一个 (c)一个特征向量只能属于一个特征值 (d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵18. 若，则下列结论错误的是 （ ）(a) (b) (c) 存在可逆矩阵，使 (d) 二、填空题1. n阶零矩阵的全部特征值为_。2. 设为n阶方阵，且，则的全部特征值为_。3. 设为n阶方阵，且(m是自然数)，则的特征值为_。4. 若，则的全部特征值为_。5. 若方阵与相似，则_。6. 若n阶矩阵有n个相应于特征值的线性无关的特征向量，则_。7. 设三阶矩阵的特征值分别为-1,0,2,则行列式 。8. 设二阶矩阵满足，则

27、的特征值为 。9. 特征值全为1的正交阵必是 阵。10. 若四阶矩阵相似，的特征值为，则= 。11. 若，则 ，= 。三、计算题1. 若阶方阵的每一行元素之和都等于,试求的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.2. 求非奇异矩阵,使为对角阵. 1) 2) 3. 已知三阶方阵的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为,求矩阵.4. 设，有一个特征向量，求的值，并求出对应于的特征值。5. 设，有一个特征向量，求的值。6. 设有三个线性无关的特征向量，求满足的条件。7. 求正交阵，使为对角阵，其中。8. 设三阶矩阵的特征值为-1,2,5，矩阵，求（1）的特征值；（2）可否对角化，若可对角化求

28、出与相似的对角阵；（3）求.9. 已知矩阵与相似，（1） 求；（2） 求一个满足的可逆阵。10. 设,求.四、证明题1. 设是非奇异阵, 是的任一特征根,求证是的一个特征根,并且关于的特征向量也是关于的特征向量.2. 设,求证的特征根只能是.3. 设阶方阵与中有一个是非奇异的,求证矩阵相似于.4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.5. 设n阶矩阵，如果，证明：-1是的特征值。6. 设，证明。7. 设是n阶矩阵分别属于的特征向量，且，证明不是的特征向量。第五章 参考答案一、单项选择题1.a 2.c 3.c 4.d 5.b 6.b 7.b 8.d 9.b 10.c 11.b 12.a 13.a 1

29、4.c 15.b 16.b 17.a 18.a二、填空题1.0 2.1,-1 3.0 4.0,1 5.4I 6. 7.7 8.1,2 9.单位 10.24 11.-17,-12三、计算题1. 2.(1) (2) 3.4. 5. 6.7 8.(1)-4,2,-10 (2), (3)8 9.（1） （2）特征值2,2,6；10.第六章 二次型一、单项选择题1阶对称矩阵正定的充分必要条件是（ ）。 存在阶阵C，使负惯性指数为零 各阶顺序主子式为正2设为n阶方阵，则下列结论正确的是（ ）。A必与一对角阵合同 若A的所有顺序主子式为正，则A正定 若A与正定阵B合同，则A正定 若A与一对角阵相似，则A必与

30、一对角阵合同3设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。A可逆正定 A的所有元素为正 任给4方阵A正定的充要条件是（ ）。A 的各阶顺序主子式为正； 是正定阵；A的所有特征值均大于零； 是正定阵。5下列为二次型的是（ ）。 6 设A、B为n阶方阵，且则A=B的充要条件是（ ）。 ，7 正定二次型的矩阵为A，则( )必成立. A的所有顺序主子式为非负数 A的所有特征值为非负数 A的所有顺序主子式大于零 A的所有特征值互不相同8设A，B为n阶矩阵，若( )，则A与B合同. 存在n阶可逆矩阵且 存在n阶可逆矩阵，且 存在n阶正交矩阵，且 存在n阶方阵，且9下列矩阵中，不是二次型矩阵的为（ ）. 1

31、0下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） 11已知A是一个三阶实对称且正定的矩阵，那么A的特征值可能是（ ） 3，i, 1; 2, 1, 3; 2, i, 4; 1, 3, 4二、填空题1. 二次型的秩为 。 2二次型的矩阵为 。3 设，则二次型的矩阵为 。4若正定，则t的取值范围是 。5设A为n阶负定矩阵，则对任何均有 。6任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵 。7设是正定矩阵，则满足条件 。 8设实二次型则当的取值为_ 时，二次型是正定的。9二次型的负惯性指数是_。10二次型的矩阵为 。三、计算题1. 求一个非退化的线性变换，将下列二次型化为标准型。1）2） 2设，求非奇异矩阵C，使。3用配方法化

32、二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换4求非奇异矩阵P，使为对角阵. 四、证明题1. 已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为.()求矩阵A ； （II）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵.2设A、B为同阶正定矩阵，求证也是正定矩阵。3设A, B是同阶正定矩阵，试证AB也是正定矩阵。第六章 参考答案一、单项选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、填空题1. 3 2 3 ， 45 6合同 7 8 91 10三、计算题1 1） 2） 2 ，3解：令 即 则：令 即 即使4 四、证明题1 解：由题意A的特征值为1,1,0.且为特征值0的特征血量 所以1的特征向量若为时有 解方程即得Q的前2列为， 41