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1、巧作线面垂直-解决立体几何问题的金钥匙汉川二中 方雄波 万小艳在立体几何中，求空间的距离和角占有非常重要地位，具体说就是点到平面、 直线到平面、平面到平面的距离以及直线与平面所成的角、 平面与平面所成的角， 学生在用传统几何法作出这些距离和角时普遍感到非常棘手。 笔者认为归根结底 求解它们都可以和直线与平面垂直建立密切的联系。那么，怎样有效地帮助学生分析图形，作出线面垂直并且逐步培养他们良好 的空间思维能力呢？笔者就教学实践中偶得的一点体会谈出来与大家探讨。比 如，要求点P到平面a距离，AB （这里PCAB）与平面a所成的角，二面角a -1 - B （这里PC B ）,首先要在平面a内选定直线
2、a ,然后能作（或找）出直线 a垂直于一个辅助平面9 ,当然要有PC 8 ,这样就有平面a，平面8且设交线 为b,最后就是过点P作交线b的垂线PH,就得到PHL平面a。其清晰思维流程可参考下图：卜面我就求点面距、线面角、二面角问题通过三个例子作具体讲解例 1:已知 AB，平面 BCD,AB=2,CD=5,并 且4BCD的面积为573,求点B到平面ACD的 距离。解析：要过相关点B作平面ACD的垂线 首先在平面ACD内现有的三条直线AC、AD、 CD中选定CD,因为我们至少已知 CD LAB且 BC AB;然后过B作BEXCD于E,并连结AE,则CD ，面ABE ,于是就有面ABE，面ACD且交
3、线为 AE；最后过相关点B # BHXAE,则BH，面ACD。例2:如图在长方体ABCDAiBiCiDi 与平面AiBCDi所成的角的正弦值。解析：要作BiDi与平面AiBCDi所成 的角，可考虑怎样作出平面AiBCDi的垂线在平面AiBCDi内现有的四条直线 AiB, BC, CDi, AiDi 中选定 AiDi （或 BC）因 为容易知道AiDi上面AiBiBA （不选AiDi ，面DiCiCD）因为这里有相关点Bi C BiDi 且 BiC 平面 AiBiBAo于是得出面 AiDiCB，面AiBiBA且交线为 AiB;最后过Bi作交线AiB的垂线BiH,得到BiH ，面AiBCDi,连结
4、DiH,则/ BiDiH为所 求的线面角。中，AB=4,BC=3,AA i=5，试求 BiDi例3:在如图所示的几何体中，EAX 平面 ABC, DBL平面 ABC, AC，BC,且 AC=BC=BD=2AE , M 是 AB 的中点(i)求证：CMXEM;（2）求CM与平面CDE所成的角;（3）求二面角M-EC-D的大小解析：对于（3）求二面角M-EC-D时，选定 面CEM还是面CDE作为中心平面呢？关键是看能 否作出其所在平面的垂线，进一步说是看哪一个平 面中有某一条直线垂直于第三个平面！因为 CM AB ,于是有CM，面ABDE ,可选定面CEM作为 中心平面。这样因为有 CM，面ABD
5、E ,所以就有 面DEM，面CEM且交线为EM。这里由于边的关 系，根据勾股定理的逆定理有 EMXDM,所以到这 里我们就找到一条直线 DM与中心平面CEM垂直 并且D C面CDE。最后只需过M作MO，EC于点 O,并连接DO,则/DOM为所求二面角 M-EC-D的 平面角。对于（3）也可试着把另一个平面 CDE视作 中心平面，设法作（或找）出其垂线即可。例如可 按如图（2）所提供的解法思考：因为 CMXAB, 于是有CM上面ABDE,可得CM LED.过M作MF LED,则DEL面 CFM,我们就得到面 CDEXW CFM且交线为CF,然后过M作MH LCF,那么MH ，面CDE。最后过点M
6、作MOLEC于点O,并连接HO,则/HOM为所求二面角M-EC-D的平面角。由以上论述，可见作好线面垂直在求解空间的距离和角时能起到事半功倍的效果，其中尤其把握好这两点：一是确定中心平面a内的直线a （如例1中的CD）； 怎样选定直线a呢？重要的一点就是看直线a是否和某些直线m（如例1中的AB）垂直，即充分利用已有的垂直关系。二是作（或找）出直线a垂直于另外一个平 面，从而进一步达到最核心的一点，就是作出面面垂直。这里往往要尽量围绕相关点P（如例1中的点B）再作一直线n （如例1中的BE）与直线a垂直，于是因为直 线a垂直m、n ,就得到直线a垂直平面9 。以上骜叙， 就是本人关于巧作线面垂直的一些粗浅的见解， 希望能引起各位 同仁的共鸣。