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1、类型类型 2 2与相似三角形有关的几何探究题与相似三角形有关的几何探究题 ： 5 5(2012安徽)如图 1，在ABC中，D，E，F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上，BDG 与四边形 ACDG 的周长相 等，设 BCa，ACb，ABc. (1)求线段 BG 的长； (2)求证：DG 平分EDF； (3)连接 CG，如图 2，若BDG 与DFG 相似，求证：BGCG. 1111 解：(1)D，E，F 分别是ABC 三边中点，DE AB，DE= AB，DF AC，DF= AC. 2222 又BDG 与四边形 ACDG 的周长相等， 即 BDDGBGACCDDGAG， BGACAG. ABA
2、Cbc BGABAG，BG. 22 bcbccb (2)证明：BG，FGBGBF ，FGDF.FDGFGD. 2222 又DEAB，EDGFGD. FDGEDG. DG 平分EDF. (3)证明：在DFG 中，FDGFGD，DFG 是等腰三角形 BDG 与DFG 相似，BDG 是等腰三角形 BDDG. CDBDDG.B，G，C 三点共圆 BGC90.BGCG. 2 6 6(2016合肥十校联考)如图 1，在四边形 ABCD 中，DAB 被对角线 AC 平分，且 AC ABAD，我们称该四边形 为“可分四边形”，DAB 称为“可分角” (1)如图 2，四边形 ABCD 为“可分四边形”，DAB
3、为“可分角”，如果DCBDAB，那么DAB120； (2)如图 3，在四边形 ABCD 中，DAB60，AC 平分DAB，且BCD150，求证：四边形 ABCD 为“可分四边 形”； (3)现有四边形 ABCD 为“可分四边形”，DAB 为“可分角”，且 AC4，BC2，D90，求 AD 的长 1 解： (1)提示： 由题意易知ADCACB， 则DACB， ACDB.DCBDAB， DAB 360120. 3 (2)证明：AC 平分DAB，DAB60， DACCAB30. DCB150 ，DCA150ACB. 在ADC 中，ADC180 DAC DCA 18030(150ACB)ACB， AC
4、DABC. AD AC 2 .AC ABAD. ACAB 又DACCAB， 四边形 ABCD 为“可分四边形” (3)四边形 ABCD 为“可分四边形”，DAB 为“可分角”， 2 AC 平分DAB，AC ABAD. ADAC DACCAB，.ACDABC. ACAB ACBD90. 在RtACB 中，AB AC BC 2 5. AC48 5 AC ABAD，AD. AB 2 5 5 2 22 22 7 7(2016淮北濉溪县一模)(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为 AB 上一点，DPCAB90，求 证：ADBCAPBP； (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为 A
5、B 上一点，当DPCAB 时，上述结论是否依然成立？说 明理由； (3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图 3，在ABD 中，AB6，ADBD5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边 AB 向点 B 运动，且 满足DPCA，设点 P 的运动时间为 t(秒)，当以 D 为圆心，DC 为半径的圆与 AB 相切时，求 t 的值 解：(1)证明：DPCAB90， ADPAPD90，BPCAPD90，即ADPBPC. ADPBPC. AD AP ，即 ADBCAPBP. BPBC (2)结论 ADBCAPBP 仍然成立 理由：BPDDPCBPC，BPDAADP， DP
6、CBPCAADP. DPCAB ，BPCADP. ADPBPC. AD AP ，即 ADBCAPBP. BPBC (3)过点 D 作 DEAB 于点 E. ADBD5，AB6，AEBE3. 由勾股定理可得 DE4. 以点 D 为圆心，DC 为半径的圆与 AB 相切， DCDE4.BCBDDC1. 又ADBD，AB. DPCAB. 由(1)、(2)的经验可知 ADBCAPBP. 51t(6t)，解得 t11，t25. t 的值为 1 或 5. 8 8已知：ABC 中，C90，ACBC，点M，N 分别在 AC，BC 上，将ABC沿 MN 折叠，顶点C 恰好落在斜边的 P 点上 (1)如图 1，当
7、MNAB 时，求证： PACM AMMC； PBCN PACM (2)如图 2，当 MN 与 AB 不平行时，还成立吗？请说明理由 PBCN 解：(1)证明：由折叠可知CMNNMP，CMPM. MNAB，CMNA，NMPMPA，即AMPA. MAMP. AMMC. 由可知CMNA45，CNMB45，AB45， MCNCAMBN，PMAPNB90. APMBPN. PA AMPACM . PBBNPBCN (2)成立理由： 过点 M，N 分别做 AB 的垂线，垂足分别为点 E，F. 由题意可知，CMPM，CNPN，MPN90， MPENPF90. MPEEMP90，EMPNPF. MPMEPE MEPPFN. PNPFNF AB45，MEAP，NFAB， MAE 和NFB 均为等腰直角三角形，即MEAE，NFBF. MEPFAEPF . PENFPEBF AEPEPFBFAPPB ，即. PEBFPEBF APPEPE . PBBFNF PAMPCM . PBPNCN