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1、名师精编 优秀教案第二章 圆锥曲线教案 曲线的交点教案教学目标1 .领会研究曲线间位置关系的方法及学会弦长的求法；2 .初步学会解析法，培养学生一般解题能力，渗透分类讨论的思想；3 .培养学生严谨的科学态度和积极探索的精神.教学重点与难点研究曲线与直线位置关系的解析方法为教学重点；弦长公式的推导为教学难点.教学过程一、复习并引入新课师：设直线11和12的方程分别是： A1x+B1y+C1=0 , A2x+B2y+C2=0 ,怎样通过方程来研究 11 与12的位置关系呢？生：从直线方程求出斜率；若斜率相等，则无交点；若斜率不相等则有交点.师：好！是一个好办法.但是，有局限性吗？生：有.当直线斜率
2、不存在时，此方法不能用.师：可以改进吗？生：可以.如一条斜率存在，一条不存在，则相交；如都不存在，则平行.师：非常好.但似乎有两个小缺点，一是方法不统一；二是当判断出直线有交点时，还要再去求交点.那交点又怎样求呢？生：（若学生答：“可解方程组”，则老师要顺水推舟，自然引出对“充要性”的谈话.）师：现在请大家考虑一下，直线上点的坐标与直线方程之间有怎样的关系？生：直线上点的坐标是方程的解；以方程的解为坐标的点在直线上.师：那两条直线的交点与两条直线的方程之间有什么关系？F生；两条直线的交点坐标是方程组,A逐+的解.B2y = 0.师：请大家更深一步地思考： 方程组有唯一解是两直线有交点的什么条件
3、？请说明理由. 生：（略.） 二、新课（一）直线与曲线的交点师：求两直线交点的方法能否推广到两曲线呢？大家讨论讨论.生：（回答略.主要从“曲线方程”的定义入手.）师：非常好，大家讨论得很热烈.根据大家的讨论，我想可以把大家的想法归结为3条，1.由曲线方程定义出发解释：两曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解；2 .方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点；3 .求曲线交点的代数法 （或解析法）就是求它们的方程组成的方程组的实数解.下面看看具体问百 例1求直线y = 3n-2与抛物线 =产的交点.题：2解（略.）（此例学生做.教师巡视，发现问
4、题及时解决.师：此题是求直线与抛物线的交点，其中直线y=3x-2是以“斜截式”表示的.请问直线经过哪个特殊点？生：经过点（0, -2）.师：好！大家对直线方程的掌握还不错，现在我把问题引申出来.名师精编 优秀教案引申：经过点（0, -2）的直线与抛物线=/有交点吗7有几个7生：从刚才例1可知，直线斜率为 3时有两个交点.师：反应很快嘛！但是，我们是讨论所有经过（0, -2）点的直线.生：那就把经过点（0, -2）的直线方程表示出来，联立方程组，讨论方程组的实数解.师：怎样表 示过点（0, -2）的直线？生：表示为“ y=kx-2，这是斜截卡I师：下面我们来看看过（0, -2）的直线与抛物线 =
5、1的交点个数式.2情况.（演示电脑动画）师：看过演示后，大家是否受到启发？说说自己的想法.生1:直线与抛物线的交点个数可以是一个、两个或没有（即0个）.生2:图2-13, 2-15, 2-17都有一个交点.但是总感觉图2-15与图2-13, 2-17还有些不一样.师：怎么不一样？我们再看看在这个运动过程中，点的运动特点.（再演示一遍）师：图2-15的一个交点与图 2-13, 2-17究竟有什么不一样呢？生：图2-13, 2-17是两个交点重合为一个，图2-15是因为直线与抛物线的对称轴重合.师：好！交点个数的问题从图上是看出来了.那刚才大家指出的方法该如何修正呢？生：把过（0, -2）的直线表
6、示为“ y=kx-2”忽略了斜率不存在的情况.应分类讨论： 1 0当斜率存 在时，设直线为y=kx-2,联立方程组，解之.2。当斜率不存在时， 直线与x轴垂直，记为x=0.的直线与-2）, （0师：现在就请大家动手算一算，在什么条件下，过.旬市蚌第-，有两个交点，1个交点没有交点？名师精编优秀教案_有唯一解（0,0）.即此时只有一个交（y =kK-2,1 37 = 2f ,解之得：k2或k-2时，有两个交点；k=2时，有1个交点；-2k0, = A0,的解的个数及直线与圆的位置关系三者间建立了怎样的关系?生：（答略）（演示：电脑动画一一直线与圆的位置关系）位置关系；相离判别H。 方程组解的个数
7、：方程我无解方程组有一解方程组有两解（熊两个相同解）（或荫个不同解）师：现在请大家把例 1,例2在解法上的相同之处总结一下.生：例1,例2都是把直线方程与曲线方程联立成方程组，通过消元变成一元二次方程，再通过解方程或根的判别式来解决问题.师：这两题在结果上有什么相同与不同吗？个；0生：相同之处：直线与抛物线，圆的交点，个数都是两个，一个，名师精编 优秀教案不同之处：直线与抛物线交点为1个时，有可能是切点， 即两个重合为一个； 也有可能就只有一个交点（当直线与对称轴平行时）.（二）弦长公式的推导师：通过刚才的两个例题， 大家基本掌握了求交点及交点个数的方法.现在我们来看看另一个与交点密切联系的问
8、题一一弦长问题.（从“圆的弦”引入介绍一下“曲线的弦”）例3求下列直线被抛物线y二g /截得的线段长.333y -b ； v = 3k + - ； y =.二HlM师：请问，怎样求线段长？生：利用两点间距离公式1d =必一叼产+ （力-丫工厂,（解略）要求先做第1个小题.（交点：（一1,!）， g, 4 n 4柩师：不求出交点是否可以求出弦长？生：也可以,因为d =1的-工了十的一力尸，只求出（町-*京）2与 （力功/就可以.3y（解略）解方程组（“得；/-0,1 2.33 nr所以（力-七,=（K1 -2）2 =16所以（x1-x2）2=（x1+x2）2 -4x1x2=16 ,(通过比较发现
9、后一方法简捷，然后让大家动手做. 在解时，会有以下式子出现：(y1-y2)2=(x1 -x2)2 X 32;(y1-y2)2 = (x1-x2)2 Xk2.于是有，= J/1-年乂(1 + 32)于d=21M总结，并引导学生得出结论：弦长的求法，方程组 上一一元二次方程 判加 刑犯)长幺式d=J(XT2)t + k)2.师：若消元时消掉 x,得到的是关于 y的一元二次方程，求出的是(y1-y2)2.那么弦长公式又会是什么样?生；(猜想J d=卜-力尸(42).名师精编优秀教案，师：为什么？能否证明？生；从丫=0+另可得：X(证略.)(或两曲线的位置关系)问题，以及求弦长的三、小结通过本节课我们
10、看到，求曲线交点的问题，交点个数 问题，都是通过研究方程组的解来解决问题.这就是解析几何的基本指导思想.四、布置作业:L求直线2工-5y+5 = 0与曲线y =-W的交点.2.求经过两条曲线 x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线的方程.设计思想在解析几何中，求“曲线交点”的问题，并非解析几何的重要问题.但是，有很多问题要通过 “求交点”才能解决；也就是说，“求交点”是解决问题的一种工具.更重要地，“求交点”的问题中蕴含了解析几何的基本思想一一通过研究方程或方程组的解的问题来解决几何问题.因此，本节课的“教学目标”和“教学重点”就定在了 “研究曲线与直线位置关系的解决
11、方法”这一点上.并且在教学过程中突出了 “直线(曲线)方程一一方程组一一方程的解一一曲线的交点”这样一个转 化过程来突出解析几何的基本思想.在完成这一目标的过程中，注意了能力的培养.首先再说明的是，由于还未系统学习“圆锥曲线”，因此，在设计例题和选择曲线的过程中受到很多限制.但是，本节课的主要任务并不能因为曲线类型的限制而受到制约，所以，我们选择了在学习二次函数时见过的抛物线y=ax2+bx+c和同学们都非常熟悉的图. 例1设计为求交点的题目， 没有什么特别的地方， 主要是让学生熟悉求交点 的方法.但是在解题后把问题引申为：“过定点的直线与抛物线的交点”问题，以及例 2的“平行直线系与图的交点
12、问题”就把“求交点”的问题放在了 “运动变化”的图形中.这样一来，就 把“求交点”的问题提高了一个高度：一方面，再一次强调了解析几何的基本思想；另一方面， 通过直线的运动变化，首先说明的是“直线与曲线位置关系”在变化，同时，“解的个数”也在变化，从而体现了 “数形之间”的联系，也就是数形结合思想的体现.通过自制软件的演示增强 了直观性；同时，通过演示“过定点的直线系与抛物线的交点”，还让学生发现自己在处理这一问题时的漏洞，从而需“分类讨论”.从而培养了学生的能力.至于“求弦长的公式”则是“求交点”问题的应用，主要是说明“求交点”是一种工具.为了让 学生自己总结出求弦长公式，特意设计了33孑3条
13、直线；Qy = k +; y = 3k + 7 =值-5,第1条，k = l,有(町- WMHx2)2=(y1 -y2)2;第 2 条,k=3 ,从而(y1 -y2)2=(x1 -x2)2 X 32;第 3 条,很自藕精】例-力=(均-而/,从畔廿艮懿峭出席d=而百而码.并进一步提问，“若先求出(yi-y2)2,弦长公式会是什么样？ ”学生很容易就通过直线方程得出&三而公式d =与8= 7嬴:5从形式上的统一体现了数学中的“对称美，同时，“求交点”的问题作为一种工具， 还反映出解析几何中的一种技巧一一设而不求，这在“弦长公式”中就是一种体现；而在以后解决有关“曲线的弦的中点轨迹问题”时，就常设出交点而 不求.“曲线交点”这一课，重要在于它蕴含着解析几何的基本思想.本教案的设计力图体现这一思想，并通过 学生的主动参与来体现教学过程中学生的主体作用，培养学生的能力.