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1、2.2.1椭圆的标准方程教学案 教学目标： 1理解椭圆的定义及有关概念； 2掌握椭圆的标准方程； 3掌握椭圆的标准方程的推导过程； 4. 视觉展示及多媒体演示，使学生容易观察分析. 教学重点： 1.本节的重点是掌握椭圆的定义和标准方程； 2.使学生学会通过观察实验探索分析、归纳出椭圆的定义. 教学难点： 论讨总结出标准方程的推导及椭圆定义中常数加以限制的原因是本节的难点 教学过程： 一、创设情景 (1)给出椭圆的一些实物图片： 天体运行图、汽车油罐的横截面这是实际生活中 图形， 如何用现有的工具画出图形？并用几画何板演示椭圆的形成过程， 让学生对椭圆先有 一个大概认识，从而使学生学习有了方向，
2、能更好地进行以下学习,通过实物，吸引学生的 注意力，提高参与程度. （2） 手工操作演示椭圆的形成： 取一条定长的细绳， 把它的两端固定在画图板上的F 1,F2 两 点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画 出一个椭圆 二、新课讲授 (一)问题提出 问题 1：在这个运动过程中，什么是不变的？ 不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） (二)椭圆定义： 平面内与两个定点F 1,F2 的距离之和等于常数（大于| F 1F2 |）的点的轨迹叫作椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 P即|PF 1,F2 ；焦距：| F
3、 1F2 | 1 | PF 2 | F 1F2 |；焦点：F 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： F1F2 （1）两个定点-两点间距离确定 （2）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段） （三）椭圆的方程的推导 问题2：你能利用上一节学过的坐标法求出椭圆的方程吗？ 取过焦点F 1,F2 的直线为x轴，线段F 1F2 的垂直平分线为y轴 设P(x, y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c 0）. 则F 1 (c,0),F 2 (c,0)，又设 M 与F 1,F2 距离之和等于2a(2a 2c)（常数）. P P PF 1 P
4、F 2 2a, 又 PF 1 (x c)2 y2 ， (x c)2 y2(x c)2 y2 2a， 化简，得(a2c2)x2 a2y2 a2(a2c2)， 22 由定义2a 2c,a c 0 y P F1 O F2 x 令a c b代入，得b2x2 a2y2 a2b2， 222 x2y2 两边同除a b得 2 2 1. ab 22 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F 1 (c,0)F 2 (c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中a c b 问题 3：若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程吗？ 如果椭圆的焦点在y轴上 （选取方式不同， 调换x, y轴） 焦点则变成
5、F 1 (0,c),F 2 (0,c), 222 x2y2 只要将方程 2 2 1中的x, y调换，即可得 ab y2x2 2 1，也是椭圆的标准方程 2ab y P F2 O F1 x （四）椭圆的标准方程： （1）焦点在焦点在 x轴上，焦点是F 1 (c,0)F 2 (c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 x2y2 2 1 其中a2 c2b2 2ab （2）焦点在焦点在 y轴上，焦点是F 1 (0,c),F 2 (0,c)，中心在坐标原点的椭圆方程 y2x2 2 1 其中a2 c2b2 2ab x2y2 1(m 0,n 0,m n)就不能肯定焦点在哪个轴上； （3） 方程由于m与n的 mn
6、大小关系判断焦点在那个坐标轴上. 三、典例分析 例 1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、 （4，0） ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于10； x2y2 解： （1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2a 10,2c 8, a 5,c 4, b2 a2c2 52 42 9. x2y2 1 所以所求椭圆标准方程为 259 点评：题（）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、 （0，4）其结果如何？ 四、课堂练习 1.判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出a,b,c的值 x2y2x2y2x2y2 1；1；1；4y29x2 36 224242 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) a=4,b=3,焦点在x轴； （2）a=5,c=2,焦点在y轴上. 五、回顾总结 让学生进行课堂小结. （）记住椭圆的定义. （2）理解方程推导的全过程， 数形结合思想，用代数方法解决几何问题的思想和方法. （3）掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法. （4）课后思考问题：这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系，并为后面 用待定系数法求椭圆方程做好准备.