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1、第三讲第三讲质数、合数的综合运用质数、合数的综合运用 基础班基础班 1. 1.7 7 个连续质数从大到小排列是个连续质数从大到小排列是a、 b、 c、 d、 e、 f、 g。已知它们的和是偶数，那么。已知它们的和是偶数，那么d是多少？是多少？ 解：解：7 7。提示：因为。提示：因为 7 7 个质数的和是偶数，所以这个质数的和是偶数，所以这 7 7 个质数不可能都是奇数。我们知道是偶数的质数只个质数不可能都是奇数。我们知道是偶数的质数只 有有 2 2，因此这，因此这 7 7 个质数中必有一个是个质数中必有一个是 2 2。又因为。又因为 2 2 是最小的质数，并且这是最小的质数，并且这 7 7 个
2、连续质数是从大到小排列个连续质数是从大到小排列 的，所以的，所以g 2。其他。其他 6 6 个数从大到小依次是个数从大到小依次是 1717、1313、1111、7 7、5 5、3 3。这样。这样d 7 2. 2.4 4 个一位数的乘积是个一位数的乘积是 360360，并且其中只有一个是合数，那么在这，并且其中只有一个是合数，那么在这4 4 个数字所组成的四位数中，最大的个数字所组成的四位数中，最大的 一个是多少？一个是多少？ 解：解：85338533。提示：将。提示：将360360 分解质因数得分解质因数得 360=2360=2222233335 5，它是，它是 6 6 个质因数的乘积。因为题
3、述的四个数个质因数的乘积。因为题述的四个数 中只有一个是合数，所有该合数必至少为中只有一个是合数，所有该合数必至少为 6-3=36-3=3 个质因数的积，又只有个质因数的积，又只有 3 3 个个 2 2 相乘才能是一位数，所以相乘才能是一位数，所以 这这 4 4 个乘数分别为个乘数分别为 3 3，3 3，5 5，8 8，所组成的最大四位数是，所组成的最大四位数是 85338533。 3. 3.三个质数的乘积恰好等于它们的和的三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 7 倍，求这三个质数。倍，求这三个质数。 解：解：3 3，5 5，7 7。提示：三个质数中必定有一个为。提示：三个质数中必定有一个为
4、7 7，其余两个数的乘积等于它们的和加上，其余两个数的乘积等于它们的和加上 7 7，可试算知，可试算知， 这两个数为这两个数为 3 3 和和 5 5。 4. 4.在放暑假的在放暑假的 8 8 月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期 都是质数。这四个质数分别是这个合数减去都是质数。这四个质数分别是这个合数减去 1 1，这个合数加上，这个合数加上 1 1，这个合数乘上，这个合数乘上 2 2 减去减去 1 1，这个合数，这个合数 乘上乘上 2 2 加上加上 1 1。问：小明是哪几天在姥姥家住
5、的？。问：小明是哪几天在姥姥家住的？ 解：解：8 8 月月 5 5 日、日、6 6 日、日、7 7 日、日、1111日、日、1313 日这五天。提示：由题意可知这个合数最大是日这五天。提示：由题意可知这个合数最大是 1616，1616 以内相差以内相差 2 2 的质数有的质数有 3 3 和和 5 5、5 5 和和 7 7、1111 和和 1313，那么对应的合数是，那么对应的合数是 4 4，6 6，1212。经检验这个合数是。经检验这个合数是 6 6，四个质数分别，四个质数分别 是是 5 5，7 7，1111，1313。 5. 5.A A，B B，C C 为为 3 3 个小于个小于 2020
6、的质数，的质数，A+B+C=30A+B+C=30，求这三个质数。，求这三个质数。 解：解： 因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是 2 2，另两个奇质数之和，另两个奇质数之和 为为 2828，又因为这三个数都要小于，又因为这三个数都要小于 2020，所以只能为，所以只能为 1111和和 1717，所以这三个质数分别是，所以这三个质数分别是 2 2，1111，1717。 提高班提高班 1. 1.某质数加某质数加 6 6 或减或减 6 6 得到的数仍是质数，在得到的数仍是质数，在 5050 以内你能找出几
7、个这样的质数？把它们写出来。以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来。 解：有六个这样的数，分别是解：有六个这样的数，分别是 1111，1313，1717，2323，3737，4747， 2.72.7 个连续质数从大到小排列是个连续质数从大到小排列是a、 b、 c、 d、 e、 f、 g。已知它们的和是偶数，那么。已知它们的和是偶数，那么d是多少？是多少？ 解：解：7 7。提示：因为。提示：因为 7 7 个质数的和是偶数，所以这个质数的和是偶数，所以这 7 7 个质数不可能都是奇数。我们知道是偶数的质数只有个质数不可能都是奇数。我们知道是偶数的质数只有 2 2，因此这，因此这 7 7 个质数中
8、必有一个是个质数中必有一个是 2 2。又因为。又因为 2 2 是最小的质数，并且这是最小的质数，并且这 7 7 个连续质数是从大到小排列的，个连续质数是从大到小排列的， 所以所以g 2。其他。其他 6 6 个数从大到小依次是个数从大到小依次是 1717、1313、1111、7 7、5 5、3 3。这样。这样d 7 3.A3.A，B B，C C 为为 3 3 个小于个小于 2020 的质数，的质数，A+B+C=30A+B+C=30，求这三个质数。，求这三个质数。 1 解：因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是解：因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中
9、偶数只能是2 2，另两个奇质数之和为，另两个奇质数之和为 2828，又因为这三个数都要小于，又因为这三个数都要小于 2020，所以只能为，所以只能为 1111和和 1717，所以这三个质数分别是，所以这三个质数分别是 2 2，1111，1717。 4.44.4 个一位数的乘积是个一位数的乘积是 360360，并且其中只有一个是合数，并且其中只有一个是合数，那么在这那么在这 4 4 个数字所组成的四位数中，个数字所组成的四位数中，最大的一最大的一 个是多少？个是多少？ 解：解：85338533。提示：将。提示：将360360 分解质因数得分解质因数得 360=2360=2222233335 5，
10、它是，它是6 6 个质因数的乘积。因为题述的四个数中个质因数的乘积。因为题述的四个数中 只有一个是合数，所有该合数必至少为只有一个是合数，所有该合数必至少为 6-3=36-3=3 个质因数的积，又只有个质因数的积，又只有 3 3 个个 2 2 相乘才能是一位数，所有这相乘才能是一位数，所有这 4 4 个乘数分别为个乘数分别为 3 3，3 3，5 5，8 8，所组成的最大四位数是，所组成的最大四位数是 85338533。 6. 6.三个质数的乘积恰好等于它们的和的三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 7 倍，求这三个质数。倍，求这三个质数。 解：解：3 3，5 5，7 7。提示：三个质数中必定有
11、一个为。提示：三个质数中必定有一个为 7 7，其余两个数的乘积等于它们的和加上，其余两个数的乘积等于它们的和加上 7 7，可试算知，可试算知， 这两个数为这两个数为 3 3 和和 5 5。 7. 7.在放暑假的在放暑假的 8 8 月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期 都是质数。这四个质数分别是这个合数减去都是质数。这四个质数分别是这个合数减去 1 1，这个合数加上，这个合数加上 1 1，这个合数乘上，这个合数乘上 2 2 减去减去 1 1，这个合数，这个合数 乘上乘上 2 2 加上加
12、上 1 1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？。问：小明是哪几天在姥姥家住的？ 解：解：8 8 月月 5 5 日、日、6 6 日、日、7 7 日、日、1111 日、日、1313 日这五天。提示：由题意可知这个合数最大是日这五天。提示：由题意可知这个合数最大是 1616，1616 以内相差以内相差 2 2 的质数有的质数有 3 3 和和 5 5、5 5 和和 7 7、1111和和 1313，那么对应的合数是，那么对应的合数是 4 4，6 6，1212。经检验这个合数是。经检验这个合数是 6 6，四个质数分别是，四个质数分别是 5 5，7 7，1111，1313。 精英班精英班 1.71.7 个连续质
13、数从大到小排列是个连续质数从大到小排列是a、 b、 c、 d、 e、 f、 g。已知它们的和是偶数，那么。已知它们的和是偶数，那么d是多少？是多少？ 解：解：7 7。提示：因为。提示：因为 7 7 个质数的和是偶数，所以这个质数的和是偶数，所以这 7 7 个质数不可能都是奇数。我们知道是偶数的质数只有个质数不可能都是奇数。我们知道是偶数的质数只有 2 2，因此这，因此这 7 7 个质数中必有一个是个质数中必有一个是 2 2。又因为。又因为 2 2 是最小的质数，并且这是最小的质数，并且这 7 7 个连续质数是从大到小排列的，个连续质数是从大到小排列的， 所以所以g 2。其他。其他 6 6 个数
14、从大到小依次是个数从大到小依次是 1717、1313、1111、7 7、5 5、3 3。这样。这样d 7 2. 2.第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛在第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛在 20052005 年年 3 3 月月 1313 日（星期日）举行第一试，我们把符合下列条日（星期日）举行第一试，我们把符合下列条 件的日期称为“第一希望日”件的日期称为“第一希望日” ：年份的各位数字之和是质数（例如：年份的各位数字之和是质数（例如 2+0+0+5=72+0+0+5=7） ，月份数是质数（例如，月份数是质数（例如 3 3） ， 日数是质数（例如日数是质数（例如 1313） ，这一日是星期日。
15、在，这一日是星期日。在 20052005 年年 4 4 月月 1010（星期日）举行第二试，我们把符合下列条（星期日）举行第二试，我们把符合下列条 件的日期称为“第二希望日”件的日期称为“第二希望日” ：年份的各位数字之和是：年份的各位数字之和是7 7 的倍数（例如的倍数（例如2+0+0+5=72+0+0+5=7） ，月份数与日期数之和，月份数与日期数之和 （例如（例如 4+10=144+10=14）是）是 7 7 的倍数，这一天是星期日。那么的倍数，这一天是星期日。那么 20052005 年有“第一希望日”年有“第一希望日”_天，天， “第二希望“第二希望 日”日”_天。天。 （第二届“希望
16、杯”培训题）（第二届“希望杯”培训题） 解：解： “第一希望日”“第一希望日”7 7 天，天， “第二希望日”“第二希望日”4 4 天。提示：天。提示：20052005 年“第一希望日”有：年“第一希望日”有：2 2 月月 1313 日、日、3 3 月月 1313 日、日、 5 5 月月 2929 日、日、7 7 月月 3 3 日、日、7 7 月月 1717 日、日、7 7 月月 3131 日、日、1111 月月 1313 日；日； “第二希望日”有：“第二希望日”有：4 4 月月 3 3 日、日、4 4 月月 1010 日、日、4 4 月月 1717 日、日、4 4 月月 2424 日。日。
17、 3.43.4 个一位数的乘积是个一位数的乘积是 360360，并且其中只有一个是合数，那么在这，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 4 个数字所组成的四位数中，最大的一个数字所组成的四位数中，最大的一 个是多少？个是多少？ 解：解：85338533。提示：将。提示：将360360 分解质因数得分解质因数得 360=2360=2222233335 5，它是，它是6 6 个质因数的乘积。因为题述的四个数中个质因数的乘积。因为题述的四个数中 只有一个是合数，所有该合数必至少为只有一个是合数，所有该合数必至少为 6-3=36-3=3 个质因数的积，又只有个质因数的积，又只有 3 3 个个 2 2
18、相乘才能是一位数，所有这相乘才能是一位数，所有这 4 4 个乘数分别为个乘数分别为 3 3，3 3，5 5，8 8，所组成的最大四位数是，所组成的最大四位数是 85338533。 2 4. 4.三个质数的乘积恰好等于它们的和的三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 7 倍，求这三个质数。倍，求这三个质数。 解：解：3 3，5 5，7 7。 提示：三个质数中必定有一个为提示：三个质数中必定有一个为 7 7，其余两个数的乘积等于它们的和加上，其余两个数的乘积等于它们的和加上 7 7，可试算知，可试算知， 这两个数为这两个数为 3 3 和和 5 5。 5. 5.在放暑假的在放暑假的 8 8 月份，小明
19、有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是 质数。这四个质数分别是这个合数减去质数。这四个质数分别是这个合数减去 1 1，这个合数加上，这个合数加上 1 1，这个合数乘上，这个合数乘上 2 2 减去减去 1 1，这个合数乘上，这个合数乘上 2 2 加加 上上 1 1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？。问：小明是哪几天在姥姥家住的？ 解：解：8 8 月月 5 5 日、日、6 6 日、日、7 7 日、日、1111 日、日、1313 日这五天。提示：由题意可知这个合数最大是日这五天。提示：由题意可知这个合数最大是 1616，1616 以内相差以内相差 2 2 的质数有的质数有 3 3 和和 5 5、5 5 和和 7 7、1111和和 1313，那么对应的合数是，那么对应的合数是 4 4，6 6，1212。经检验这个合数是。经检验这个合数是 6 6，四个质数分别是，四个质数分别是 5 5，7 7，1111，1313。 3