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1、第二章课后作业【第1题】解：由题可知消费者对糖果颜色的偏好情况(即糖果颜色的概率分布)，调查者取500块糖果作为研究对象，则以消费者对糖果颜色的偏好作为依据，500块糖果的颜色分布如下表1.1所示：表1.1理论上糖果的各颜色数橙色黄色红色棕色绿色蓝色150100100505050由题知r=6, n=500,我们假设这些数据与消费者对糖果颜色的偏好分布是相符, 所以我们进彳T以下假设：原假设：H。：类A所占的比例为PiPi0(i 1,.,6)其中Ai为对应的糖果颜色，Pi0(i 1,.,6)已知，61Pi0 1则2检验的计算过程如下表所示：颜色类别ninPi0(n 叩八片/叫。A11721503
2、.2267A21241005.7600A3851002.2500A441501.6200A536503.9200A642501.2800合计5005002_=18.0567在这里r 6。检验的p值等于自由度为5的2变量大于等于18.0567的概率。在 Excel 中输入“ chidist (18.0567,5)”，得出对应的 p值为 p 0.00287620.05,故拒绝原假设，即这些数据与消费者对糖果颜色的偏好分布不相符。【第2题】解：由题可知，r=3, n=200,假设顾客对这三种肉食的喜好程度相同，即顾客 选择这三种肉食的概率是相同的。所以我们可以进行以下假设：1原假设 Ho : pi-
3、(i 1,2,3)32则检验的计算过程如下表所示：肉食种奥ninpi(ni np)2/npi猪肉8566.675.03958牛肉4166.679.88374羊肉7466.670.80589合计200200215.72921在这里r 3。检验的p值等于自由度为2的2变量大于等于15.72921的概率。在 Excel 中输入“ chidist (15.72921,2)”，得出对应的 p 值为 p 0.00038410.05,故拒绝原假设，即认为顾客对这三种肉食的喜好程度是不相同的。【第3题】解：由题可知，r=10, n=800,假设学生对这些课程的选择没有倾向性，即选各门课的人数的比例相同，则十门
4、课程每门课程被选择的概率都相等。所以我们 可以进行以下假设：原假设 Ho：Pi 0.1(i 1,2,10)则2检验的计算过程如下表所示:类别(课程)ninpi0(ninpic)2/ npi0174800.4500292801.8000383800.1125479800.0125580800.0000673800.6125777800.1125875800.3125976800.20001091801.5125合计8008002 5.125在这里r 10。检验的p值等于自由度为9的2变量大于等于5.125的概率。在 Excel 中输入 “ chidist (5.125,9)”，得出对应的 p 值
5、为 p 0.8232783490.05,故接受原假设，即学生对这些课程的选择没有倾向性，各门课选课人数的频率为 0.1。解：(1)由题可知，r=3, n=5606,假设1997年8月中国股民投资状况的调查数据和比较流行的说法是相符合。所以我们可以进行以下假设：原假设：H0：类A所占的比例为PiPi0(i 1,2,3)其中A(i 1,2,3)为股票投资中对应的赢、持平和亏，pio(i 1,2,3)已知，3i1Pi01则2检验的计算过程如下表所示：股票投资状况ninpi0(npi)2/npi0A11697560.62303.61213A217801121.2387.10082A321293924.
6、2821.24842合计560656062-3511.96137在这里r 3。检验的p值等于自由度为2的2变量大于等于3511.96137勺概率。在Excel中输入“ chidist (15.72921,2)”，得出对应的p值为p 00.05 ,故拒绝原假设，即认为1997年8月中国股民投资状况的调查数据和比较流行的 说法是不相符合的(2)解：由题知股票投资中，赢包括盈利 10%及以上、盈利10%以下，符合条件的股民共有151+122=273人；持平可以指基本持平，符合条件的股民共有 240 人；亏包括亏损不足10%和亏损10%及以上，符合条件的股民共有517+240=757 人。由题可知，r
7、=3, n=1270,假设2003年2月上海青年报上的调查数据和比较流行的说法是相符合。所以我们可以进行以下假设：原假设：Ho：类A所占的比例为PiPio(i1,2,3)其中A(i 1,2,3)为股票投资中对应的赢、持平和亏，Pio(i 1,2,3)已知，3i 1 Pi0 1则2检验的计算过程如下表所示:股票投资状况ninpi0(ninpi0)”npi0A1273127167.84252A22402540.77165A375788919.59955合计127012702 188.21372在这里r 3。检验的p值等于自由度为2的2变量大于等于188.21372勺概率。在 Excel 中输入 “
8、 chidist (188.21372,2)”，得出对应的 p 值为 p 00.05,故拒绝原假设，即认为2003年2月上海青年报上的调查数据和比较流行的说法 是不相符合的【第5题】解：由题意，我们将“开红花”、“开白花”和“开粉红色花”分别记为Ai,A2,4,并记Ai所占的比例为pi(i 1,2,3),本题所要检验的原假设为：22Ho : pi p , p2 q , p3 2pq其中p q 1,这些pi都依赖一个未知参数p o在原假设Ho成立时的似然函数为224 / 2 .3660108132L(p) (p ) (q ) (2pq) p (1 p)精选范本则对L(p)取对数得lnL(p) 1
9、081np 1321n(1 p)从而有对数似然方程1n L(p) 108 32 0P p 1 p即108(1 p) 132p 0据此求得p的极大似然估计? 0.45,从而得到R的极大似然估计 自pi(?),i 1,2,3。它们分别为0.2025 0.3025和0.49S由此得各类的期望频数的估计值n?i,i 1,2,3。它们分别为243 3632132.20和594所以统计量的值为_2_22(24 24.3)2(36 36.3)2(60 59.4)224.336.359.40.01224这里r=3, m=1 , r-m-1=1。检验的p值等于自由度为1的2变量。利用Excel可以算出 p值p
10、chidist (0.01224,1) 0.9118930.05,故接受原假设，即我们认为以上数据在0.05的水平下与遗传学理论是相符的【第6题】解：由题意，我们可以得到以下信息： 遗传因子的分布律为：(其中p+q+r=1 )遗传因子ABO概率pqr血型OABAB概率2 r2-p 2pr2-q 2qr2pq血型的分布律为:将“O”血型、“A”血型、“B”血型和“AB”血型这四类血型分别记为 A1,A4 ,并记A所占的比例为pi(i 1,4),本题所要检验的原假设为： 222Ho : Pi r , P2 p 2pr, P3 q 2qr, p42pq这些Pi都依赖两个未知参数p,q。在原假设Ho成
11、立时的似然函数为2、374 / 2436 / 213258L(p,q) (r) (p2pr) (q 2qr) (2pq)748436436 13213258(1p q)p (2 p2q)q (2 q2p) (2 pq)则对L(p,q)求对数得58 In 2 pqIn L(p,q) 748ln(1 p q) 4361np 436ln(2 p 2q) 132ln q 132ln(2 q 2 p)对In L(p,q)求偏导数得In L748p1 p qIn L748q1 p q58八0 p58 八0q436436 C 264 0 p 2 p 2q 2 q 2pc8721321320 -2p 2qq2
12、q 2p利用Mathematic瞰件求解(程序编码及运行结果见附录)解得p和q的极大似然估计为? 0.289,(? 0.100 ,从而得R的极大似然估计？ipi (亿 q), i1,.,4。它们分别为 0.37332 0.43668 0.13220和 0.05780 由此得各类的期望频数的估计值n?i, i 1,.,4。它们分别为373.32 436.68 132.20和57.8Q所以2统计量的值为2(374 373.32)2(436 436.68)2 (132 132.20)2 (58 57.80)2373.32436.68132.2057.800.003292这里r=4, m=2, r-m
13、-1=1。检验的p值等于自由度为1的2变量。有Excel可以算出 p 值为 p chidist(0.003292,1) 0.9542450.05,故接受 H。,我们认为以上数据与遗传学理论是相符的。附录程序代码：NSolve(-748)/(1pq)+436/p+(-436)/(2p2*q)+0+(-264)/(2-q-2*p)+58/p=0,(-748) /(1-p-q)+0+(-872)/(2-p-2*q)+132/q+(-132)/(2-q-2*p)+58/q=0,p,qMatrixFor m利用Mathematic歌件运彳T结果：Out21 /MatrixFormp1.56083q0.0
14、900929p0.209806q1.50996p0.722065q0.473295p0.288632q0.0999891注：在上述结果中由于p + q = 1-r 1 ,所以软件运行的结果中只有第四个解满足条件，即p和q的极大似然估计为? 0.289,中0.100。【第7题】解：由题知，在豌豆实验中，子系从父系（或母系）接受显性因子“黄色”和“青色”的概率分别为p和1-p,而子系从父系（或母系）接受显性因子“圆”和“有角”的概率分别为q和1-q。我们将豌豆实验中得到的“黄而圆的”、“青而圆的”、“黄而有角的”和“青而有 角的”这四类豌豆分别记为Ai, A2, A3, A4 ,则这四类豌豆的分布
15、律如下表所 示：豌豆类型A1A2A3A4概率pq(2 p)(2 q)_2q(2 q)(1 p)_2p(2 p)(1 q)22(1 p) (1 q)将豌豆类型A所占的比例记为R (i 1,4),则本题所要检验的原假设为:2Ho： pipq(2 p)(2 q),P2q(2 q)(1p)_2226p(2p)(1 q) ,p4(1 p) (1q)这些pi都依赖两个未知参数p,q。在原假设Ho成立时的似然函数为L(p,q)pq(2 p)(2 q) q(2 q)(1 p)2108p(2 p)(1 q)2101(1p)2(1 q)232p416q 423 ( 2 p)416(2 q)423 (1 p)280
16、 (1 q)266则对L(p,q)求对数得In L(p,q) 4161np 423lnq 4161n(2对In L(p,q)求偏导数得In L 416ppIn L 423qq即得出下列方程： _21112p _21112q解得p和q的极大似然估计为?ipi(?,c?), i 1,.,4。它们分别为p) 423ln(2 q) 280In(1 p) 266ln(1 q)416280 02 p 1 p423266 02 q 1 q2224p 846 02224q 832 00.511,(? 0.498 ,从而得pi的极大似然估计0.56923 0.17898 0.19157和 0.06023由止匕得各类的期望频数的估计值n?i, i 1,.,4。它们分别为316.489 99.511、106.511和33.489所以2统计量的值为2(315 316.489)2(108 99.511)2(101 106.511)2(32 33.489)2316.48999.511106.51133.4891.082564这里r=4, m=2, r-m-1=1。检验的p值等于自由度为1的2变量。利用Excel 可以算出p值为p chidist(1.082564,1) 0.2981250.05 ,故接受H。,我们认为观察数据与这样一个遗传学的模型是相符的。