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1、机器人技术基础三级项目报告设计题目：两自由度串联机器人分析与设计指导教师：赵永杰学生姓名：citycars学号：学128888邮箱： 院系：机械电子工程系汕头大学机械电子工程系2012年6月17 日汕获大号SIIANIGU UNIVEEiSITY三级项目报告 一刘柳权-09124055目录1 .前言3.2 .运动学模型 4.3 .机器人的位置及速度分析 5.3.1 建立机器人位置输入输出方程 53.2 建立机器人的速度关系及推导出雅可比矩阵 53.3 机器人的位置反解 5.3.4 机器人的速度反解 7.4 .机器人的速度各项同性分析及设计 84.1 速度各项同性分析 8.4.2 速度各向同性设
2、计求解 104.3 求解及分析1.04.4 综合分析125 .结语1.36附录13附录1:位置反解程序14附录2:速度反解程序15附录3:速度各向同性程序 15两自由度串联机器人分析与设计【摘要】 通过建立两自由度串联机器人位置输入输出方程，建立两自由度串联机器人的速度关系，推导出雅可比矩阵，分析两自由度串联机器人的速度各向同 性的条件，设计出一各向同性的构型。关键词 位置方程速度关系 雅可比矩阵 各向同性、,一 、.1 .刖百随着现代科学技术的迅猛发展，特别是由于微电子技术、电子计算机技术的迅猛发展，机器人更加广泛地应用于各个领域。 工业机器人靠自身动力控制能力 来实际各种功能，大都用于简单
3、、重复、繁重的工作，如上、下料，搬运等，以 及工作环境恶劣的场所，如喷漆、焊接、清砂和清理核废料等。本课程设计旨在 通过工业机器人的一个小分支-两自由度串联机器人，其输入输出方程、雅可 比等的分析，以及对于速度各向同性的分析和设计，对工业机器人有初步的了解, 为以后从事工业机器人相关工作奠定基础。3三级项目报告 一刘柳权-091240552 .运动学模型图1平面两自由度串联机械人如图1所示，为一平面两自由度串联机械人，由两个关节组成，两连杆长度 分别al和a2,两旋转关节轴平行，关节1运动范围为0-180 ,关节2运动范围 为-135。135。，机器人连杆的设计参数如表1所示。表1:平面两自由
4、度串联机器人连杆的设计参数i关节变量角度连杆长度10-180800mm2日2-135 135500mmS汕虢大号S（LVC1（JU 1VI. RS IIY3 .机器人的位置及速度分析3.1 建立机器人位置输入输生方程如图1所示，建立关节坐标位置关系，建立其末端位置方程x= a1cos a +a2 cos（由 +4）4 y =a1 sin 61+a2sin（+仇）（1）z = 03.2 建立机器人的速度关系及推导由雅可比矩阵对（1）式进行求一次导，可得机器人末端的速度关系Vx I a a1 sin 入。a2 sin( A %)Vy J a1cos11 a2cosc1-2)f2 sin( 2 a2
5、 cosc1 Z)(2)5-a1 sin 工-a2 sin(z 12) a1cos% a2 cos(z %)由（2）式可得出其雅可比矩阵为(3)-a2sin(01 +% a2 cos(91 +%) /3.3 机器人的位置反解根据机器人杆长及运动范围，给定机械人末端能够到达的位置，求出相应的司和为。给定机器人末端位置1000p = 1000, 0 J由式（1）,利用MATLA嗷学工具软件进行求解：迭代过程：汕获大号SIIANIGU UNIVEEiSITY三级项目报告 一刘柳权-09124055MaxLine searchDircticnalFirst-orderIterF-countf (x)c
6、onst raintsteplengthderivativeoptimality Procedure032. 44e+0060)62. )3071*+00fi01-2. 68t+0063. 42e+00629L. dl6UH-00601-8.22rK051. 14e+00631253791BQ1-I. 14e+0061. &6e-H)06 Hessian modified twice41521767501-8.22e+0055. 74e+0055L815224S-0.090661-3. 77t+053,9e+005621935。*I-0.33131-3+ 32e+0052. 43e+00572
7、444464.1-0, 5286I2. 9e+Q052. le-H)05S273534.29-0. 81141-2. 2e+0056. lle+004930138.934-0.91291-6.18*+004I. 4Se+00410332.97334-0.932117. 04e+0011. 59e+00311360. 000320161-0, 93591-1, 37 &H-Q0319. 712393.54095e-0OS-0.9361-21.40. 3631342I. 70S43e-01l-0,9351-0,3450. 00679运行结果：a =0.9568688530155021.420228
8、053071181fvag =1.705426440094345e-011exitflag =5grad =0.0067834835229270.002460163316428hessian =1.0e+006 *2.019995434907774 0.6199675397656330.619967539765633 0.499768808381879结果表明：二0.956868853015502/- 180 = 54.82.=1.420228053071181/二 180 =81.37exitflag = 5,表明迭代程收敛性，结果有效对应于反解得到的0、2，在设计参数范围内，有效。机器人末
9、端位置误差为 fvag =1.705426440094345e-011 ,在一般工业应用场景下，误差约等于0,满足使用要求。3.4机器人的速度反解给定机器人末端运动速度根据式(2)、(3)Vx I a a1 sin-a2 sin(i1 z)Vy | ；a1cos11 a2 cosc12)可得T/xjT-a2sinC1 - i2a2 cos(二2)-a2 sin(81 +% a2 cos(91 +%) j-a1sin01 -a2 s访(81+82) g1cos61 +a2 cos(4 +%)利用MATLAB求解，结果如下：雅可比矩阵：Jac =-59.130410988495868 -34.60
10、8657583898840 -18.804108570748898 -36.086573960968380雅可比广义逆矩阵：Jacg =-0.024333019845132 0.0233364672610160.012679528611304 -0.039871378912005对应的角速度：w =7汕获大号ILbn(JUl：NV：i5ITY三级项目报告 一刘柳权-091240550.213433620927854-0.942550795134078口口 怆 0.2134rad /s即： 1 =；0.9426rad/s此结果表示为，机器人杆长a1=800mm, a2=500mm,末端位置在(1
11、00, 1000)时，要求末端的运动速度为|=,20 所对应的仇、仇的角速度。/ 一皿通过以上式子，可以通过反解求出在机器人末端所能到达的工作位置上，给定目标位置及运行速度，求解出所对应的关节控制参数，即 斗、日2的角速度，从 而达到控制机器人完成目标动作的目的。4.机器人的速度各项同性分析及设计4.1 速度各项同性分析对于两自由度串联机器人，其中重要的一项指标是各向同性，各向同性的机 器人其灵巧程度是最好的。在设计其机械结构时，应尽量使其各向同性。对于两 自由度串联机器人，其速度各向同性的条件推导如下：#汕获大号SIIANIGU UNIVEEiSITY三级项目报告 一刘柳权-09124055
12、(8)9如上图所示，此机器人为一平面两自由度机器人，其末端位置输入输出方程为:(4)x = a1 cos-1 a2 cosg &) y = a1 sin -1 a2 sin(-2)z = 0(4)式两边求一次导，得Vxa1sin d一a2sin(d +%)=vy(a1 cos 4 +a2 cos(“ 十82)a1 sin 1一 a2sin(耳。2a2 cos( +%) J j(5)(5)式得出其雅可比矩阵为:-a1sin4 -a2 sin(4+日2) a1cos 日1 +a2 cos区 +%)(6)-a2sin(1 +0、a2 cosp +%) (6)式得雅可比矩阵的转置矩阵为:JT-a1 s
13、in 丁 -a2sin(玛飞)asinGi%)a1 cos91 +a2 cosQ +%)a2 cos科十 )(6)、(7)式相乘，得矩阵A = JJT(a5 -a2s12)2 +a2s22，、，.、2-a2s 2262)-16 +a2G2) a2 sl2c12(-a1s a2sJaca2G2)a2s12G2(a1G a2G2)2afc22(8)式中：6 =sind ,s12=sin(01+02),c1=cos01,G2=cos1+82)对于平面两自由度串联机器人，其各向同性的条件为求得的其雅可比矩阵与 雅可比转置矩阵乘积为对角矩阵，即(8)式，当A矩阵中A11=A22, A12=AA21=0
14、时为对角矩阵。通过以上所给结论，可以分析平面两自由度串联机器人的速度各 向同性，同时也给出了满足各向同性构型的算法。4.2速度各向同性设计求解通过牛顿迭代法，利用MATLAB化工具箱求解。对于平面两自由度串联机器 人，可以通过四个设计变量进行速度各向同性求解。设计变量为:a2a24a3IVIa4x =根据4.1中速度各向同性条件的分析结果，求解其雅可比矩阵与雅可比转置 矩阵乘积A,即求解(8)式:2/、2,22/,2(asa2s12)+ a2s12(as a2s12)(a1G+a2G2)a2 62c12，一一一一 、/_ 一 J _2一 一/一一 上一一 2 J 2_2一a2s1 -a2s12
15、)(a1c1 + a2G2) a2 62c12(a1c1 + a2c12) + a2c12MATLABE序中，优化设计目标函数为f (x):f (x) = min(A11 A22 2 + A22 + A；1(9)根据实际工业生产应用中的约束，设计变量的约束条件为:10 a1 100010 a2 1000 .0(10)0 a3 180-135 a4 135 =4.3 求解及分析MATLABE序运行结果如下所示：迭代过程：初始条件为a1 =50 , a2 = 50ii汕获大号ai=500=50时ai = 30, a2 = 20 时H,81834157574710U.438325C418060831
16、0.2402383723311S310.2094369246446673.0001974049423773.0443185336476562.3561944901923452.356194292374695ai= 20,a2 =25 时ai= 10,a2 =20 时14.4B129609402765210,239E223451131L03.0510S51S410S40S2.35319401109574014.5815731S666177610.3107302002830563.0825303216355522,356194320247830由以上四组数据可以看出，四组数据基本相等,ai及a2的
17、差别很小，其比)SI lAKTUU UN1VEEIS1T Y三级项目报告 一刘柳权-09i24055Line searchDirectionalFirst-orderIt erF-countfconst raintst ep lengthdenvat iveoptimality Procedure05 L1037九+0087.57110343L4601-2115+007L 45e+0082153288- 3401-L 31e4-0035e+004327362. 01500.00781-7276.0&e+005432S444 03401-3175.59号+003537129,76301-5432
18、.06e+003W42117.29901624972473. 4497301-3031918520.001258201-5. 081549660.0012523201 00195-0. 4867.241071 1.21501e-00701-1,440.06331176 4.55596e-01201-0. 01321.79e-Q05不同初始条件下的a值值a/a2=i.4142i二万不变。仇的值保持在3.0至U 3.09之间，约为的值保持在 2.356194 到 2.356195 之间，可认为等于 2.356i9 ,初始条件为ai =i0,a2 =20时迭代后的f的值：fvag = 3.05346
19、i404949437e-009通过前面三组数据比较，fvag保持在e-009这个数量级，可以认为误差非常小,才两足要求。迭代后的exitflag 的值exitflag = 5四组不同的初始条件下都为5,迭代过程收敛，结果有效梯度及hessian矩阵:grad =-0.0013318539304730.0020948252002570.000000002723998-0.022975513271259hessian -1. 0e+006 *0.015012039397631-0.0257686341833960.0250444516791210.170271482353232-0.0257686
20、341833960.051172102523981-Q. 081768216590952-0.32S4323S56791910.025044451679121-0. 0817682165909520.2585527666316010.4903193357974000. 17027U82353282-0.3284823S56791910.4903193357974004.1837852682053114.4 综合分析本次反解过程使用牛顿迭代法，通过MATLABt化工具箱完成，节省了不少时 问，大大地提高了求解效率。对于平面两自由度串联机器人，其各向同性的条件为a1/a2=2时，为2.35619时
21、，0=3/4n时，其速度各向同性。因此，在设计机器人结构时，变尽量使之的运动范围达到3 n /4或5 n /4 ,以获得较好的灵巧度。汕获大号SIIANIGU UN1VEEIS1TY三级项目报告 一刘柳权-091240555.结语本次课程项目为三级项目，要求对一两自由度串联机器人的分析设计， 建立 此模型的位置输入输出方程、速度关系，并推导其雅可比矩阵，并利用 Matlab 软件编程实现对两自由度串联机器人的位置反解及速度反解，最后分析出机器人模型的速度各向同性，得出速度各向同性的原理和条件，并利用其原理设计出一 各向同性的机器构型。在刚开始接触机器人这门课时，毫无兴趣可言，如果有第二个选择，
22、我会毫 不犹豫地退选这门课。但，既然选择了这门较难学的机器人技术基础， 就应该对 自己负责，尽最大努力学好。上课时，基本没听，听了也不懂。直到最近几周才 开始用心地看书，理解，慢慢懂得其中的知识内容。其实这门课也不难，课程项 目也不难做，只要用心，不浮躁，慢慢就会懂。通过这个课程项目，对书中的知识有了进一步的认识，为以后可能从事机器 人相关的工作奠定了一定的基础。6附录附录i:位置反解程序附录2:速度反解程序附录3:速度各向同性程序参考文献1熊有伦.机器人技术基础.武汉：华中科技大学出版社.19962 LUNG-WEN TSAI. ROBOT ANALYSIS. University of M
23、arylandAWiley-Interscience Publication附录1:位置反解程序目标函数：function f=myfun(a)a1=a(1,1)；a2=a(2,1);x=100;y=1000;11=800;12=500;f=(cos(a1)*l1+cos(a1+a2)*l2-x)A2+(sin(a1)*l1+sin(a1+a2)*l2-y)A2;约束函数：functionc,ceq=mycon(a)a1=a(1,1)；a2=a(2,1);c=；ceq=；执行文件：ciccleara0=0,0；1b=0;-0.75*pi;up=pi;0.75*pi;options =optim
24、set(LargeSca1e,off7Disp1ay,iter,MaxIter,4000,To1X,1e-12,To1Fun,1e-10,MaxFunEva1,50000,DerivativeCheck,on,Goa1sEx actAchieve,1,LineSearchType,cubicpo1y,Jacobian,on,Diagnosti cs,on,GradConstr,off7MaxPCGIter,1,MinAbsMax,0);a,fvag,exitf1ag,output,1ambda,grad,hessian=fmincon(myfun,a0,口，15何籁大亭5 SILVNJULJ
25、UMVUiSITY三级项目报告一刘柳权-09124055口，口,lb,up,mycon,options)附录2 :速度反解程序clccleara1=0.956868853015502;a2=1.420228053071181;l1=30;l2=50;Jac=-l1*sin(a1)-l2*sin(a1+a2) -l2*sin(a1+a2);l1*cos(a1)+l2*cos(a1+a2)l2*cos(a1+a2);vx=20;vy=30;v=vx;vy;JacJacg=pinv(Jac)w=Jacg*v附录3:速度各向同性程序目标函数：function f=myfun(a)a1=a(1,1);a
26、2=a(2,1);a3=a(3,1);a4=a(4,1);f=(-a1*sin(a3)-a2*sin(a3+a4)A2+a2A2*sin(a3+a4)A2-(a1*cos(a3)+a2*cos(a3+a4)A2-a2A2*cos(a3+a4)A2)A2+2*(-a1*sin(a3)-a2*sin(a3+a4)*(a1*cos(a3)+a2*cos(a3+a4)-a2A2*sin(a3+a4)*cos(a3+a4)A2;约束函数：functionc,ceq=mycon(a)a1=a(1,1)；a2=a(2,1);a3=a(3,1);a4=a(4,1);c=；ceq=；执行文件：ciccleara
27、0=10,20,pi/2,pi/6;lb=10;10;0.001;-0.75*pi;up=1000;1000;pi;0.75*pi;options =optimset(LargeScale,off7Display,iter,MaxIter,4000,TolX,1e-12,TolFun,1e-10, MaxFunEval,50000,DerivativeCheck,on,GoalsExactAchieve,1,LineSearchType,c ubicpoly,Jacobian,on,Diagnostics,on,GradConstr,off7MaxPCGIter,1,MinAbsM ax,0);a,fvag,exitflag,output,lambda,grad,hessian=fmincon(myrun,a0,，口，口,lb,up,m ycon,options)17