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1、第四章金属自由电子理论1 .金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的 粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谓方程来描述；电子满足泡利不相容原理,根据这个理论，不仅导出了魏因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米-狄拉克统计。德曼佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。2 .金属自由电子论在 k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关解：金属自由电子论在 k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温 度有关。3 .在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么解：因为在低温
2、时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上 不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。4 .驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、子所带电量及金属的电导率有关。5 .当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同， 所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。6 .已知一维金属晶体共含有 N个电子，晶体的长度为 L ,设T 0K。试求
3、：(1)电子的状态密度；(2)电子的费米能级；(3)晶体电子的平均能量。解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：(1)dZ dZ dk (E) dE dk dE考虑在k空间中，在半径为 k和k dk的两线段之间所含的状态数为：(2)2dk L dZ dkk又由于2k22m所以dE dk2k(3)将(2)和(3)式代入(1)式，并考虑到每个状态可容纳 一维金属晶体中自由电子的状态密度为：2个自旋相反的电子，得该(E)2y(4)(2)由于电子是费米子，服从费米一狄拉克统计，即在平衡时, 子占据的几率为：能量为E的能级被电f(E)1E-EFKbT e(5)于是，系统中的电子总数可表示为:f(E)
4、(E)dE(6)由于T0K,所以当E E06)式可简化为:eO(E)dE0EF2L m o 2E4L mE dE = A v 2由此可得:eON2 2 28mL27)(3)在 T0K时，晶体电子的平均能量为:1.Eo - Ef(E)N o(E)dE =eOEo2L.mdE；2E7.限制在边长为试求:(1)(2)(3)能量E2 Lo.2m(Ef)3NN224mL2L的正方形中的 N个自由电子，电子的能量为E(kx,ky)222(kx ky)。2mE dE之间的状态数;此二维系统在绝对零度的费米能量； 电子的平均能量。解：（1） K空间中，在半径为k和kdk的两圆面之间所含的状态数为(1)(2)L
5、22 kdk kdk2这也就是能量在 EE dE之间的状态数，由电子的能量表达式可得2mE 2m 1 mkdk 22 2 E dE -dE将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳 2个自旋相反的电子，这样可得能量.2. 2在EE dE之间的状态数为dZ 2 ULdE -mLrdE2 22（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为(E)dZmL2dE在绝对零度下，由下式ENo(E)dEE0mL22dE = E0由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为eFN 2mL2（3）电子的平均能量为Eo1 EFE (E)dE0E0EF 2mL2-EdE8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为mL2
6、 1 N守普）_ 22mL2-103.5 10 10m 。试计算绝对零度时电子气的费米能量EF （以eV表示）解：由题意可求得金属锂的电子浓度为(3.5 10 10)32834.66 10 /m故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为E02(3n2m(1.0552 9.1134、210 )1031(3 4.66 102823.142)37.57 1019J4.72eV9.在低温下金属钾的摩尔比热容的实验结果可写成cv(2.08T 2.57T3)mJ/(mol K)若1mol的钾有N 6 1023个电子，试求钾的费米温度TF和德拜温度解：根据金属自由电子气模型，低温下金属的总比摩尔热容为:上式中,
7、N。2E故:又由CvcVecVcT bT3No 2kB2E02.0810N。2k22 2.08 10 3_ 0_ 0IkBTFEf得124NkB5 D236 1012 4NokB2.57 10 3223 23.14(1.38 10 )4.16 10 3_ _ 19 .2.708 10 JtF0_ _ 192.708 101.38 10 2341.962 10 K12 3.144 6 1023 1.38 10 2390.9K5 2.57 10 310.试比较1mol金属钠在30K和时的德拜比热容， 并与电子比热容比较。已知钠的德拜温度D 150 K,钠的费米能级 E3.23eV。解：在30K时，
8、1mol金属钠的德拜比热容为124 T 3-NkB()3D2.- 6.02 1023 1.38 1023 (30150)31.57J/K而其电子比热容为2 c231.38 1030(19 )3.23 1.6 103.142 23236.02 101.38 1020.0328 J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为1.5747.90.0328在日1mol金属钠的德拜比热容为124 T 3-NkB()3 D12 3.14223230.3 36.02 101.38 10()1501.57 10 6 J/K而其电子比热容为2e0W - NkB(e 2一一2，一 一 23 3- 6.02 1023 1.
9、38 10 23 (1.38 1003)23.23 1.6 10 19 43.28 10 4J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为割与 4.79 10311 .有一鸨丝，长0.05m,横截面积的直径为 1X 10-4m=试求2000K时鸨丝的热电子发射电流。 已知鸨的电子逸出功为。解：由里查孙一杜师曼定律可知鸨丝的热电子发射电流密度为AT2W/(kBT)e故热电子发射电流为75104 20002e_ 19_ 23 4.5 1.6 10 19/(1.38 102000)214.05A/mjS14.05 3.141 10 41.103 10 7A求:12 .室温下利用光电效应已测得银及葩的光电效应
10、阀值分别为和。(1)采用里查孙-杜师曼公式分别估算银及葩在室温下的热电子发射电流密度;(2)若温度上升至800K时，其热电子发射电流密度为多少(3)若把银与葩两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。解：(1)在室温下银的热电子发射电流密度为jAAgT2eWAg/(kBT)19231 2 1062982e 4 8 1.610 隼加0298) 7128.36 10 A/m在室温下饱的热电子发射电流密度为2 c Wcs/(kBT) jACsT e1.6 106 2982e1 .819231.6 10/(1.38 10298)5.47 10 20 A/m2(2)在800K时银的热电子发射电流密
11、度为2WAg/(kBT)jAAgT e g1.2 106 8002e4.8_ _ 19_ _ 231.6 10 19 /(1.38 10 23800)_ 1924.72 10 A/m在800K时艳的热电子发射电流密度为2 c Wcs/(kBT) jAcsT e1.6 106 8002e1.8_ _ 19_ _ 231.6 10 19 /(1.38 10 23800)24.80 A/m(3)若把银与葩两种金属接触在一起，它们的接触电势差为1 ,、CVd-(WAg Wes) 3Ve13.利用电子漂移速度v的方程/dv v.m( ) e dt证明在频率下的电导率为(叫其中(0)ne2 /m0。解：设电场为0e则有m(dvdti t0edvdt齐次方程-dt0的通解为ce设非齐次方程的特解为 v Ae从上式可求出特解的待定系数故非齐次方程的通解为i t 1 i tAe Aee o _m (1cem (1 i )上式中的第一项随时间的增大迅速衰减,表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n个电荷为 e的电子，则其电流密度 j( ) n( e)v2i tne 0em (1 i )2 nem (1 i )(01其中2 ne (0)m