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1、高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1 .随机变量4所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为 1.fll|.2 .求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3 .注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义.【讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥.灵活运用排列组合相应方法进行计数.等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性.【练一练提升能力】1 .某中学高一年级共 8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组， 其中
2、高一(1)班选取3名同学，其它各班各选取 1名同学.现从这10名同学中随机选取 3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学来自不同班级的概率；(2)设X为选出同学中高一(1)班同学的人数，求随机变量 X的分布列和数学期望.2 . 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.(1)设抛掷5次的得分为 3 求4的分布列和数学期望 Ec ;(2)求恰好得到rtOfWM*)分的概率.113、某厂有？岩大型机器，在一个月中，一台机器至多出现？次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需？洛工人进行维修.每台机
3、器出现故障需要维修的概率为 -?(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？?%(2)已知一名工人每月只有维修 ？冶机器的能力，每月需支付给每位工人？万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生？万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有？密工人.求该厂每月获利的均值.以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1 .若随机变量服从二项分布，则 P4二灯=0,1,2,A jl对应的事 件是两两独立重复的，概率 p为事件成功的概率.2 .求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式：若/先B(n, p),
4、则Eg = np.s-叩(1 - p)r【讲一讲提高技能】1.必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散 型随机变量的均值与方差，但计算较繁.因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题 的关键.判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归 纳其概率规律是否满足二项分布.【练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比 赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行， 每位选手最多有 5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答又3题
5、者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为2.3(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数 己，试写出 己的分布列，并求 己的数学期望.2.近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“61喇间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出 200次成功交易，并对其评价进行统计， 网购者对商品的满意率为 0.6,对服务的满意率为 0. 75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.(I )根据已知条件完成下面的 2 X 2列联表, 并回答能否有 99%的把握认
6、为网购者对商品 满意与对服务满意之间有关系 ” ？(n)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意 的次数为随机变量？求？勺分布列和数学期望？附:c?(?-?)?= (其中?= ?+(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)对服务满息对服务不满息合计对商品淞1息80对商品不满息合计200?(? ?)0. 150. 100. 050. 0250. 010?2. 0722. 7063. 8415. 0246. 635?+ ?+ ?为样本容量)3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数
7、点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶):(1)指出这组数据的众数和中位数；幸福度3 0 6666 778H 99 7 6 5 5(2)若幸福度不低于9,则称该人的幸福度为“极幸福”. 求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区记E表示抽到“极幸福”的人数，求 E的分布列及数学期望.(人数很多)任选3人,以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为f(x)其中2、3、,为常数，且则称服从正态分布，简记为0,N的图象称为正态曲线。标准正态分布曲线正态分布的期望与方差
8、,D正态曲线的性质:2 ,则E1 ，e 2 2.2(1)(2)(3)(4)(5)(6)曲线在x轴的上方，与x轴不相交.曲线关于直线 x=w对称.曲线在x=时位于最高点.曲线与x轴之间的面积为1当 一定时，曲线的位置由科确定，曲线随科的变化而沿x轴平移当科一定时，曲线的形状由b确定.b越大，曲线越矮胖”，表示总体的分布越分散；b越小, 曲线越瘦高”，表示总体的分布越集中.4、正态分布在三个特殊区间内取值的概率值-cr X += 0.6826n# - X + 2(7) = 0.9544仃 X y/ + 37)= 099741、语文成绩服从正态分布N(100J7),数学成绩的频率分布直方图如下:（I
9、）如果成绩大于135的为特别优秀，这 500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人?（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（II）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（I）中的这些同学中随机抽取 3人，设三人中两科都特别优秀的有|X|人，求不的分布列和数学期望 X ：,则尸（一。父工三* + 仃）=0.68，* / 2口）=0.96 .2、.为评估设备 Af生产某种零件的性能，从设备 M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径小im 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 介川 件数
10、I 1 3 5 6 19 53 18 4 4 2 121100经计算，样本的平均值 # = 65 ,标准差cr = 2.2 ,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为X ,并根据以下不等式进行评判(产表示相应事件的频率)；(M-crXWW + cr)A0.6826 ;?(“-2仃片名” + 2仃)上09544 ；匕* + 3仃)之0,9974 .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 M的性能等级.(2)将直径小于等于 R 2(
11、7或直径大于“I 2(7的零件认为是次品(i)从设备M的生产流水线上随意抽取 2件零件，计算其中次品个数 Y的数学期望EQ)；(ii)从样本中随意抽取 2件零件，计算其中次品个数 Z的数学期望E(Z).3.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图:(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值(和样本方差C (同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布内.、吟,其中必近似tT1为样本平均数X, b近似为样本方差仁. 利用该正态分布，求 P(187.8Z 212.2)；(ii)某用户
12、从该企业购买了100件这种产品，记 X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8212.2)的产品件数.利用(i)的结果，求EX .附：若 Z、N(声.(t)则 P&t-cvZ M + b) = 0.6826 , M + 2b) = 0.9544 .与茎叶图，频率分布直方图有关的概率，分布列与均值1.某校高一（I）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,（I）求分数在50,60）的频率及全班人数;（II）求分数在80,90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80,90）间矩形的高；（III）若要从分数在80/00）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取
13、的试卷 中，至少有一份分数在 90.100）之间的概率.2、2016年，某省环保部门制定了 省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分士匀在50 , 100内，按照50 , 60） , 60 , 70） , 70 , 80），出0 , 90） , 90 , 100的分组 作出频率分布直方图如图（满分为100分）.（I）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励？（单位：万元）与考核评分 ？的关系式为-7 , 50 ? 60 ,?= 0, 60 ? 70 ,（负值为企业上缴的罚金）.试估计该省在 2016年对这40
14、家企业 3, 70 ? 80 ,6, 80 ? 100投放环保奖励的平均值；（n）在这40家企业中，从考核评分在 80分以上（含80分）的企业中随机抽取 3家企业 座谈环保经验，设？妁所抽取的3家企业中考核评分在80 , 90）内的企业数，求随机变量？勺 分布列和数学期望.3、某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8. 0米（四舍五入，精确到 0. 1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组回出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0. 04, 0. 10, 0. 14, 0. 28, 0. 30 ,第 6 小组的频数（I）求进入决赛的人数;（n）若从该校学
15、生（人数很多）中随机抽取两名，记，表示两人中进入决赛的人数，求 想的分布列及数学期望；（出）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在810米之间，乙成绩均匀分布在 9. 510. 5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率.4、未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的
16、零件，从中随机抽取 10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：pm）.Q 7 7K10 2 5 1 S V n 11（I）计算平均值W与标准差。（n）假设这台 3D打印设备打印出品的零件内径 Z服从正态分布 N （由玲；该团队到工 厂安装调试后，试打了 5个零件.度量其内径分别为（单位： m）: 86、95、103、109、 118,试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（广 2（rV Z=0. 9544, P（广 3 Z 科+3&=0. 9974, 0. 95443=0. 87, 0. 99744=0. 99, 0. 04562=0. 002.13以随机事件为背景(答案)
17、1、试题分折；求得所有基本事件的种数以及符合题意的基本事件种数，利用古典假型从而求解， 求 得万句1, 3时的概率，得到分布夕辰阿求解期望.试题解析r。设”选出的3名同学来目不同班级”为事件/,则汽4=露第十cfc； _4960一二型的49孑名同学来自班级的概率为六口 (2)随机变量的所有可能值为Oj 1, 2, 3j则/，=0)=771CC1 75 收X = D =辱二p(x = 2) =咨P(X = 3) =0123P72171244040120，随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望e(k)= o；24+汉+ 2-3 J 49401209102、试题解析:一台机器运行是否出现故障可看作
18、一次实验3在一次试验中？机器出现故障设为事件心贝摩 件A的概率法.该厂有4台机器就相当于欹独立重复试虬可设出现故障的机靠台数为处- 8(4. ) /5 = 0) =盘。热/5=。=给；()=烹，= 2)=& =芸，E) =，=即？勺分布列为:X01234?设该厂有？密工人，则 每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为？w?即?01234?(?=蓑；F（ = 3= U抬尸X曲。=也?勺分布列为:?0123?3、【解】（1）众数：8,6;中位数：8.75由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人.设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福,至多有1人是“极幸福+ 小 wC32 C4C22 1
19、21140记为事件 A,则 P(A) = P(A0)+P(A1)=C6+ C164从16人的样本数据中任意选取1人，抽到 极幸布 的人的概率为161 .=4,故依题意可知，从该社区中任选 1人，抽到 极幸布 的人的概率p=14己的可能取值为0,1,2,33 3 27_11 3 2 27P(E= 0)= 4 =64； P(D=c344 =641 q391 Q 1pg2)=%24=64； .土3)= 43=x所以己的分布列为0123P27279164646464272791E0X64+1X64+ 2*64+3*才 0.7511另解由题可知 0B 3, 4，所以EE = 3X4 = 0.75.以正态
20、分布为背景1 试题分析：(D根据正态分布的先邱b可分别求得语文特别优秀与数学特别优秀的概率，由此可求得特别优 秀语文、翻学的人数；(II)苜先求得所有可能的取值，然后分别求得相应概率j由此列出分布列，求出 期望.试题解析t CD语文成绩特用及透的概率为鼻= F(X之135) =。-596)xg = 0.0L 1分数学成啧特别优焉的概率为p, = OW16x2Ox-=O.02 3分4语文成绩特别优秀人数为50QxQ.Q2=10A，数学成绩特别优秀人数为500x1。 =12人.5分(ID语文蓟学两科都优秀的$人,单科优秀的有1。大,彳所有可能的取值为卜b，力P(X = 0) =患=尸& = 1)=
21、等=9F(X = 2)=，宫=，F(X = 3) = ? 10 分G 耳-b1 (.8分布列为:X0123p32715I1456562811分32715I9数学期望 E(X) = Ox +lx + 2x + 3x =-14565628 S19试题分析：CD运用相关系数进行判别推理(2)运用贝努力纣布的几何分布求解期矍.试题解析：(1)尸一行亡 以十 0)=62.8 X 0,6826声乩-2bX工 +2b) = R5Q.6 X69.4) = 0.94 。罩544F(-3ctcXa+5c) = (58X7.6) = 0JS 05974因为设备m的数据仅涌足一个不等式,故其性能等级为丙3C)易知样本
22、中次品共6件,可估计设备廿生产零件的次品率为0比.(i )由题直可知T B(2Q06),于是 E(Z) = 2k0-06 = (H2,(ii)由题意可知Z的分布列为Z 0 I 2故取2) = 0啜*鲁十2啜+。2.3、试题分析：(I)由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差.若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标.中位数为面积等分为的点.均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值.方差是矩形横坐标与2均值差的平方的加权平均值.(II) (i)由已知得，Z :(200,150)，故尸(187,8Z: 0.08+ 2300.02 =200,? =(-
23、30)3x0.02 +(20)口*。9+(10)葭0一22+0工0一33+：10工乂0一24+如打。一。&十3屋工。2= 15。.(I1MD 由(D 知，ZKRjWES 分布 W(2N150),从而尸1873式2丈21，?)二尸代。-1222用 全班人数送去其余组的人教为隆。尸。)之间的频数,用该组的频率与组距的组距的比值为A哪的高，苜 先用列举法列举出所有的基本事件，然后找出符合题意的基本事件个数，从而肃Iffl古典概型概率公式计算 即可.试题解析；(1)分数在1如；601的频率为0.002x10 = 0.熊，由茎叶图知；分散在5。60)之间的频数为所以全班人数为4=21=券，7 18752
24、25425）一后，？?（?？ 2）= ?22（18）2 =芸. 分6所求分布列为*Q/2 户中43 .62522 一一625324p625?= 2 X 18= 36 ,两人中进入决赛的人数的数学期望为H.分8252525（出）设甲、乙各跳一次的成绩分别为? ?米，则基本事件满足的区域为S-.v-.IO事件/甲比乙远的概率”满足的区域为？? ?如图所示. 分10I I I1，由几何概型2 2 21 .即甲比乙还的概率为 行. 分2Ik2 164、【答案】（I ） 105 d m, b =6 （ n ）需要进一步调试，理由见解析试题分析：(I)利用茎叶图，即可计算平均值口与标准差6(II)根据3。原则，即可得出结论.解： 平均值内97+97+98+102+105+；,+102+1U9+113+U4.d5ym方差=64+64+49+0+4+9+16+64+81 =曰6,标准差g10(ID需要进一步调试，工服从正态分布M ( 105, 36)；P (|1-3cZ|2-3c) =0. 9974,，内密在(87, P3)之外的概率为。. 0026, 而$66(87,1*3根据兀原则，若机器异常,需要进一步调试.