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1、21.9.6,7.2 估计量的优良性准则,在众多的估计量中选哪一个更好？ 选取的标准是什么？,如 XU(0,) ,的矩法估计量为 ，,对于总体的一个参数，可用各种不同的方法去估计它，因此一个参数的估计量不唯一.,三个常用准则：无偏性、有效性、相合性.,极大似然估计量为,21.9.6,定义：设 是未知参数的估计量，若 ，则称 为的无偏估计.,S2 是2 的无偏估计,注意：,1. 无偏性,21.9.6,思考：下列估计量是否为的无偏估计量？ 哪个更好？,2. 有效性,21.9.6,可见，一个参数的无偏估计可以有很多.,无偏估计只能保证估计无系统误差：,希望的取值在及其附近越密集越好，,其方差应尽量小
2、.,21.9.6,是未知参数的两个无偏估计量,若对的所有可能取值都有,称 为的最小方差无偏估计量.,设 是的无偏估计，如果对的任何一个 无偏估计量 都有,21.9.6,定义 设 是未知参数的估计量，若对任意的0，有,相合估计量的证明,是的相合估计量; S2 和M2 都是2的相合估计量.,3. 相合性,则称 为的相合估计量.,部分证明,21.9.6,证明无偏性判断有效性(一),和S2 分别是和2 的最小方差无偏估计,证明无偏性判断有效性(二),21.9.6,证明 S2 是2 的无偏估计量,例1 设总体的方差 D(X)=2 0，则样本方差S2 是2的无偏估计.,证,21.9.6,#,21.9.6,
3、例2 设总体XU0, 0 未知, (X1，X2，X3) 是取自X的一个样本,试证,都是的无偏估计；,2) 上述两个估计量中哪个的方差最小？,分析： 要判断估计量是否是无偏估计量， 需要计算统计量的数学期望.,21.9.6,证 1) 先求X与Y 的概率密度函数，,已知分布函数,21.9.6,21.9.6,21.9.6,2),#,21.9.6,例3 证明,是无偏估计量， 是其中最有效估计量.,证,利用拉格朗日乘数法求条件极值，令,21.9.6,从联立方程组,解得 ，,21.9.6,即函数,的最小值点是,#,21.9.6,分析 1) 证明相合性往往用到切比雪夫不等式，其中涉及期望与方差； 2) 这里计算方差较难, 可以先化为2 分布, 再利用卡方分布的性质计算.,例4 设 XN(0,2)，证明 是2 的 相合估计量.,21.9.6,证,21.9.6,由切比雪夫不等式，有,#,是2 的相合估计量.,21.9.6,例5 设总体X的数学期望存在，=E(X)的矩法 估计量为： ,它是E(X)的无偏、相合估计量.,证 样本构成的随机变量序列X1，X2，Xn, 相互独立同分布，服从切比雪夫定理，对任 给的0，有,即 为E(X) 的相合估计量.,#,