小学奥数解题方法大全3.docx

《小学奥数解题方法大全3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数解题方法大全3.docx（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、21、数字和与最大最小问题【数字求和】例1 100个连续自然数的和是8450, 取其中第1个，第3个，第5个，第99个所有第奇数个，再把这 50个 数相加，和是。上海市第五届小学数学竞赛试题讲析：第50、51两个数的平均数是8450- 100= 84. 5,所以，第50个数是84。那么100个连续自然数是：35，36，37，133，134。上面的一列数分别取第1、3、5、99个数得：35，37，39，131，133。那么这50个数的和是：例2把1至100的一百个自然数全部 写出来，所用到的所有数码的和是 。上海市第五届小学数学竞赛试题讲析；可把1至100这一百个自然数 分组，得1、2、3、9,

2、 10、11、 12、19 ,20、21、22、29,90、91、92、99, 100。容易发现前面10组中，每组的个位 数字之和为45。而第一组十位上是0，第 二组十位上是1，第三组十位上是2， 第十组十位上是9，所以全体十位上的数 字和是1+2+3+9x 10=450。故所 有数码的和是 45 x 10+450+1=901。例3真分数-化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续假设干个数字之和是1992，那么a=。北京市第八届“迎春杯小学数学 竞赛试题1-2? 4讲析：由- = 0.142857= 0；2 85714 =0.4 28571?y= 0 571428,1 = 0.71428

3、5, | = 0.857142,可知它们每个循坏节中的数字之和是2%又，1992+ 27=73 余 21,而2仁8+5+7+1,所以 a=6。例4有四个数，每次选取其中三个 数，算出它们的平均数，再加上另外一个 数，用这种方法计算了四次，分别得到四 个数：86，92，100，106。那么，原来四 个数的平均数是(1993年全国小学数学奥林匹克决赛 试题)讲析：每次所选的三个数，计算其平 均数，实际上就是计算这三个数中 每个数的？的和&将上面四个数相抑，就得到原四个数和的2倍。所以，原来四个数的平均数为(86+92+100+106) +2=192。【最大数与最小数】例1三个不同的最简真分数的分子

4、 都是质数，分母都是小于 20的合数，要 使这三个分数的和尽可能大，这三个分数 是全国第四届?从小爱数学?邀请赛 试题。讲析：20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19要使三个分数尽量大，必须使每个分 子尽量大而分母尽量小。且三个真分数分子要为质数，分母要为小于20的合数所以三个分数是昭，1 Q1311例 2 将 1、2、3、4、5、6、7、8 这 八个数分成三组，分别计算各组数的和。 这三个和互不相等，且最大的和是最 小和的2倍。问：最小的和是多少全国第三届“华杯赛决赛口试试题讲析；因为1+2+3+8=36,又知 三组数的和各不相同，而且最大的和是最小和的继所以.最桶比总和咒的

5、扌环而比劭叹的袈 大。因此，最小的和是8。例3把20以内的质数分别填入中 每个质数只用一次： + + + + + 使A是整数。A最大是多少第五届?从小爱数学?邀请赛试题讲析：要使A最大，必须使分母尽量 小，而分子尽量大。分母分别取2、3、5时，A都不能为 整数。当分母取7时，2+3+5 + 11 + 13417 + 197例4 一组互不相同的自然数，其中最 小的数是1,最大的数是25。除1之外、 这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两 个数之和。问：这组数之和的最大值是多 少当这组数之和有最小值时，这组数都有 哪些数并说明和是最小值的理由。全国第四届“华杯赛

6、决赛第一试 试题析：观察自然数1、2、3、4、5、 25 这 25 个数，发现它们除 1 之外，每个 数都能用其中某一个数的 2 倍，或者某两 个数之和表示。因此，这组数之和的最大 值是 1+2+3+25=325。下面考虑数组中各数之和的最小值。1 和 25 是必取的， 25 不能表示成一 个数的 2 倍，而表示成两个数之和的形式， 共有 12 种。我们取两个加数中含有尽可 能大的公约数的一组数 20+5或者 10+15。当取 1 、 5、 20、 25 时，还需 取 2、 3、 10 三个；当取 1 、 10、 15、 25 时，还需取 2、 3、 5。经比拟这两组数，可知当取 1、2、3、

7、4、5、10、15、25 时， 和最小是 61。22、数字串问题【找规律填数】例1找规律填数 K 卜 2、1. 3. 11. . J .杭州市上城区小学数学竞赛试题 X 1. 3 K 1 竺1167155323391992年武汉市小学数学竞赛试题讲析：数列填数问题，关键是要找出 规律；即找出数与数之间有什么联系。第1 小题各数的排列规律是：第1、3、5、奇数个数分别 是1、2、3、.而偶数项的馭分别是前一个数的*。故括号里的数分 别是4和2。第2小题粗看起来，各数之间好 像没有什么联系。于是，运用分数 的性质将某些分数进假化.得字=,磐=謬，1字=单。这样，就oU得到了431632些).676

8、04639从而很容易找到答案为益。例2右表中每竖行的三个数都是按 照一定的规律排列的。按照这个规律在空 格中填上适宜的数。043.880.580.70 1041 2312161994年天津市小学数学竞赛试题 讲析：根据题意，可找出每竖行的三 个数之间的关系。不难发现每竖行中的第 三个数，是由前两数相乘再加上1得来的 所以空格中应填33。【数列的有关问题】在-串分瓠日卜？ j1 2 M 2 1. 1 2 亍 3s 35 V 旷 4? ? r即r嗽渉第几计第吋分数是几分之几第一届?从小爱数学?邀请赛试题讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5的分数个数，分别是1、3、5、7、 9。所以，分母分别

9、为1、2、39 的分数共有穆X 14-17X9 =81个不难求出秒是第関和第轴个分数。又因为 1+?+刁十7 + 9+ 加=廿；而400=20 所以，第400个分数是寺。例 2 有一串数：1, 1993, 1992, 1, 1991, 1990, 1, 1989, 1988,这个数 列的第1993个数是首届?现代小学数学?邀请赛试题讲析：把这串数按每三个数分为一组， 那么每组第一个数都是1,第二、三个数是 从1993幵始，依次减1排列。而1993 - 3=664余1，可知第1993个 数是1。例3小数9899的小数点后 面的数字，是由自然数1 99依次排列而 成的。那么小数点后面第 88位上的

10、数字是1988年上海市小学数学竞赛试题讲析：将原小数的小数局部分成 A、B 两组：1 23 - 9 W 11 12 99A中有9个数字，B中有180个数字， 从10到49共有80个数字。所以，第88 位上是4。例4观察右面的数表横排为行，竖 排为列；22 T! 213 21匸亍4 321Ir 2芥5 4321T5 2s r 5根据前五行数所表达的规律*说明1991W9这个数.位于由上而下的錦几行，自左向右的第几列。全国第三届“华杯赛决赛试题讲析：第一行每个分数的分子与分母 之和为2，第二行每个分数的分子与分母 之和为3，第三行每个分数的分子与分母 之和为4,即每行各数的分子与分母 之和等于行数

11、加1。而1991 + 19-49-1 =s所以咚1位于第刃站行的第1749列&1994第二行第三行第四行-图5*4例5如图，除了每行两端的数之外， 其余每个数都是与它相连的上一行的两 个数的平均数，那么第100行各数之和是广州市小学数学竞赛试题讲析：可试探着计算每行中各数之和。 第一、二、三、四行每行的各数之和分别 是6、8 10、12,从而得出，每行的数字 之和，是行数的2倍加4。故第100行各 数之和为100 X 2 + 4=204.例6伸出你的左手，从大拇指开始， 如下图的那样数数：I、2、3。问： 数到1991时，会落在哪个手指上全国第三届“华杯赛决赛口试试 题讲析：除1之外，从2开始

12、每8个数 为一组，每组第一个数都是从食指开始到 拇指结束。 1991 1+ 8=248余 6, 剩下最后6个数又从食指开始数，会到 中指结束。例7如图，自然数按从小到大的顺序 排成螺旋形。在“ 2处拐第一个弯，在“ 3处拐第二个弯问拐第二十个弯 处是哪个数214T2010ttI19&l-2 Httt I185*- 4-3122723r261716 151413(全国第一届“华杯赛决赛口试试 题)讲析：写出拐弯处的数，然后按每两 个数分为一组：(2, 3) , (5, 7) , (10, 13),( 17, 21),( 26, 31),。 将会发现，每组数中依次相差1、2、3、4、5、。每组的第

13、二个数与后一组的第 二个数依次相差2、3、4、5、。从而 可推出，拐第二十个弯处的数是111。例8自然数按图顺次 排列。数字3 排在第二行第一列。问：1993排在第几行 第几列126715163 5S14门4 913101211團57全国第四届“华杯赛复赛试题讲析：观察每斜行数的排列规律，每 斜行数的个数及方向。每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、，奇数斜行中的数由下向上排列， 偶数斜行中的数由上向下排列。不难得岀，所有第62斜行及以前的数，共有*X 62X 63 = 1953 个；而第63斜行及以前的数共有63X 64 = 2021 C个,贝山1993位于第63斜行，该斜行的数是由下向

14、上排列的，且第63行第1列是1954。由于从1954开始，每增加1时，行 数就减少1,而列数就增加1。所以1993 的列数、行数分别是：199319541=40列，63-19931954=24行23、数阵图【方阵】例1将自然数1至9,分别填在图的 方格中，使得每行、每列以及两条对角线 上的三个数之和都相等。图517(长沙地区小学数学竞赛试题)讲析：中间一格所填的数，在计算时 共算了 4次，所以可先填中间一格的数。(1+2+3+9)+ 3=15，那么符合要 求的每三数之和为15。显然，中间一数填5。再将其它数字顺次填入，然后作对角 线交换，再通过旋转如图，便得解答 如下。123对角线裁交换927

15、顺时针雄转工4564I 53779、93811JZ3图513例2从1至13这十三个数中挑出十 二个数，填到图的小方格中，使每一横行 四个数之和相等，使每一竖列三个数之和 又相等。图 5.19“新苗杯小学数学竞赛试题讲析：据题意，所选的十二个数之和 必须既能被3整除，又能被4整除，三 行四列。所以，能被12整除。十三个 数之和为91, 91除以12,商7余7，因 此，应去掉7。每列为91 7 一 4=21而1至13中，除7之外，共有六个 奇数，它们的分布如下图。三个奇数和为21的有两种：21=1 + 9+1仁3+ 5+13。经检验，三个奇数为3、5、 13的不合要求，故不难得出答案，如图所 示。

16、奇奇奇奇奇11341096p8112123图 5 20图 5.21例3十个连续自然数中，9是第三大 的数，把这十个数填到图的十个方格中， 每格填一个，要求图中三个 2X2的正方 形中四数之和相等。那么，这个和数的最 小值是。1992年全国小学数学奥林匹克初赛 试题讲析：不难得出十个数为 :2、3、4、5、 6、7、8、9、10、11。它们的和是 65。在 三个2X2的正方形中，中间两个小正方 形分别重复了两次。设中间两个小正方形分别填上 a 和 b， 那么65+ a+ b之和必须是3的倍数。所 以，a+ b之和至少是7。故，和数的最小值是 24。【其他数阵】例 1 如图，横、竖各 12 个方格

17、，每 个方格都有一个数。横行上任意三个相邻数之和为 20，竖列上任意三个相邻数之和为 21。图 中已填入3、5、8和“X四个数，那么“X代表的数是。3151 x图 5.23S1994年全国小学数学奥林匹克初赛 试题讲析：可先看竖格。因为每相邻三格 数字和为21，所以每隔两格必出现重复数 字。从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8 3、10、& 3、10、& 3、10、 8。同理可推导出横格各数，其中“X=5。例2如图，有五个圆，它们相交后相 互分成九个区域，现在两个区域里已经分 别填上数字10、6,请在另外七个区域里 分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字， 使每个圆内的数之和都是

18、 15。上海市第五届小学数学竞赛试题讲析：可把图中要填的数，分别用 a、b、c、d、e、f、g 代替。如图显然 a=5， g=9。贝U有：b + c=10, e+ f=6, c+ d + e=15。 经适当试验，可得 b=3, c=7, d=6, e=2, 仁4。例3如图，将六个圆圈中分别填上六 个质数，它们的和是20,而且每个小三角 形三个顶点上的数之和相等。那么，这六 个质数的积是。全国第一届“华杯赛决赛试题讲析：最上面的小三角形与中间的小 三角形，都有两个共同的顶点，且每个小 三角形顶点上三数之和相等。所以，最上 边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字 相等。图 5.26同样，左下角与右边中

19、间的数相等， 右下角与左边中间数相等。20 + 2=10，10 = 2+3+5。所以，六个质数积为2X 2X 3X 3X 5 x 5=900。例4在图的七个O中各填上一个数， 要求每条直线上的三个数中，中间一个数 是两边两个数的平均数。现已填好两个 数，那么X=。1992年全国小学数学奥林匹克决赛 试题1517图5 27图5 28讲析：如图，可将圆圈内所填各数分 别用a、b、c、d代替。那么 d=15。由 15+c+a=17+c+b 得：a 比 b 多 2。所以，b=13+2=15。进而容易算出， x=19。例5图中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻

20、三个顶点处数字和的*。求Ca + b + c + d) -e+F+g + h)的值。全国第三届“华杯赛复赛试题讲析：将外层的四个数，分别用含其 它字母的式子表示，得a = i (b + e + d) ； b = i (c + f+ai)=-(白 + g + b? d = Q+h + 已o1所以 + c -b d= Cb + e - d) + - Qc +f + a) + - (d+g 十 b)十333=-2 Ca+b + c + d) + Q + f+g+h) 3即(a+b+c+d) -( e+f+g+h) =024、数的组成【数字组数】例 1 用 1、2、3、4、5、6、 7、8、9 这九个

21、数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字 最多能组成 个质数。1990 年全国小学数学奥林匹克决赛 试题讲析： 自然数 1 至 9 这九个数字中， 2、3、5、7 本身就是质数。 于是只剩下 1、 4、6、8、9 五个数字，它们可组成一个两 位质数和一个三位质数： 41 和 689。所以， 最多能组成六个质数。例2用0、1、2、9这十个数字 组成五个两位数，每个数字只用一次，要 求它们的和是一个奇数，并且尽可能的 大。那么，这五个两位数的和是 。1991 年全国小学数学奥林匹克决赛 试题讲析： 组成的五个两位数，要求和尽 可能大，那么必须使每个数尽可能大。所以 它们的

22、十位上分别 是 9、 8、 7、 6、 5， 个位上分别是 0、 1 、 2、 3、 4。但要求五个两位数和为奇数，而 1+2+3+4=10为偶 数，所以应将 4 与 5 交换，使和为：(9+8+7+6+4) X 10+( 1+2+3+5) =351。351 即此题答案。例 3 一个三位数， 如果它的每一个数 字都不超过另一个三位数对应数位上的 数字，那么就称它被另一个三位数“吃 掉。例如， 241 被 342 吃掉，123 被 123 吃掉任何数都可以被与它相同的数吃 掉，但 240 和 223 互不被吃掉。现请你 设计出 6 个三位数，它们当中任何一个数 不被其它 5 个数吃掉，并且它们的

23、百位上 数字只允许取 1、2；十位上数字只允许取 1 、 2、 3；个位上数字只允许取 1、2、3、 4。这 6 个三位数是 。第五届 ?从小爱数学? 邀请赛试题 讲析： 六个三位数中，任取两个数 a 和 b ，那么同数位上的数字中， a 中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字 大于 a。当百位上为 1 时，十位上可从 1 开始 依次增加 1，而个位上从 4 开始依次减少 1。即：114 ， 123， 132。当百位上为 2 时， 十位上从 1 开始依次增加 1 而个位上只能 从 3 开始依次减少 1 。即：213， 222， 231。 经检验，这六个数符合要求。例 4 将 1、1、2、

24、2、3、3、4、4 这 八个数字排成一个八位数，使得两个 1 之 间有一个数字；两个 2 之间有两个数字； 两个 3 之间有三个数字；两个 4 之间有四 个数字。那么这样的八位数中的一个是1991 年全国小学数学奥林匹克初赛 试题讲析： 两个 4 之间有四个数字，那么在 两个 4 之间必有一个数字重复，而又要求 两个 1 之间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是 1，即 412134 或 421314。 然后可添上另一个 2 和 3。经调试，得，此数即为所答。【条件数字问题】例 1 某商品的编号是一个三位数， 现 有五个三位数： 874，765，123，364，925。 其中每一个数与商品

25、编号，恰好在同一位 上有一个相同的数字，那么这个三位数是1993 年全国小学数学奥林匹克决赛 试题讲析： 将五个数按百位、十位、个位 上的数字分组比拟，可发现：百位上五个 数字都不同；十位上有两个 2 和两个 6； 个位上有两个 4 和两个 5。故所求的数的 个位数字一定是 4 或 5，百位上一定是 2 或 6 。经观察比拟，可知 724 符合要求。例 2 给一本书编页码，共用了 1500 个数字，其中数字“ 3共用了 个首届?现代小学数学?邀请赛试题讲析： 可先求出 1500 个数字可编多 少页。从第一页到第 9 页，共用去 9 个数字； 从第10页到第99页，共用去2X 90=180 个数

26、字；余下的数字可编 1500-189 一 3=437 页所以，这本书共有 536 页。l 至 99 页，共用 20 个“3，从 100 至 199 页共用 20 个“ 3，从 200 至 299 页共用 20 个“3，从 300 至 399 页共用 去 120 个“ 3，从 400 至 499 页共用去 20 个“3，从 500 到 536 页共用去 11 个 “3。所以，共用去 211 个数字 3。例 3 在三位数中， 数字和是 5 的倍数 的数共有 个。全国第四届“华杯赛决赛口试试题讲析： 可把三位数 100 至 999 共 900 个数，从 100 起，每 10 个数分为一组， 得100

27、,101、109,110、111、 119,990、991、999共分成了 90 组,而每组中有且只有 两个数的数字和是 5 的倍数,所以一共有 2X 90=180 个。例 4 有四个数, 取其中的每两个数相 加,可以得到六个和。这六个和中最小的 四个数是 83、 87、 92、 94,原因数中最小 的是 。上海市第五届小学数学竞赛试题讲析： 设原四个数从小到大为 a、 b、c、d,那么有 a+b=83, a+c=87,所以 c 比 b 大 4。而对于和为 92 和 94 时,或者是 b+c=92,或者是 b+c=94。当 b+c=92 时,因 c 比 b 大 4,可得b=45,进而可求得a=

28、38。当b+c=94时，因c比b大4,可得 b=44,进而可求得a=39。所以，原四数中最小的数是38或39例5 个四位数而，増抑它的8倍后，得到四位数莎，那么原数abcd=广州市小学数学竞赛试题讲析：原四位数增加8倍后得新的四 位数，也就是原四位数乘以 9，得新四位 数如图。从而可知，a 一定为1,否 那么积不能得四位数。那么d = & 进而可推abtd-= 1089oabedX 9d c b a图蠶9例6有两个两位数，它们的个位数字 相同，十位数字之和是11。这两个数的积 的十位数字肯定不会是哪两个数字1990年?小学生报?小学数学竞赛 试题讲析：由题意可知，两个数的十位上 为2, 9，

29、3, 8， 4, 7， 5, 6，而个上那么可以是 0至9的任意一个 数字。如果分别去求这两个数的积，那是 很麻烦的。设这两个数的个位数字是 c，十位数 字分别为a、b，那么a+b=11，两数分别为10a+c, 10b+c。ClOa + c x lQb + c = 100 ab + lQc+f *而100 Cb + O的个位和十位都是山所以只解看Wc + c2的十位数字。把0至9这十个数字分别代入lOc + c1中，由计算发现，十位上不能是6、&例7期的记法是用6个数字，前两个 数字表示年份，中间两个数字表示月份，后两个数字表示日如 1976 年 4 月 5 日 记为 760405。第二届小学

30、“祖杯赛的竞赛日期记 为 921129。这个数恰好左右对称。 因此这 样的日期是“桔祥日。问：从 87 年 9 月 1 日到 93 年 6 月 30 日，共有 个桔祥日。第二届“祖冲之杯小学数 学竞赛试题讲析： 一个六位数从中间分开，要求 左右对称，那么在表示月份的两个数中，只 有 11 月份。而且“年份的个位数字只 能是 0、1、 2。所以是共有 3 个桔祥日： 901109、 911119、921129。25、数的整除性规律【能被 2 或 5 整除的数的特征】见 小学数学课本，此处略【能被 3 或 9 整除的数的特征】一个 数，当且仅当它的各个数位上的数字之和 能被 3 和 9 整除时，这

31、个数便能被 3 或 9 整除。例如， 1248621 各位上的数字之和是 1+2+4+8+6+2+1=24 3 | 24,!那么 3 | 1248621。又如， 372681 各位上的数字之和是 3+7+2+6+8+1=279| 27,那么 9| 372681 。【能被 4 或 25 整除的数的特征】一 个数，当且仅当它的末两位数能被 4 或 25 整除时，这个数便能被 4 或 25 整除。例如，173824的末两位数为24, 4 |24,那么 4 | 173824。的末两位数为 75， 25| 75，那么 25|。【能被 8 或 125 整除的数的特征】一个数, 当且仅当它的末三位数字为 0

32、,或者末三 位数能被 8 或 125 整除时,这个数便能被 8 或 125 整除。例如,的末三位数字为 0,那么这个数 能被 8 整除,也能够被 125 整除。3569824 的末三位数为 824, 8| 824, 那么 8| 3569824。0 的末三位数为 750, 125| 750,那么 125| 0。【能被 7、11、13 整除的数的特征】 一个 数，当且仅当它的末三位数字所表示的 数，与末三位以前的数字所表示的数的差 大减小的差能被 7、11、13 整除时， 这个数就能被 7、11、13 整除。例如， 75523 的末三位数为 523，末 三位以前的数字所表示的数是 75， 523-

33、75=448, 448- 7=64，即7 | 448，那么 7 | 75523。又如, 1095874 的末三位数为 874, 末三位以前的数字所表示的数是 1095, 1095-874=221, 221 + 13=17,即13| 221 ,那么 13| 1095874。再如, 868967 的末三位数为 967,末三位以前的数字所表示的数是 868,967-868=99, 99 + 11=9，即11 | 99,那么 11 | 868967 此外,能被 11 整除的数的特征,还可以这样表达：一个数，当且仅当它的奇数位上数字 之和，与偶数位上数字之和的差 大减小 能被 11 整除时，那么这个数便

34、能被 11 整除例如， 4239235 的奇数位上的数字之 和为4+3+2+5=14， 偶数位上数字之和为 2+9+3=14， 二者之差为 14-14=0, 0-11=0, 即 11 | 0,贝U 11 | 423923526、数的公理、定理或性质【小数性质】 小数的性质有以下两条：1在小数的末尾添上或者去掉几 个零，小数的大小不变。2把小数点向右移动 n 位，小数 就扩大 10n 倍；把小数点向左移动 n 位， 小数就缩小 10n 倍。【分数根本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数， 分数的大小不变。即a a- ma 乱十 til芦话2)-=(m h 0)【去九数的性质】

35、用9去除一个数， 求出商后余下的数，叫做这个数的“去九 数，或者叫做“ 9余数。求一个数的 “去九数，一般不必去除，只要把该数 的各位数字加起来，再减去 9的倍数，就 得到该数的“去九数。(求法见本书第 一局部“(四)法那么、方法“2运算法那么或方法中的“弃九验算法词条。) 去九数有两条重要的性质：(1) 几个加数的和的去九数，等于 各个加数的去九数的和的去九数。(2) 几个因数的积的去九数，等于 各个因数的去九数的积的去九数。这两条重要性质，是用“弃九验算法 验算加、减、乘、除法的依据。【自然数平方的性质】 1奇数平方的性质 。任何一个奇数的平 方被 8 除余 1。为什么有这一性质呢这是因为

36、奇数 都可以表示为 2k+1 的形式， k 为整数。 而2k+12=4k2+4k+1=4k k+1 +1k 与 k+1 又是连续整数，其中必有一 个是偶数，故4k k+1是8的倍数，能 被 8 整除，所以 “4k k+1 +T ,即2k+1 2能被 8 除余 1 ，也就是任何一个奇数的平 方被 8 除余 1 。例如， 272=729729+ 8=911 2偶数平方的性质 。任何一个偶数的平 方，都是 4 的倍数。这是因为偶数可以用 2k k 为整数 表示，而2k 2= 4k2显然，4k2是4的倍数，即偶数的平方 为 4 的倍数。例如， 2162=4665646656一4=11664即 4|46

37、656【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶 性有以下四条： 1 两个偶数的和或差是偶数；两 个奇数的和或差也是偶数。2一个奇数与一个偶数的和或差 是奇数。3两个奇数之积为奇数；两个偶 数之积为偶数。4一个奇数与一个偶数之积为偶 数。由第 4条性质，还可以推广到假设干个整数相乘，只要其中有一个整 数是偶数，那么它们的积就是个偶数。【偶数运算性质】偶数运算性质有：1假设干个偶数的和或者差是偶数。2假设干个偶数的积是偶数。例如，四个偶数 38、126、672 和 1174 的和，是偶数 2021；用偶数相减的算式 3756-的差，也是偶数 1984。【奇数运算性质】奇数运算性质有：1奇数个奇数的和差是奇

38、数； 偶数个奇数的和差是偶数。2假设干个奇数的积是奇数。27、数的大小概念【比拟分数大小】 用常规方法比拟分 数大小，有时候速度很慢。采用下述方法， 往往可大大提高解题的速度。1交叉相乘。把要比拟大小的两 个分数的分子分母交叉相乘，然后 再比拟两分数的大小。比方比拟彳和的大小|Z. 5X 9 = 45, 8X7=5657因为56,所以9,故彳音 又因24C2工 故？J 所乩 三个分数的大3 jj 之所以能这样比拟，是由于它们通分 时，公分母是分母的乘积。这时，分数的 大小就只取决于分子的大小了。2用“ 1比拟。当两个分数都接 近1,又不容易确定它们的大小空和333313333?旳大仪因如H岛3

39、333131=33334333346 666669 66663666669666668所以22221z 3333122223 33334222222221333333332444444443666666&5的大小时，先分别求出它们与啲差，差较小的分数比拟大。比方.比拟闵为 222222221 _ 111111111 _ 222222222口顾333333332 = 333333332 = 6666666444444-4443222222222153055X630因为一=1313X 1519566X63633X 103016X 101603030而一-W 195160362所以莘-1316 6(

40、5) 两分数相除。用两个分数相除， 看它们的商是大于1还是小于1 ,往往能 快速地找出它们的大小关系。由于这样 做，省略了通分的过程，所以它非常简便。例如.峨斗和訥大小因为 11+2.2192157535即葬只有彳的fl 所以鼎显然，将它们反过来相除，也是可以的:9219113 U 33335112即亍是石的1护，1 所以?彩畤冬【巧比两数大小】假设甲、乙两数间的关系 未直接给出，比拟它们的大小，有一定难 度。这时，可按下面的方法去做：1先看分子是1的情况。例如下 题：冷甲数的2等于乙数的甲乙二数哪一个较大? “A第一种方法是直观比拟。先画线段图 图：甲频I 直 I I I I乙数匚J 1 1 11Ek.4由对线段图的直观比拟可知，乙数大 于甲数。第二种方法是绒一标淮后再比拟大小。设甲数的扌=1个长度单位.乙数的!当然也是1个长度单位，那么甲数有1+2=4 个长度单位.乙数有1 +4|=5 个长度单位所以，乙数比甲数大.或甲数比乙数小。第三种方法是从分数意文上去分析因为甲数由4个扌组晚 乙数拯 个;组成，而一个与一个!相同，所以4个!水于庁个即甲数水于乙5A5A5数。第四种方肉是转化关系式。由题中己知条件己知甲数的!等于乙数的&*可知甲藪x =乙数X ；A5甲数=乙数x即甲数二乙数乂扌