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1、线性微分方程解的结构 我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微 分方程。 二阶线性方程的一般形式为 其中 y,y,y 都是一次的，否则称为二阶非线性方程。 线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构 二阶线性齐次方程的形式为： 定理：定理：如果函数均是方程的解，那末 也是该方程的解，其中 C 1,C2为任意常数。 线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性解的叠和性。 问题：问题：我们所求得的解 解呢？ 一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出 了两个概念：线性相关与线性独立线性相关与线性独立。 是不是方程的通 定义：定义：设是定义在
2、区间I I的两个函数，如果，那末称 此两函数在区间I I线性相关线性相关，否则，即 两函数线性独立或线性无关线性独立或线性无关。 为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理。 定理：定理：如果 之比不恒等于一个常数，那末称此 是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末 就是该方程的通解，其中 C 1,C2为任意常数。 线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 二阶线性非齐次方程的形式为： 对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对 应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？ 答案是肯定的。为此我们有下面的定理。 定理：定理： 设 y 是二阶线性非齐次方程 程对应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程 我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下： 定理：定理：设有线性非齐次方程 别是方程 的解，那末 与方程 就是原方程的解。 .如果分 的任一特解， Y 是与该方 的通解。