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1、空间向量 及其加减运算,用字母 等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示；,字母表示法：,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,复习,2.平面向量的加减法与数乘运算,（1）向量的加法：,平行四边形法则,三角形法则,复习,（2）向量的减法,三角形法则,3. 平面向量的加法运算律,加法交换律：,加法结合律：,复习,4.推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为:,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,零向量,F3=15N,已知F1=10N,F2=15N，,这三个力两
2、两之间的夹角都为90度,它们的合力的大小为多少N?,这需要进一步来认识空间中的向量,起点,终点,二、空间向量的有关概念,在空间中,具有大小和方向的量.,向量的长度或模,记为,4.零向量：,规定：长度为0的向量叫做零向量，记作:,5.单位向量：,模为1的向量称为单位向量,当有向线段的起点A与终点B重合时，,6.相反向量：,与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量。,记作:,7.相等向量：,方向相同且模相等的向量称为相等向量,因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。,空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。,平面向量,概念,加法 减法 运算,运
3、 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量的加法、减法运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,O,A,B,C,空间向量的加减法,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.,平面向量,概念,加法 减法 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量的加法、减法运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或
4、平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗？,（1）加法交换律：,（2）加法结合律：,a,b,c,a + b + c,a,b,c,a + b + c,a + b,b + c,空间向量的加法、减法运算,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,推广,（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量即：,推广,对空间向量的加法、减法的说明, 空间向量的运算就是平面向量运算的推广, 两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立, 空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加,说明,A,B,C,D,平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的
5、边叫做平行六面体的棱,平行四边形ABCD平移向量 a 到 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体记作ABCD ,平行六面体,例,例题,解：,例题,解：,例题,起点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共起点为起点的对角线所示向量,例题,现在你能解决新课开始之前所提出的问题了吗？,返回,小结：,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,在这里，空间向量的加减法运算性质 完全和平面向量的运算性质一样！,A,B,M,C,G,D,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：,练习,A,B,M,C,G,D,(2)原式,练习参考答
6、案,空间向量 的数乘运算,2.空间向量的数乘运算,2. 空间向量的数乘运算,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,O,A,P,B,点P在直线L上,点P在直线L上,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.,在正方体AC1中,点E是面AC 的中心, 若 ，求实数x,y.,共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,A,P,思考,A,P,B,分析: 证三点共线可尝试用向量来分析.,练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB 外一点 , 且 ，求 的值.,思考1,二.共面向量:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间
7、任意三个向量就不一定共面的了。,思考2,得证.,类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?,然后证唯一性,证明思路：先证存在,推论,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空 间的一个基底.如：,推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使,O,A,B,C,P,例1,例2,例3,答案,练习,例1,解:,连AN,练习,B,例3,(1)答案,(2)答案,例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 , , , , 求证： 四点E、F、G、H共面； 平面EG/平面AC.,例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点
8、O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： (A)若 ，则P、A、B共线 (B)若 ，则P是AB的中点 (C)若 ，则P、A、B不共线 (D)若 ，则P、A、B共线,2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， , 则x的值为( ),1.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线 (B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线,2.下列说法正确的是
9、： (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面,补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底 表示向量,解：在OMG中，,已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 ， ， ，求证： (1)四点E、F、G、H共面； (2)平面EG平面AC .,A,B,M,C,G,D,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：,A,B,M,C,G,D,(2)原式,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：,思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,8.小结,类比思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,