数学归纳法在中学数学中的应用_1.docx

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1、数学归纳法在中学数学中的应用篇一：浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2 目 录 1、 数学归纳法 - 3 1.1 归纳法定义 - 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想 - 4 1.2.1 从特殊到一般 - 4 1.2.2 递推思想 - 4 2、 数学归纳法在中学数学中的应用技巧- 5 2.1 强调 - 5 2.1.1 两条缺一不可 - 5 2.2 技巧 - 5 2.2.1 认真用好归纳假设 - 5 2.2.2 学会从头看起 - 6 2.2.3 在起点上下功夫 - 7 2.2.4 正确选取起点和过渡 - 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式 - 9 3、 数学归纳法在中学数学中的应用 - 9

2、 3.1 证明有关自然数的等式 - 9 3.2 证明有关自然数的不等式 - 11 3.3 证明不等式 - 11 3.4 在函数迭代中的应用 - 12 3.5 在几何中的应用 - 14 3.6 在排列、组合中的应用 - 16 3.7 在数列中的应用 - 16 3.8 有关整除的问题 - 17 浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用 魏福雄 西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要:数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题本文先叙述了归纳的意义、类型，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现

3、数学问题的解题途径数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式不完全归纳和完全归纳本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等 关键词：数学归纳法；不完全归纳法；完全归纳法 The simple discussion a

4、bout mathematical induction and using in high school math Wei Fuxiong School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive thinking.Using inductive thinking in

5、problem solving,not only can find a given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathema

6、tical problem solving approach. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argum

7、ent. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction

8、, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathema

9、tical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach. Key words:Mathematical induction;incomplete induction ;complete induction1、 数学归纳法 1.1 归纳法定义 大家知道，数学中的许多命题都和正整数n有关，这里所说的n，往往是指任意的一个自然数，因此，这样的一个问题也就是一整数命题在数学问题中，每一类问题都有一种专门的方法来解决数学归纳法可

10、以说是解决有关整数问题的一种工具归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法归纳法的基础是观察与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而有普遍应用的思想方法在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现

11、真理的典型例证再例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法这些归纳法却不能用完全归纳法数学归纳法是一种特殊的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，在中学数学中，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果 数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值n0时结论正确； (2) 假设当nk (k?N?，kn0) 时结论正确, 证明当nk1时结论也正确 完成这两个步骤后,

12、就可以断定命题对从?开始的所有正整数n都正确1.2 数学归纳法体现的数学思想 1.2.1 从特殊到一般 “从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中 由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究

13、去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的 正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前n个自然数的立方和公式，二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，同样需要观察、实验”无独有偶，大数学家高斯也曾说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续纵观古今，科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史，更是一部论证史数学的发展更是这样的科学结论的得到大致包含以下几个阶段：观察、实践推广猜测一般性结论论证结论而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法这与数学大师所说的“先从少数的事例

14、中摸索出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性， 关键词：数学归纳法 形式 归纳假设 基本步骤 图论 Abstract：This paper introduces the principle of mathematical induction of the two basic steps, as well as the basic principles of it deduce the mathematical induction of the other four forms, including: Second mathematical induction, jumping mathema

15、tical induction , reverse mathematical induction, double mathematical induction, and gives the theorem of the four mathematical induction and its applications, and prove some proposition about natural number n by mathematical induction in graph theory, such as the proposition about vertices of the g

16、raph, edge, vertex set or edge set, distance, and so on in graph theory. Keywords: mathematical inductionforminductive assumptionbasic stepgraph theory 0引 言 （n）数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题P的一种推理方法。严格意义上的数学 归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题作了深入的考察。意大利数学家Peano,Giuseppe（1858-1932）于1889年在其著作算数原理新方法中提出了著名的自

17、然数公理体系，其中欧冠的“归纳公理”成为数学归纳法的理论依据。数学归纳法是数学中的一个重要的证明方法,也是中学数学的一个重要内容。数学归纳法的发展几乎经历了整个数学的发展历程,从而也从一个侧面给出数学发展的缩影。数学归纳法的产生、发展和确立的历史，一定程度上反映了数学产生与发展的历史，而且数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期。在中学数学中的许多重要结论：如等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式、二项式定理都可以利用数学归纳法进行证明。在实际问题中由归纳、猜想得出的一些与正整数有关的数学命题，通过用数学归纳法加以证明，可以使学者对有关知识的认识更加深入，理解更加透彻。运用数学归纳法可以证

18、明许多数学命题，通过这些命题的证明，既可以开阔学者的眼界，又可以使他们受到推理论证的良好训练。数学归纳法在今后的数学研究过程中经常用到，它是很重要的一种数学工具。因此，掌握数学归纳法，研究数学归纳法及其应用具有重要的意义。图论以图为研究对象，包括点、边、面、距离与自然数联系密切，图论中的许多定理在证明的时候，运用数学归纳法证明，能起到化繁为简，避免证明过程复杂的作用。 数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，没有它，在图论中很多与自然数有关的命题难以证明。同时对于与自然数有关的命题，把n所取的无穷多个值一一加以验证时不可能的，用不完 1全归纳法验证其中一部分又很不可靠，数学归纳法则是一种

19、用有限步骤证明与自然数有关的命题的可靠方法，不仅思路清晰，大大降低了问题的复杂性，又能找出相应的递推关系，非常奏效。因此，图论中的很多命题的论证，数学归纳法不失为一种行之有效的方法。 处理数学问题时，经常涉及到关于任意正整数n成立的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的。我们不能逐一验证，此时数学归纳法往往是一种十分有效的方法.数学归纳是一种重要的推理方法。它是与自然数有关的数学命题，依据数学归纳法原理，可以得到可靠的结论的一种归纳推理方法，称作完全归纳法又称数学归纳法。数学归纳法有它因有的理论基础， 运用起来有确定的程式和步骤，有灵活多变的技巧，又和数学各个部

20、分有着广泛紧密的联系。 1 数学归纳法的理论基础 （1）（2）（n）假使我们证得特殊命题P，P成立，用不完全归纳法，断言对于所有自然数n，命题P 都成立。 这样的论断是不可靠的。 而用完全归纳法进行列举，往往又不可能。 数学归纳法正是解决这类矛盾的一种推理方法，数学归纳法从本质上说是一种演绎推理的方法，但又不能和归纳推理等同。 （n）一个和自然数有关的命题，我们记P，如果它实际上是一个包含无数个特殊命题， 这命题序 ?，列即P(1),P(2),?,P(n)，而且每一个特殊命题均可由它的前一个命题导出。对于这类命题的证明， 我们通常要用到数学归纳法。 1.1 数学归纳法的理论基础是Peano公理

21、2 公理：如果某一自然数的集合M满足: 1?M若自然数k?M, 则k+1?M。那么，集合M就是所有自然数所构的集合。 ?的证明，把这个公理应用于自然数有关的命题序列P(1),P(2),?,P(n)，设使命题成立的自然数 集合是M。就得到数学归纳法: 1.2第一数学归纳法3 （n）设P是一个表示与正整数n有关的命题。 （n）归纳奠基：当n?n0（n0?N）时，P成立； （n）（n）递推的依据：假设当n=（时，P成立，由此可推出P在n=k + 1时成立，那么kk?n0） P（n）对一切正整数n?n0时都成立。 说明 数学归纳法中的两步缺一不可，第一步验证P(n0)成立是奠基，第二步利用归纳假设(第

22、二步中的“假设”被定义为归纳假设，不要把整个第二步称为归纳假设)，结合已知的有关数学知识证出*P?k +1?成立是递推的依据，这两步对证明命题相辅相成，构成数学归纳法证明过程的逻辑结构，尤为重要的是在证明过程中必须用到归纳假设， 2 数学归纳法的基本步骤 前面已经介绍了数学归纳法的基本步骤：第一步是数学归纳法的推理的基础和根据，如果缺了第一步，即使证明了第二步，命题也不一定成立。第二步在命题序列中建立了推理链的关系，在P?n0?成立的前提下，保证了命题序列中递推关系的成立，使推理链一环扣一环，直至对不小于n0的所有自 Pn）然数n，（都成立。两步缺一不可，我们应该注意的问题是： 2.1 n0的

23、取值 以P?n0?代表奠基步骤：n往往从1开始，又不一定从1开始。 例1比较f(n)?2n和n2的大小。 分析 设f(n)?2n,g(n)?n2， ?f(1)?21?2,g(1)?12?1 ?f(2)?22?4,g(2)?22?4 ?f(3)?23?8,g(3)?32?9 ?f(4)?24?16,g(4)?42?16 ?f(5)?25?32,g(5)?52?25 ?f(6)?26?64,g(6)?62?36 ?f(1)?g(1);?f(2)?g(2);?f(3)?g(3);?f(4)?g(4); ?f(5)?g(5);?f(6)?g(6); 可见当n?5时，f(n)?g(n),推测得到结论：当

24、n?5时，2nn2。所以用数学归纳法证明这个结论时，应选n0?5。 证明 归纳奠基：当n0?5时，25?52; k2k?1k222归纳递推：假设某个自然数k（k?5）时，有2?k,z则2?2?2?2?k?k?k。 又k2?k2?k2?2k?1 ?2k?1?(k?1)2 2即2k+1?（k?1） nn?5）都有2n。 综合，可得结论，对任何自然数（n2 2.2验证初值 作为奠基步骤，有时不止验证一个值。 例2 设数列xn满足：（）1x0?0,x1?1;（2）xn?xn?1?xn?2(n?2,3,?) 求证 xn?11?n1?5n)?() 22( 分析 由于题目条件中给出了递推式 xn?xn?1?

25、xn?2(n?2,3,?)，故作为奠基步骤，必须至少检验两个值，即当n?0和1时的x0和x1的篇三：数学中的归纳法及应用 题 目归纳法在数学中的应用与地位 学 生 学 号 指导老师 年 级 学 院 系 别 xx年xx月 目录 目录. 2 摘要. 3 引 言. 4 一、数学归纳法的历史由来. 4 二、归纳法的特点. 4 二 基本步骤. 5 三 数学归纳法的常用方法举例. 6 3.1求同法 . 6 3.2 求异法 . 6 3.3 求同求异并用法 . 7 3.4 共变法 . 7 3.5 剩余法 . 7 四、在高等数学中的归纳法运用举例. 8 五、数学归纳法解决应用问题. 9 5.1代数恒等式方面的问

26、题 . 9 5.2几何方面的应用 . 9 5.3 排列和组合上的应用 . 10 5.4对于不等式的证明上的应用 . 11 六、总结. 11 参考文献. 12 致谢. 13 摘要 数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式. 它的应用极其广泛本文讨论了数学归纳法的步骤，它集归纳，猜想，证明于一体，体现了数学归纳法的证题思路本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，并对应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力 数学归纳法的具

27、体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的. 不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度. 人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法. 归纳法在数学中运用十分广泛. 关键词：数学归纳法 数学归纳法的特点 步骤 应用. Abstract Mathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematic

28、s, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solv

29、e algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical inductions applicationSo-called mathematics inductive method is from the

30、 special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking ofwith understanding, it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking. The inductive method is in mathematics make use of very extensively. Key words：Mathematical induction; steps；

31、Application. 引 言 在中学数学学习的过程中，有一种很常见且基本的数学方法数学归纳法对于数学归纳法，有人问：为什么说数学归纳法是严格的证明方法？数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要有这样的规定格式？数学归纳法的应用前景如何？下面将逐一进行解答 一、数学归纳法的历史由来 曾经有一个叫皮亚诺的意大利人把我们小时侯数数的过程归纳整理出来，称作正整数公理这个公理有五条：“简单归纳一下，前四条是说：1是正整数，且它不是任何正整数的后面的一个数（称作后继），即1是第一个正整数，每个正整数都有唯一的后继，而且是正整数”；关键是第五条：“一个正整数集合，如果包含1，并且假设包含x，

32、也一定包含它的后继，那这个集合包含所有的正整数”这一条就是数学归纳法的原理1用符号表示，即： 如果SN,且满足(1)1?S （2）若k?S则k+1 S,那么 S=N 根据这一原理，就有了数学归纳法，设P(n)是与正整数有关的命题如果 (1)当n=1时正确，即P(1)正确 (2)若假设P(k)正确前提下，可以证明命题P(k?1)也正确 那么命题对任意正整数都是正确的 数学归纳法的正确性可以用“正整数最小数原理”加以证明，正整数最小数原理是说，任何非空正整数集合一定含有最小数 二、归纳法的特点 (1)归纳法是根据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论,超越了前提所包含的内容. (2)归纳法是

33、依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象,因而结论具有猜测的性质. (3)归纳法的前提是单个事实、特殊情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的. 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一. 例如多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有什么关系呢?应该从何处着手来研究这个问题呢?最容易下手的莫过于拿几个多面体来看,具体地数一数它们的面、顶点和棱.于是产生了下面的表: 分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个结论: F+V=E+.

34、 尽管这时还不能认为这个结论是正确的,但是它毕竟为我们提供可一个研究的方向,即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形. 又如,已知函数f(x)=,求ff?f(x).显然无法下手直接计算得 出结果,最自然的想法乃是先求ff(x)及fff(x)等特殊的简单的形式.易得: ffx=; x fff(x)= 于是,可以自然地归纳出结论: ff?f(x)=; . 有了这个猜测性的结论之后,再去严格证明它. 二 基本步骤 数学归纳法是数学中一种重要而独特的证明方法，对与自然数n有关的命题的证明是行之有效的首先它的两个步骤缺一不可 ，其次它的应用非常广泛，可以用它解决好多方面的数学问题2数学归纳法的步骤： (1)当n=1时，这个命题是正确的 (2)假设当n=k时，这个命题是正确的，那么当n=k+1时，这个命题也是正确的数学归纳法在中学数学中的应用