电大高等数学基础.docx

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1、一、单项选择题1-1以下各函数对中，(C)中的两个函数相等.A. f(x) =( . X)2, g(x) =XB. f(x) hx2 , g(x)当X； 0时，变量(C)是无穷小量.当X-； 0时，变量(D)是无穷小量.以下变量中，是无穷小量的为(B)1Asin0 bIn x 10 cexx1X-=:x _ 2 d. x 2x -43-1 设 f(x)在点 x=1 处可导，那么 lim f (1 _ 2h) _ f (1) =( d).ha. f (1)b. - f (1)C.2f (1) d. -2f (1)设f(x)在X。可导，那么杷竺誉丄血工(D).二 X3X2 _1c. f (x) =

2、 ln x ， g(x) = 3ln x d. f (x) = x 1， g(x): x -11- 2.设函数f(x)的定义域为(一二!，：)，那么函数f(x) f(_x)的图形关于(C)对称.A.坐标原点B. X轴C. y轴D. y = X设函数f(x)的定义域为(一=,：)，那么函数f(x) _ f(-X)的图形关于(D)对称.a. y x B. X轴C. y轴D.坐标原点eex.函数y的图形关于(A)对称.2(A)坐标原点(B) x轴(C) y轴(D) y = x1- 3.以下函数中为奇函数是(B).X_x2、a aa. y = ln(1 X ) B. y = xcosx c. yD.

3、y = ln(1 x)以下函数中为奇函数是(A).3xxa. y x - xb. y e e c. y = ln( x 1) d. y = xsin x 以下函数中为偶函数的是(D).x2Ay =(1 x)sin xBy = x2 cy 二 xcosxDy 二 ln(1 x ) 2-1以下极限存计算不正确的选项是(D).2Xa. lim 21 b. lim In(1x)=0x?：x2 2 x j-c. lim sinX = 0 d. lim xsin 1 = 0x匸xx厂x2-2当x 0时，变量(C)是无穷小量.sin x11a. B. c. xs ind. l n(x 2)XXX1 sin

4、xA bcex -1 d -2X XXA 1 sin x xA BC2 Dln(x T)X XAf (X0)B2f(X0)C - f (x)D-2f(X。)f(x0 -h)-f (x0)设 f (x)在 x0 可导，那么 lim -(D).2ha. - 2f (x-)b. f(X-) c. 2 f (x-)d. - f (x-)X设 f (x) = e，那么 lim4 Ax3-2.以下等式不成立的是(D).f(1f(1)二(A)AeB.2eC.1eD.le4XX1L1a. e dx 二 de b -sin xdx 二 d (cos x) c.dx = d . x D. ln xdx = d (

5、)2 Jxx1dx)=arctan xdx B. d ()2xx1以下等式中正确的选项是(B). A. d( -1 +x2c. d (2x ln 2) = 2x dx d. d (tan x) = cot xdx4-1函数f(x) =X2 4x -1的单调增加区间是(D).A. ( - ： ：, 2) B. (1, 1) c. (2,-D. (-2,-y =x2 4x -5 在区间(_6, 6)内满足(A).B.单调下降C.先单调上升再单调下降函数A.先单调下降再单调上升.函数yD.单调上升2 =X -X -6在区间(一5，5)内满足(A)A先单调下降再单调上升_ B单调下降C先单调上升再单调

6、下降(2, 5)内满足(D).B.单调下降C.先单调上升再单调下降.函数y = x -2x 6在区间A.先单调下降再单调上升15-1假设f ( x)的一个原函数是 一x，那么 f (x) = ( D). A. |n X B. -D单调上升D.单调上升12 x12C. D.飞xx.假设F(x)是f(x)的一个原函数，那么以下等式成立的是(bf (x)dx = F (x) _ F (a) b F(x)dx 二 f (b) - f (a)aLabCf (x) =F(x) D f (x)dx =F (b) _ F (a) a5-2 假设 f (x) =COSX，那么 f (x)dx = (B).a.

7、sinx cB. cosx cc. -sin x cd. -cosx c以下等式成立的是(D).A. f (x)dx = f (x) b. df (x) = f (x)-Jc. d f (x)dx = f (x) d. f(x)dx = f(x) dx A)。d11x2f(x3)dx 二(B). A. f(x3)B.X2f(x3)C. f (X) D. f(x) dx33d22112xf (x )dx 二(D) Axf (x )b f (x)dx c f (x)Dxf (x )dx dx1- X5.-3 假设 f (x)dx = F (x) C，那么f ( x)dx =(B).A. F (仮)

8、+cb. 2F (Jx) +cc. F (2jx) +cd.亠x补充:ef(e)dx F(e) c,无穷积分收敛的是 彳二dxx函数f(x)=10x 10的图形关于y轴对称。、填空题1.函数f (x)函数y =ln (x2)1 2=X 亠in(1亠x)的定义域是x -3x4 _ x的定义域是(2, 3) U ( 3，4 (3, +s)、， 1函数f (x) = In(x 5) 的定义域是(-5, 2)X2 +1 ,J 2X，12假设函数f (x) J x)XI x+k,假设函数f(X)=x : 0，在X二0处连续，那么k =ex _0sin 2x.函数f(x)=丿函数函数函数3- 1.曲线_

9、0在x = 0处连续，那么k =2-0X 1,0的间断点是0 3x 3X x 331-3 求 |m tan3x 解:X)0xtan3x tan3x=limx x 0 3x类型2:因式分解并利用重要极限厶J 解:2-1 求 lim Jsi n(x 1)sin x -1 的2-2 lim 2 解：x 1 x2 -1x -4x+3_2-3 lim解: limx alim sin(x_a) =1 , lim 八一a = 1 化简计算。 t (xa)xT sin(x a)limx1 =血.(x-1)=1 (-1-1) = -21 sin(x 1) J1 sin(x 1)(x 1)sin (x-1) si

10、n (x-1)1lim 2limX 1 X2 _1X 1X2 -4x 3(x -1) (x 1)=1丄1 1x 3 sin(-3)x )3 sin(x - 3)类型3:因式分解并消去零因子，再计算极限 x2 _6x +8lim 厂x)4 x _5xx2 x - 6= lim(x3)(x1)=lim(xx 13 sin(x - 3)x3_1) =237叫解:x2 x - 63-2 lim 2lim 2x x -x -12 x -3x -x -12J . (x 4)(x2)= limli4 J4(x_4)(x_1)X 3 X-2 =lim 口x 4二 limx a3 x 3 x - 4x 2 li

11、mx 4 x _13-3 lim X3L2x 2X2 -4其他：limx0sin xx2 -3x 2x2 -41 2x2-1lim x sin x2x 6x 5“mH)X 之(x _2)(x2)lim sinxxT、X 1 - 1sin =limx0 1x222x 6x2xlim 2- = lim 2 =1， lim 2x):：x -4x-5 xxx?：3x -4x-5tan 8x(0807 考题)计算 lim tan8x 解: lim 回乞= limxt0 sin4x sin4x t sin 4x-22x22二 limx3x24(0801 考题.)计算 lim sin X .解 lim si

12、n XT 2XTX2 _2x _3(0707 考题.)lim= limx1 si nx lim2 x)o2x(x 1).(x-3)xi sin(x+1) U sin(x+1)(二)求函数的导数和微分(1小题，11 分)(1)(2)类型=1(_1_3)一4利用导数的四那么运算法那么(u二v) = u - v (uv) = u V亠uv利用导数根本公式和复合函数求导公式1:加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1 y = (x，x3)exr 3、/ 3F y =x2 +3X 1e十x2 +3 J J解:1小尹+x2+3e323-x2 x2 321-2 y = c

13、ot x x In x解：y = (cot x) (x In x) = _csc x (x ) In x x (In x) = _csc x 2 xln x x1-3 设 y 二 ex tan x I n x，求 y .xx 21tanx e sec x- x1解: y =(extanx)：-(In x) = (ex) tanx ex(tanx)ex类型2:加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导2-1 y2-2 y解:.222二si nx In x，求 y 解：y = (si n x ) (I nx) =2xcosx二cose -sinx，求 yx 2XX22-y (cose

14、) -(sin x ) sine .(e ) -cosx .(x )=xx2-e sin e - 2xcosx2-3 y = In x e ，求 y，解： y = (In x) .(e) = 一 In x -5ex类型3:乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导2 2 2 2 2y = ex cosx，求 y。解：y = (ex ) cosx ex (cosx) = 2xex cosx -ex sin x其他：x cosx-y - 2，求 y。x解：x、. /COSXx(cosx).x-cosx.(x)xxsin x cosxy =(2 ) - () =2 In 222 In 22

15、XXX0807.设 y = esinx sin x2，求 y 解：y = (esinx)(sin x2) = esinx cosx 2xcosx2x2x2x2x22 x20801.设 y = xe ，求 y 解：y =(x)e x(e ) = e 2x e0707.设 y =esinx -x2，求 y 解：y =esinx.(sin x) (x2) = cosxesinx _2x0701.设=In x cosex，求 y 解：y = (In x) -sin ex.(ex)1 xxe sin ex三积分计算：2小题，共22 分凑微分类型1：1cos-计算一 dx解:x- dx = _ Jd(!)

16、XXcos1xdx 二- cos1dC)二-sin1 cx xx0707.计算sin 吾dx x1ex解:.1sinTdxx1x1cos-xx1- e；cee10701 计算 rdx 解： ydx 二-exd()xxx1 一厂旷dx =2厂d Jxdx解： 严型xdx = 2 QosJxdVx =2sinp* +csin x dx = 2 sin xd x = 2cos x c凑微分类型2 :.计算0807.计算0801.计算cos xsi；xdx .解：xdx 解：.,xxdx = 2 e xd . x = 2e x c凑微分类型3:计算丄xlnx1 1 dx = f- d ln x，广一d

17、x =广 d(a +1 n x) x 、1dx 解：dx = xlnx ln xxdu =ln 11n X I c u.计算e2 lnx1e2 ln x dx =1 x5 定积分计算题，分部积分法xa lnxdx= Inxdxa十=xa*lnx fxadx=xa+1，a+1a+1，类型1:计算计算计算08070707dx 解：.1ei xlnxdx 解:eln xY dx 解:1 xe ln x .dx 解:xl nxdxe 21x lnxdxe1lnxdxln xdx%x1a =2J； (2 + ln x)d(2 +1n x) =1 (2 十 In x)252afrA.Iad!,ln x2

18、x +ca+1 (a 十 1)21 2 1 2 1 2 ln xdx x ln x x c224111=- ln xd(-) ln x cxxx=2 In xd . x = 2、x ln x - 4 . x c1 芳 dx = 2flnxdUx3x2/x = (2依 ln x 4袖 x) ： = 2勺 e + 4elnxd x3 1=x3l nx313、-9x)2 3 -e9类型 2 xeaxdx = 1 Jxd (eax)=丄 xeax - 丄 eax + c a a a(0801考题)10xexdxax1xde x = (xex - ex)1 1类型 3: Jxsin axdx = x c

19、osax + aa四、应用题1题，16分 类型1:圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为解：如下图，圆柱体高h与底半径r满足h2圆柱体的体积公式为 V -二r 2 h求导并令7 = Xl2 -3h2 =0得hl，并由此解出r =3J6込1 1cosaxdx = x cosax 丁一2 sin ax caan(l丨，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大?r2 =l22 - h2 h即当底半径rl，高hl时，圆柱体的体积最大.33类型2:体积或容积，求外表积最小时的尺寸。2-1 0801考题某制罐厂要生产一种体积为解：设容器的底半径为r，高为h，那么其容积v的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与

20、高各为多少时用料最省2VV =H.r2.h, h 2兀.r2外表积为S =2冗r22冗rh =2S =4 nr -弓，由 S =0 得 rr4V由实际问题可知，当底半径与咼h = 2r时可使用料最省。2-1完全相同体积为v的圆柱体，问底半径与高各为多少时外表积最小解：此题的解法和结果与生产一种体积为 V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省?解:设容器的底半径为r，高为h，那么无盖圆柱形容器外表积为S = nr22 nrhnr2 2V，令r2-2解:S =2 冗r 一耸=0，得 r =r由实际问题可知，当底半径欲做一个底为正方形，容积为设底边的边长为 x，高为外表积y=x2 4

21、xhJ，r =3fV与高h = r时可使用料最省。Y n32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？(Vxh，用材料为y，由x2h=32，h0707考题)4V，x0=0，x2由实际冋题可知， x 4是函数的极小值点，所以当 x = 4，令 y =2x得x3=2V =64，此时 x = 4, hV=2xh = 2时用料最省。欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：此题的解法与 2-2同，只需把 V=62.5代入即可。 类型3求求曲线y2 =kx上的点，使其到点 A(a, 0)的距离最短.曲线y2 = kx上的点到点 A(a, 0)的距离平方为L =(x-

22、a)2 y2 =(x-a)2 kx L J2(x -a) k =0，2x =2a -k3-1在抛物线y2 =4x上求一点，使其与 x轴上的点 A(3, 0)的距离最短解：设所求点P (x，y)，那么满足y2 = 4x，点P到点A的距离之平方为令L=2(x-3) 4 =0，解得x=1是唯一驻点，易知 X=1是函数的极小值点， 当x=1时，y=2或y = -2，所以满足条件的有两个点(1，2)和(1，- 2)3-2求曲线y2 = 2x上的点，使其到点 A(2,0)的距离最短.解：曲线y2 =2x上的点到点a (2, 0)的距离之平方为L =(x-2)2 y2 = (x-2)2 2x 令 L J2(x -2)2 =0，得 x =1,由此 y2 = 2x =2，y =：疗2即曲线y2 = 2x上的点(1，. 2 )和(1, -、一 2 )到点A (2，0)的距离最短。208074求曲线y = x上的点，使其到点 A ( 0，2)的距离最短。解：曲线y = X2上的点到点 A (0，2)的距离公式为 d = ,X 2 (y-2)2y (y-2)2 d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求d 2的最大值点，23V6令(d ) = 0得y，并由此解出x =2_2_2V63V63即曲线y = x上的点(，一)和点(，一)到点A (0，2)的距离最短2222