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1、线性回归的显著性检验1回归方程的显著性在实际问题的研究中，我们事先并不能断定随机变量y与变量x1,x2, ,xp之 间确有线性关系，在进行回归参数的估计之前，我们用多元线性回归方程去拟合 随机变量y与变量x,X2，,xp之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假 设。因此，和一元线性回归方程的显著性检验类似，在求出线性回归方程后，还 需对回归方程进行显著性检验。设随机变量丫与多个普通变量Xi,X2, ,Xp的线性回归模型为Y b biXibpXp其中 服从正态分布N(0, 2)对多元线性回归方程的显著性检验就是看自变量假设接受Xi，X2， ,Xp从整体上对随机变量y是否有明显的影响。为此提出
2、原假设H:bi 0,b20, ,bp 0如果H。被接受，那么说明随机变量y与Xi,X2, ,Xp的线性回归模型就没有意义。通过总离差平方和分解方法，可以构造对 H。进行检验的统计量。正态随机变量yi,y2, ,yn的偏差平方和可以分解为：(yii iy)2(yi ?ii i? y)2nn(?i y)2(yinSt(yii iy)2为总的偏差平方和,Sri i(?i y)2为回归平方和,nSe(yi ?)2为残差平方和。因此，平方和分解式可以简写为:回归平方和与残差平方和分别反映了 造F检验统计量那么利用分解定理得到:b 0所引起的差异和随机误差的影响。构Qr pFQe (n p 1)在正态假设
3、下，当原假设H。*! 0,b2 0, ,bp 0成立时，F服从自由度为(p,n p 1)的F分布。对于给定的显著水平，当F大于临界值(p,n p 1)时,拒绝H。，说明回归方程显著，x与y有显著的线性关系。实际应用中，我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显著性。复相关系数R定义为：平方和分解式可以知道，复相关系数的取值范围为0 R 1 o R越接近1说明SE 越小，回归方程拟合越好。2回归系数的显著性假设方程通过显著性检验，仅说明b0,b1,b2, bp不全为零，并不意味着每个自变量对y的影响都显著，所以就需要我们对每个自变量进行显著性检验。假设某个系数bj 0，那么Xj对y影响不显著，因此我们总想从回归方程中剔除这些次要的， 无关的变量。检验Xi是否显著，等于假设Hj：bj 0, j 1,2, p B? NB, 2(XX) 1，记(XX) 1(q) i,j 0,1,2, p,可知bj Nbj,Cj 2, j 0,1,2, p,据此可构造t统计量tj其中回归标准差为n P I?当原假设Hj：bj 0成立时，那么tj统计量服从自由度为n p 1的t分布，给定显 著性水平 ，当tj t ,2时拒绝原假设H j : bj 0 ,认为百对y影响显著,当 tj t ,2时，接受原假设Hj：bj 0，认为为对y影响不显著。