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1、第四讲2013-2014秋学期数字图像处理数字图像的频域变换赵启军qjzhaoscu.edu.c n四川大学计算机学院知识回顾厂灰度变换“代数运算、在灰度域进行“如加、减、乘、除等数字图像变换“改变图像的对比度、目标与背景分离等几何变换-几何运算、在空间域进行-如平移、缩放、旋转等-改变图像中物体的位置、形状等 -将图像从灰度空间变换到其它空间 -如通过Fourier变换到频率域 “可以用于特征提取、压缩编码、提高计算效率等练习方案一:扩大图像尺寸,方案二：保持图像尺寸, 部分图像内容会丢失编写程序实现图像的旋转练习：方案一输入:原始图像1,旋转中心(xc, yc),旋转角度e输出：旋转后图像
2、|CI:H；1:Wd=0计算I。高度和宽度：H. W旋转I。的四个顶点确定旋转后图像的大小：也、Wq 计算旋转后的平移量：dX5d初始化旋转后图像h： h(1汨for l0每一个像素点(XoM) 任算旋转后坐棕(x“y j昇取整ii(xi,yi)=io(xO5yo)end确定h上有效图像区域中未赋值像素点，并用最近邻法插值逐行扫描h的像素点，记录每行最左和最右有效像素位置Pl、Pr自左向右处理Pl到Pr之间的像素点，如果没有赋值，则取其左 侧相邻像素的灰度值练习：方案二输入:原始图像1,旋转中心(xc, yc),旋转角度e输出：旋转后图像|l=i1=1计算I。高度和宽度：H. W 初始化旋转后
3、图像h： hfl：H界:W)=0 for h每一个像素点(x“yd 计算其在原始图像I。上的位置(X。) if (XoM)在Io的有效范围内if (x0,y0)均为整数 ii(xi,yi)=io(xO5yo) else使用双线性插值计算y) = /a 0) /(o? 0) X + /(0? 1) /(0? 0) y+ /(1?1) + /(0? 0) - /(091) /(1? 0)号 + /(0? 0)end end end7本讲内容图像频域变换的基本概念典型的图像频域变换方法-FFT、DCT、小波变换等图像频域变换的应用图像频率的基本概念(1)我们通过什么感知到图像中的物体?灰度或色彩的空
4、间分布形成的边缘、轮廓、结构图像频率的基本概念(2)为什么会感知到边缘?灰度变化较大/较快的地方形成边缘图像的空间频率反映了图象的灰度或 色彩随着空间坐标变化而变化的快慢变化平缓的图像频带窄、变化剧 烈的图像频带宽图像中的高频分量边缘和细节部分图像中的低频分量 背景和缓慢变化部分图像频域变换的目的(1)原始图像高频分量图像通过频域变换可以将图像中的不同对象按 高频和低频分量分别进行处理-比如通过增强高频分量来提取图像的边缘信息13图像频域变换的目的(2)图像频域变换的一般形式频率域/ 变换域g(%)正变换g(u,v)=T(f(x,y)/(兀丿)在频率/变换域中进行图像处理的优势-可以使某些特征
5、更突出，便于分析和识别-可以更有效地表示图像，实现压缩和编码-可以简化计算，如通过频率域的乘积实现空间域的卷液Fourier变换原始图像图像滤波与卷积(1)一幅图像由多种不同频率分量的信号构成Fourier频谱图(幅值)17图像滤波与卷积(2)#图像滤波与卷积(2)所谓图像滤波在频域就是仅保留指定频段 的信号，而去除其余信号-低通、高通、带通滤波Fourier 变换Fourier反变换19图像滤波与卷积（3）根据线性系统理论，用一个二维函数对另 一个二维函数（图像）进行滤波的结果是 这两个二维函数的卷积f(x,y)k g(x,y) z(x,y)z(x,y)=f(x,y)*g(x,y)*表示卷积
6、运算/n th二维数字图像卷积z(Z J)=工工-kJ-/)I 心 1 -J#图像滤波与卷积(21)以一维函数卷积为例。假设f (x) (x=0, 1., A-1)以及g(x) (x=0, h，CT)是两个有限离散函数，其线性卷积定义为N-1Z(x) = /(x) * g(x) = /(z)g(x-z)N = A + C-1Fourier变换(2)Fourier变换(2)二维离散Fourier变换(2dDFT)描述空间图 像f (x, y)和它的频:减图猱F (u, v)之间的映 射关系，箕中u, v为空间频率坐标正变换反变换1 M-IN-1F, v)二XS/(兀刃 exp 7flj1Q1xl
7、 M+vy/N) u = 0丄AYI v=0丄，NI j71M-l N-l,v)exp j2tiux/M +vy /N)=0 v=0x 1,尹二 0，N_1正变换i M-IN-1F(S)二TTT工(1应卩卜丿2疏似/皿+吵/町 MN Mgu 0丄 e5A/1? v0丄N丄 j J1原始图像|F(u,v)|arctg(/(u,v)/R(u,v)二维离散Fourier变换(2dDFT)的结果是复数 F(u,v)=R(u.v)- j-I(u,v)Fourier变换(3)MIN1反变换,v) exp j2ti(ux / M +vy / N)”=0 y=0x = 0丄jA/ 1,尹=0J，N 1图像f
8、(x, y)可以表示为许多不同频率的正弦函 薮和余弦岛薮的分口权和，权值F (u, v)就是 Four ier变扌奂系数 Four ier变换将图像的灰度分布函数变换为图 像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的 频率分布函数变换为灰度分布函数Fourier变换频域图上的每个点和空间域的原 始图像的每个象素点具有一一对应关系吗？仃Fourier变换(4) Four ier变换示例（Mat lab实现）F = fft2(l)幅值谱|F|Q F = fftshift(F)幅值變|F|将频谱图的低频部分移 动到图像中心#Fourier变换的性质(1)平移不变性-在空域中，图像原点平移到(xO, yO
9、)时，其对应的频 谱F (u, v)要乘上一个负的指数项/（X - 兀丿一丿 J O F0, v） exp小 ux +vy -J1710儿1N ）/ 、-当空域中f (x, y)产生移动时，在频域中只发生相移， 而Four i er变扌灵的幅值不变lF(u.v)e-j2+vyo)冃 F(u.v) |-以Four ier变换的幅值作为特征具有平移不变性27Fourier变换的性质(2)U = CO COS(P 卜=e sin cp和F(3，(p)旋转不变性fx = r cos 0如果引入极坐标y = rsin 0贝Jf (x, y)和F(u, v)分别变为f(r, 0 ) 在极坐标系中，存在以下
10、变换对29Fourier变换的性质(3)旋转不变性空间域函数f (x, y)旋转9 o角度后，相应的Fourier变换F(u, v)在频域中也旋转同一 8 角，反之，F(u, v)在频域中 旋转0 o角，其反变换f(x, y)在空间域中也旋转9 角21Fourier变换的性质(4)卷积定理设f和g的Four i er变换结果分别为F和G, 即/(x,尹)o F(w,v)o G(u,v)则/(X)* g(x j) o F(u, v) G(u, v)/(xj) g(x j) o F(u, v) * G(u, v)Fourier变换的性质（5）卷积定理空间域的卷积可以通过Fourier频率域的乘积实
11、现, 从而降低计算的复杂度，提高效率（Fourier变换 有快速算法，即FFT）33离散余弦变换(1)离散余弦变换(Discrete Cosine Transform-简称 DCT)是Fourier变换的一种特殊情况其变换核是为实数的余弦函数，因而DCT的计算速 度比DFT快得多 DCT计算复杂性适中，又具有可分离特性，还有快 速算法，所以被广泛地用在图象数据压缩编码算 法中，如JPEG、MPEG-1 MPEG-2及H. 261等压缩编 码国际标准都采用了离散余弦变换编码算法离散余弦变换正变换1 N7N7F(O,O) = p 工工/(“)N x=0 y=Q血菩菩(2y + 1)V7TF(0,
12、v) = XX /(x) cosN x=ov=o2N叭 c、 Ji 巻巻(2x + 1)W7Tf(仏 o)= E 工/(兀 y) -cos N x=0y=02N2 菩菩(2x + 1)W7T(2y + 1)V7TF 仏 y) = XX g y) cos COSN x=oy=o2N2N(2y +1)讽离散余弦变换反变换1 V2 Z/(X)=F(0,0) + 工 F(o) cosNN v=i2N.2(2x + 1)tt+ p工尸仏。) cos 看N ”=i2N2 菩菩(2x + l)帧(2y + l)v+ 齐工工 F(X u) cos cos N u= v=i2N2N原始图俚DCT频谱图DCT变换
13、频域图上的每个点和空间域的原始图 像的每个象素点具有一一对应关系吗？37小波变换(1) Four i er频谱图中的每一个点的值取决于原始 图像中的所有点，因此不具有空间上的局部 分析能力，且在高频低频的分辨率不变原始图像FFT幅值谱小波变换(1)小波变换(1)小波变换(Wavelet)克服了 Fourier变换的上述缺点，同时具有空域和频域上的局 郅分析能力，且支持对不同频率段的多尺 度分薪HIJ丿卜LH2、 IIIU1 IHIHHIL2D DWT Gabor小波(Gabor滤波)是图像处理和模 式识别中最常用的小波变换之一gy；人 e亦 6 呐=expy = x sin 0 + y cos
14、 0X = X cos 0 - y sin 0数字图像频域变换的应用(1)图像特征提取-在变换域中提取图像特征ILBPLGBP Maps刚-lgbphsW. Zhang, et al., Local Gabor Binary Pattern Histogram Sequence (LGBPHS): A Novel Non-Statistical Model for Face Representation and Recognition,M Proceedings of The Tenth IEEE International Conference on Computer Vision (ICC
15、fO5)#数字图像频域变换的应用(1)Input I ImageErduuiced tutageRcjzio-n MaskGenerationFiltering图像去噪增强-噪音一般属于高频信号 NormalizationOrienUiiioTi f rniigcEstimationF rut u cncy 1 rriaeEslimationL. Hong, Y. Wan, and A. K. Jain, Fingerprint Image Enhancement: Algorithm and Performance Evaluation, IEEE Trans. Pattern Anal.
16、Mach. Intell. 20(8): 777-789 (1998)43数字图像频域变换的应用(1)图像压缩编码-舍弃接近0的变换系数、或者量化变换系数定22诃 了、原始图像DCT系数量化后DCT系数DCT压缩图像8x8分块DCT变换量化DCT系数DCT反变换图像数字水印-将秘密信息加载到中低频分量中不会明显影响图像的视觉效果，可用于版权保护、完整性保护47数字图像频域变换的应用(1)#数字图像频域变换的应用(1)原始图勺Trequency-Based techniquesRandom Pattern generated DCTusing a secretCoefficientskeyWatermarked Coefficients加水印后图像#